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2011年上海市高考文科数学试卷及答案(word版)


2011 年上海高考数学试卷(文)
一.填空题(每小题 4 分,总 56 分) 1. 若全集 U ? R ,集合 A ? {x x ? 1} ,则 CU A ? 2. 计算 lim(1 ?
n ??

3n )= n?3

3. 若函数 f ( x) ? 2 x ? 1 的反函数为 f ?1 ( x) ,则 f ?1 (

?2) ? 4. 函数 y ? 2sin x ? cos x 的最大值为 5. 若直线 l 过点(3,4) ,且(1,2)是它的一个法向量,则直线 l 得方程为 6. 不等式

1 ? 1 的解为 x

7. 若一个圆锥的主视图(如图所示)是边长为 3,3,2 的三角形,则该圆锥的侧面积为 8. 在相距 2 千米的 A, B 两点处测量目标 C,若 ?CAB ? 750 , ?CBA ? 600 ,则 A, C 两点 之间的距离是 9. 若变量 x, y 满足条件 ? 千米.

? 3x ? y ? 0 ,则 z ? x ? y 得最大值为 ?x ? 3y ? 5 ? 0

10. 课题组进行城市空气质量调查,按地域把 24 个城市分成甲、乙、丙三组,对应的城市 数分别为 4,12, 8,若用分层抽样抽取 6 个城市,则丙组中应抽取的城市数为 11. 行列式

a b (a, b, c, d ?{?1,1, 2} 所有可能的值中,最大的是 c d

12. 在正三角形 ABC 中, D 是边 BC 上的点,若 AB ? 3, BD ? 1 ,则 AB ? AD = 13. 随机抽取的 9 位同学中,至少有 2 位同学在同一月份出生的概率为 月的天数相同,结果精确到 0.001) (默认每个

14. 设 g ( x) 是定义在 R 上,以 1 为周期的函数,若函数 f ( x) ? x ? g ( x) 在区间 [0,1] 上的 值域为 [?2,5] ,则 f ( x ) 在区间 [0,3] 上的值域为 二.选择题(每小题 5 分,总 20 分) 15.下列函数中,既是偶函数,又在区间 (0, ??) 上单调递减的函数是( (A) y ? x
?2


1 3

(B) y ? x

?1

(C) y ? x

2

(D) y ? x )

16.若 a, b ? R ,且 ab ? 0 ,则下列不等式中,恒成立的是( (A) a ? b ? 2ab
2 2

(B) a ? b ? 2 ab

(C)

1 1 2 ? ? a b ab

(D)

b a ? ?2 a b

1

17.若三角方程 sin x ? 0 与 sin 2 x ? 0 的解集分别为 E , F ,则( (A) E ? F (B) E ? F (C) E ? F (D) E



F ??

18.设 A1 , A2 , A3 , A4 是平面上给定的 4 个不同点,则使 MA 1 ? MA 2 ? MA 3 ? MA 4 ? 0 成立的 点 M 的个数为( (A) 0 三.解答题 ) (B)1 (C)2 (D)4

19.(本题满分 12 分)已知复数 z1 满足 ( z1 ? 2)(1 ? i) ? 1 ? i ( i 为虚数单位) ,复数 z2 的虚 部为 2,且 z1 ? z2 是实数,求 z2

20.(本题满分 14 分,第 1 小题 7 分,第 2 小题 7 分) 已知 ABCD ? A 1B 1C1D 1 是底面边长为 1 的正四棱柱,高 AA 1 ? 2 ,求 (1)异面直线 BD 与 AB1 所成角的大小(结果用反三角函数值表示) ;
A D C

(2)四面体 AB1D1C 的体积

B

A1 B1

D1 C1

21.(本题满分 14 分,第 1 小题 6 分,第 2 小题 8 分) 已知函数 f ( x) ? a ? 2 ? b ? 3 ,其中常数 a , b 满足 a ? b ? 0
x x

(1)若 a ? b ? 0 ,判断函数 f ( x ) 的单调性;

2)若 a ? b ? 0 ,求 f ( x ? 1) ? f ( x) 时的 x 的取值范围.

2

22.(本题满分 16 分,第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分,第 3 小题 6 分) 已知椭圆 C :

x2 ? y 2 ? 1 (常数 m ? 1 ) , P 是曲线 C 上的动点, M 是曲线 C 上的右顶点, 2 m

定点 A 的坐标为 (2, 0) (1)若 M 与 A 重合,求曲线 C 的焦点坐标; (2)若 m ? 3 ,求 PA 的最大值与最小值; (3)若 PA 的最小值为 MA ,求实数 m 的取值范围.

23.(本题满分 18 分,第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分,第 3 小题 8 分) 已 知 数 列 {an } 和 {bn } 的 通 项 公 式 分 别 为 an ? 3n ? 6 , bn ? 2n ? 7 ( n ? N *) . 将 集 合

{x x ? an , n ? N*} {x x ? bn , n ? N*} 中 的 元 素 从 小 到 大 依 次 排 列 , 构 成 数 列
c1 , c2 , c3 , , nc ,

(1)求三个最小的数,使它们既是数列 {an } 中的项,又是数列 {bn } 中的项; (2)数列 c1 , c2 , c3 ,

, c40 中有多少项不是数列 {bn } 中的项?请说明理由;

(3)求数列 {cn } 的前 4 n 项和 S4n (n ? N *) .

