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2.1曲线与方程

时间:2017-12-02


2.1曲线与方程

自主学习1
问题:什么是曲线的方程和方程的曲线?

一、曲线的方程和方程的曲线的定义
1.曲线上的点的坐标都是这个方程的解 2.以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点

这个方程叫做这个曲线的方程 这个曲线叫做这个方程的曲线

课堂新授

1.曲线的方程和方程的曲线的概念
y

X-y=0

y

y ? ax 2 (a ? 0)

? M(x ,y )
0 0

? M(x ,y )
0 0

o

x

o

x

变式思维训练,深化理解
(1)举出一个方程与曲线,使 它们之间 的关系符合①而不符合②. (2)举出一个方程与曲线,使 它们之间 的关系符合② 而不符合① . (3) 举出一个方程与曲线,使 它们之间 的关系既符合①又符合②。

2 y ? 2 x 例子:(2)画出函数
y 8

(-1≤x≤2) 的图象C.
y

y ? 2x 2

y ? 2x 2
(-1≤x≤2)

8

-1

O

2

x

-1

O

2

x

符合条件①不符合条件②

符合条件②不符合条件 ①

例子:(2)画出函数
y 8

y ? 2x2

(-1≤x≤2) 的图象C.

y ? 2x 2
(-1≤x≤2)

-1

O

2

x

符合条件①、 ②

2.如果曲线C的方程是F(x,y)=0,那么点P0(x0,y0) 在曲线C上的充分必要条件是F(x0,y0)=0

练习:若命题“曲线C上的点的坐标满足方程f(x,y)=0”是正确 的,则下列命题中正确的是( ) A.方程f(x,y)=0 所表示的曲线是C B.坐标满足 f(x,y)=0 的点都在曲线C上 C.方程f(x,y)=0的曲线是曲线C的一部分或是曲线C D.曲线C是方程f(x,y)=0的曲线的一部分或是全部

思考问题
1.判断方程是否是曲线的方程?
判断方程是否是曲线的方程,要从两方面考虑, 一是检验点的坐标是否都适合方程, 二是检验以方程的解为坐标的点是否都在曲线上.

2.如何判断点与曲线线的关系?
①要判断点是否在方程表示的曲线上,只需检验点 的坐标是否满足方程即可; ②若所给点在已知曲线上,则点的坐标适合已知曲 线的方程,由此可求点或方程中的参数.

题型分析与训练
例1. (1)判断点A(-4,3),B(-3,-4),C( 5 ,2)是 否在方程x2+y2=25(x≤0)所表示的曲线上
(2)已知方程x2+y2=5表示的曲线F经过点A(,m) ,求m的值.

(3).判断下列结论的正误,并说明理由.
(1)过点A(3,0)且垂直于x轴的直线的方程为x=0; (2)到x轴距离为2的点的轨迹方程为y=-2; (3)到两坐标轴的距离的乘积等于1的点的轨迹方程为 xy=1; (4)△ABC的顶点A(0,-3),B(1,0),C(-1,0),D为 BC中点,则中线AD的方程为x=0.

解:(1)过点A(3,0)且垂直于x轴的直线方程为x=3,

∴结论不正确.
(2)∵到x轴距离为2的点的轨迹方程是y=±2, ∴结论错误. (3)到两坐标轴的距离的乘积等于1的点的轨迹方程应为|x|· |y| =1,即xy=±1,

∴结论错误.
(4)中线AD是一条线段,而不是直线,应为x=0 (-3≤y≤0), ∴结论错误.

例 2(1)方程(x+y-1) x-1=0 表示什么曲线?
2 y (2)方程(x-2) + ? 4 =0 表示什么曲线?

2

(3) 方程 2x2 + y2 - 4x + 2y + 3 = 0 表示什么曲 线?

自主学习2
问题:(1)什么是坐标法? (2)什么是解析几何? (3)解析几何研究什么问题? (4)求曲线方程的一般步骤是什么?

课堂新授

2.求曲线的方程

1.坐标法:把借助坐标系研究几何图形的方法 叫做坐标法。 2.解析几何:是用代数方法研究几何问题的 一门数学学科。 3.平面解析几何研究的主要问题是: (1)根据已知条件,求出表示平面曲线的方程 (2)通过方程,研究平面曲线的性质

4.求曲线方程的一般步骤 1.建系设点-建立适当的直角坐标系,用有序实数 对(x,y)表示曲线上任一点M的坐标; 2.寻找条件-写出适合条件P的点M的集合 3.列出方程-用坐标表示条件p(M),列出方程f(x,y)=0 4.化简-化方程f(x,y)=0为最简形式; 5.证明-证明以化简后的方程的解为坐标的点 都是曲线上的点。

建立坐标系的一般规律:
1.两条垂直的直线: 以该二直线为坐标轴. 2.对称图形: 以对称图形的对称轴为坐标轴. 3.已知长度的线段: 以线段所在直线为对称轴, 端点或中点为原点.

求轨迹方程的常见方法:

①直接法 ② 定义法 ③代入法 ④参数法
1.直接法: 求轨迹方程最基本的方法, 直接通过建 立x, y之间的关系, 构成 F(x, y)=0 即可.

2.定义法:(待定系数法)已知曲线的类型,可直接设出 所求的动点的轨迹方程,这种方法叫做定义法. 3.代入法:这个方法又叫相关点法或坐标代换法.即利 用动点P′ (x′,y′)是定曲线F(x,y)=0上的动点, 另一动点P(x,y)依赖于P′(x′,y′),那么可寻 求关系式x′=f(x,y),y′=g(x,y)后代入方程 F(x′,y′)=0中,得到动点P的轨迹方程. 4.参数法: 选取适当的参数,分别用参数表示动点坐 标x,y,得出轨迹的参数方程,消去参数,即得其普 通方程。

题型三

求曲线的方程

例3.(1)在△ABC中,B(-1,0),C(1,0),若 BC边上的高为2,求垂心H的轨迹方程. (2)过点A(2,0)的直线与圆x2+y2=16交于两点 M,N,求弦MN的中点P的轨迹方程

题型四 由方程研究曲线的性质 例4.讨论方程x2y+y-2x=0的曲线的性质 ,并描绘其曲线.

解析:

2x 由方程得 y=f(x)= 2. 1+x

(1)截距:令 x=0,得 y=0,说明曲线过原点(0,0). (2)对称性:f(-x)=-f(x).∴曲线关于原点对称. (3)范围:y· x2-2x+y=0,由判别式求得-1≤y≤1. 也可由不等式的性质来求, 2|x| 2x ∵1+x ≥2|x|? ≤1?-1≤ ≤1, 即-1≤y≤1. 1+x2 1+x2
2

所以定义域为 R,值域为[ -1,1] .

(4)单调性:在(-∞,-1]和[1,+∞ )时,y 递减,在[ - 1,1] 时,y 递增. (5)作图:通过列表描点作出函数在 x≥0 时的图象,再 利用关于原点的对称性可画出它的全部图象,如图所示.

课堂小结 1.求曲线的方程的一般步骤: 设(建系设点) -- M(x,y) 找(找等量关系)-- P={M|M满足的条件} 列(列方程)

化(化简方程)
验(以方程的解为坐标的点都是曲线上的点)

2.“数形结合” 数学思想的基础

点M

按某中规律运动
几何意义

曲线C

坐标(x, y)

x, y的制约条件

代数意义

方程f ( x, y) ? 0

3、求曲线 方程的四种方法:
直接法、定义法、代入法、参数法

( x ? 3) ? y ? 48
2 2

x ? y ? 25
2 2


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