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全国高中数学联赛初赛模拟附答案

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全国高中数学联赛初赛 一、填空题(每小题 7 分,共 70 分) http://www.mathedu.cn 1.已知 sinαcosβ=1,则 cos(α+β)= . 2.已知等差数列{an}的前 11 项的和为 55,去掉一项 ak 后,余下 10 项的算术平均值为 4.若 a1=-5,则 k= . 3.设一个椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等比数列,则此椭圆的离心率 e = .

A 3x+1 1 4.已知 x = - ,则实数 x= 9 -1 3-31 x . R D B Q C 5.如图,在四面体 ABCD 中,P、Q 分别为棱 BC 与 CD 上的点,且 BP=2PC,CQ=2QD.R 为棱 AD 的中点,则点 A、B 到平面 PQR 的距离 的比值为 . P 6 . 设 f(x) = log3x - 4-x , 则 满 足 f(x) ? 0 的 x 的 取 值 范 围 是 . 7.右图是某种净水水箱结构的设计草图,其中净水器是一个宽 10cm、体积为 3000cm3 的长方体,长和高未定.净水水箱的长、宽、高比净水器的长、宽、高分别长 20cm、20cm、 60cm . 若 不 计 净 水 器 中 的 存 水 , 则 净 水 水 箱 中 最 少 可 以 存 水 cm3. → → 8 . 设 点 O 是 △ ABC 的 外 心 , AB = 13 , AC = 12 , 则 BC · AO = . 9.设数列{an}满足:an+1an=2an+1-2(n=1,2,…),a2009= 2,则 此数列的前 2009 项的和为 . 10.设 a 是整数,0?b<1.若 a2=2b(a+b),则 b= . 二、解答题(本大题共 4 小题,每小题 20 分,共 80 分) http://www.mathedu.cn x2 y2 11.在直角坐标系 xOy 中,直线 x-2y+4=0 与椭圆 + =1 交于 A,B 两点,F 是椭 9 4 圆的左焦点.求以 O,F,A,B 为顶点的四边形的面积. 12.如图,设 D、E 是△ABC 的边 AB 上的两点,已知∠ACD=∠BCE,AC=14,AD= 7,AB=28,CE=12.求 BC. C 13.若不等式 x+ y?k 2x+y对于任意正实数 x,y 成立,求 k A 的取值范围. D E 14.⑴ 写出三个不同的自然数,使得其中任意两个数的乘积与 10 的和都是完全平方数,请予以验证; ⑵ 是否存在四个不同的自然数,使得其中任意两个数的乘积与 10 的和都是完全平方 数?请证明你的结论. B 答案 一、填空题(每小题 7 分,共 70 分) http://www.mathedu.cn 1.已知 sinαcosβ=1,则 cos(α+β)= . 填 0. 解:由于|sinα|?1,|cosβ|?1,现 sinαcosβ=1,故 sinα=1,cosβ=1 或 sinα=-1,cosβ =-1, π π π ∴ α=2kπ+ ,β=2lπ 或 α=2kπ- ,β=2lπ+π?α+β=2(k+l)π+ (k,l∈Z). 2 2 2 ∴ cos(α+β)=0. 2.已知等差数列{an}的前 11 项的和为 55,去掉一项 ak 后,余下 10 项的算术平均值为 4.若 a1=-5,则 k= . 填 11. 解:设公差为 d,则得 1 55=-5×11+ ×11×10d?55d=110?d=2. 2 ak=55-4×10=15=-5+2(k-1)?k=11. 3.设一个椭圆的焦距、 短轴长、长轴长成

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