3

2011 年上海高考数学试题(文科)答案
一、填空题 1、{x | x ? 1} ;2、?2 ;3、? 7、 3? ; 8、 6 ;9、 二、选择题 15、 A ;16. D ;17、 A ;18、 B 。 三、解答题 19、解: ( z1 ? 2)(1 ? i) ? 1 ? i ? z1 ? 2 ? i ………………(4 分)
A D

3 ;4、 5 ;5、 x ? 2 y ? 11 ? 0 ;6、 x ? 0 或 x ? 1 ; 2

5 15 ;10、 2 ;11、 6 ;12、 ;13、 0.985 ;14、 [?2, 7] 。 2 2

B 设 z2 ? a ? 2i, a ? R ,则 z1z2 ? (2 ? i)(a ? 2i) ? (2a ? 2) ? (4 ? a)i ,………………

C

(12 分) ∵ z1 z2 ? R ,∴ z2 ? 4 ? 2i ………………(12 分)

20、解:⑴ 连 BD, AB1 , B1D1 , AD1 ,∵

BD // B1D1, AB1 ? AD1 ,

A1

D1 C1

∴ 异面直线 BD 与 AB1 所成角为 ?AB1D1 ,记 ?AB1D1 ? ? , B1

cos ? ?

AB12 ? B1D12 ? AD12 10 ? 2 AB1 ? B1D1 10
10 。 10



异面直线 BD 与 AB1 所成角为 arccos

⑵ 连 AC, CB1 , CD1 ,则所求四面体的体积

4

1 2 V ? VABCD ? A1B1C1D1 ? 4 ? VC ? B1C1D1 ? 2 ? 4 ? ? 。 3 3

21、解:⑴ 当 a ? 0, b ? 0 时,任意 x1 , x2 ? R, x1 ? x2 ,则
f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? a(2x1 ? 2x2 ) ? b(3x1 ? 3x2 )

∵ 2x1 ? 2x2 , a ? 0 ? a(2x1 ? 2x2 ) ? 0 , 3x1 ? 3x2 , b ? 0 ? b(3x1 ? 3x2 ) ? 0 , ∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,函数 f ( x) 在 R 上是增函数。 当 a ? 0, b ? 0 时,同理,函数 f ( x) 在 R 上是减函数。 ⑵

f ( x ? 1) ? f ( x) ? a ? 2x ? 2b ? 3x ? 0

3 a a 当 a ? 0, b ? 0 时, ( ) x ? ? ,则 x ? log1.5 (? ) ; 2 2b 2b 3 a a 当 a ? 0, b ? 0 时, ( ) x ? ? ,则 x ? log1.5 (? ) 。 2 2b 2b

22、解:⑴ m ? 2 ,椭圆方程为 ∴ ⑵

x2 ? y 2 ? 1, c ? 4 ? 1 ? 3 4

左、右焦点坐标为 (? 3,0),( 3,0) 。
m ? 3 ,椭圆方程为

x2 ? y 2 ? 1,设 P( x, y) ,则 9
2

x2 8 9 1 | PA | ? ( x ? 2) ? y ? ( x ? 2) ? 1 ? ? ( x ? )2 ? (?3 ? x ? 3) 9 9 4 2
2 2 2



x?

9 2 时 | PA |min ? ; 4 2

x ? ?3 时 | PA |max ? 5 。

⑶ 设动点 P( x, y) ,则
| PA |2 ? ( x ? 2)2 ? y 2 ? ( x ? 2) 2 ? 1 ? x 2 m2 ? 1 2m 2 2 4m 2 ? ( x ? ) ? 2 ? 5(?m ? x ? m) m m2 m2 ? 1 m ?1 2m 2 ? m且m ?1 m2 ? 1



m2 ? 1 ? 0 ,∴ 当 x ? m 时, | PA | 取最小值,且 m2

解得 1 ? m ? 1 ? 2 。
5

23.解:⑴ ⑵ c1 , c2 , c3 ,

三项分别为 9,15, 21 。

, c40 分别为

9,11,12,13,15,17,18,19, 21, 23, 24, 25, 27, 29,30,31,33,35,36,37, 39, 41, 42, 43, 45, 47, 48, 49,51,53,54,55,57,59,60,61,63,65,66,67

⑶ b3k ?2 ? 2(3k ? 2) ? 7 ? 6k ? 3 ? a2k ?1 , b3k ?1 ? 6k ? 5 , b3k ? 6k ? 7 a2k ? 6k ? 6 , ∵
6k ? 3 ? 6k ? 5 ? 6k ? 6 ? 6k ? 7

? 6k ? 3 (n ? 4k ? 3) ?6k ? 5 (n ? 4k ? 2) ? ∴ cn ? ? , k ? N * 。 c4k ?3 ? c4k ?2 ? c4k ?1 ? c4k ? 24k ? 21 6 k ? 6 ( n ? 4 k ? 1) ? ? ? 6k ? 7 ( n ? 4k ) n(n ? 1) S4 n ? (c1 ? c2 ? c3 ? c4 ) ? ? (c4 n ?3 ? c4 n ?2 ? c4 n ?1 ? c4 n ) ? 24 ? ? 21n ? 12n 2 ? 33n 2

6


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