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走向高考·二轮数学课件专题1 第2讲


走向高考· 数学
新课标版 ? 二轮专题复习

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

走向高考 ·二轮专题复习 ·新课标版 ·数学

专题一
集合与常用逻辑用语、函数与导数

专题一

集合与常用逻辑用语、函数与导数

走向高考 ·二轮专题复

习 ·新课标版 ·数学

专题一
第二讲 函数的概念、图象与性质

专题一

集合与常用逻辑用语、函数与导数

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命题角度聚焦

核心知识整合

学科素能培养 方法警示探究

命题热点突破

课后强化作业

专题一 第二讲

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命题角度聚焦

专题一 第二讲

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(1) 以选择或填空题形式呈现,考查对数函数、含无理式 的函数的定义域;函数的图象与性质;函数的奇偶性、周期

性与分段函数结合,考查函数的求值与计算;以二次函数的
图象与性质为主,结合函数的性质综合考查分析与解决问题 的能力;考查数形结合解决问题的能力等.

专题一 第二讲

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(2) 在大题中以导数为工具{芯刻致酆男灾省⒉坏仁 求解等综合问题. 函数是高考数学考查的重点内容之一,函数的观点和思 想方法贯穿整个高中数学的全过程,包括解决几何问题.在

近几年的高考试卷中,选择题、填空题、解答题三种题型中
每年都有函数试题,而且常考常新.以基本函数为背景的应 用题和综合题是高考命题的新趋势.

专题一 第二讲

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核心知识整合

专题一 第二讲

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1. 函 数 ( 1 ) 映 射 : 集 合 对 应 法 则 f A ( A 中 任 意 x ) ――→ 集 合 B ( B 中 有 唯 一

y与A中 的 x对 应 ). ( 2 ) 函 数 : 非 空 数 集 A―→非 空 数 集 f. B的 映 射 , 其 三 要 素 :

定 义 域 A、 值 域 C ( C ?B)、 对 应 法 则

专题一 第二讲

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①求 函 数 定 义 域 的 主 要 依 据 : (Ⅰ)分 式 的 分 母 不 为 零 ; (Ⅱ)偶 次 方 根 被 开 方 数 不 小 于 零 ; (Ⅲ)对 数 函 数 的 真 数 必 须 大 于 零 ; (Ⅳ)指 数 函 数 和 对 数 函 数 的 底 数 必 须 大 于 零 且 不 等 于 (Ⅴ)正 切 函 数 π +2,k∈Z. y=a tn x 中 ,x的 取 值 范 围 是 1; x∈R,且 x≠kπ

专题一 第二讲

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②求函数值域的方法:无论用什么方法求值域,都要优 先考虑定义域,常用的方法有基本函数法、配方法、换元 法、不等式法、函数的单调性法、函数的有界性法、导数 法.

③函数图象在x轴上的正投影对应函数的定义域;函数图
象在y轴上的正投影对应函数的值域.

专题一 第二讲

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2.函数的性质 (1)函数的奇偶性 如果对于函数y=f(x)定义域内的任意一个x,都有f(-x)=

-f(x)(或f(-x)=f(x)),那么函数f(x)就叫做奇函数(或偶函数).

专题一 第二讲

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(2)函数的单调性
函数的单调性是函数的又一个重要性质.给定区间D上的 函 数 f(x) , 若 对 于 任 意 x1 、 x2∈D , 当 x1<x2 时 , 都 有 f(x1)<f(x2)(或f(x1)>f(x2)),则称f(x)在区间D上为单调增( 或减)函 数.反映在图象上,若函数f(x)是区间D上的增(减)函数,则图

象在D上的部分从左到右是上升(下降)的.如果函数f(x)在给定
区间(a,b)上恒有f ′(x)>0(f ′(x)<0),则f(x)在区间(a,b)上是增 (减)函数,(a,b)为f(x)的单调增(减)区间. 判定单调性方法主要有定义法、图象法、导数法等.

专题一 第二讲

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(3)函数的周期性
设函数y=f(x),x∈D,如果存在非零常数T,使得对任意 x∈D,都有f(x + T) =f(x) ,则函数 f(x) 为周期函数,T为 y =f(x) 的一个周期. (4)最值

一般地,设函数 y = f(x) 的定义域为 I ,如果存在实数 M 满
足: ①对于任意的x∈I,都有f(x)≤M (或f(x)≥M); ②存在x0∈I ,使f(x0)= M,那么称 M是函数y =f(x) 的最大 值(或最小值).
专题一 第二讲

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3.函数图象 (1) 函数图象部分的复习应该解决好画图、识图、用图三 个基本问题,即对函数图象的掌握有三方面的要求: ①会画各种简单函数的图象;

②能依据函数的图象判断相应函数的性质;
③能用数形结合的思想以图辅助解题.

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( 2 ) 利 用 基 本 函 数 图 象 的 变 换 作 图 ①平 移 变 换 : h>0, 右 移 |h|个 单 位 y=f(x) ――→ y=f(x-h), h<0, 左 移 |h|个 单 位 k>0, 上 移 |k|个 单 位 y=f(x) ――→ y=f(x)+k. k<0, 下 移 |k | 个 单 位

专题一 第二讲

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专题一 第二讲

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③对 称 变 换 : 关 于 x轴 对 称 y=f(x) ――→ y= - f ( x) , 关 于 y轴 对 称 y=f(x) ――→ y=f(-x), 关 于 直 线 x=a对 称 y=f(x) ――→ y=f(2a-x), 关 于 原 点 对 称 y=f(x) ――→ y= - f ( -x) .

4. 对 函 数 性 质 的 考 查 主 要 依 托 基 本 初 等 函 数 及 其 基 本 变 换 来 进 行 , 对 于 某 些 抽 象 函 数 来 说 , 一 般 通 过 恰 当 赋 值 , 结 合 基 本 定 义 来 研 究 .
专题一 第二讲

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1.函数的单调性、奇偶性、周期性、图象对称性与恒等 式.

2.应注意区别“f(x)在区间M上单调递增(减)”与“f(x)的
单调递增(减)区间为M”.

专题一 第二讲

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命题热点突破

专题一 第二讲

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求函数的定义域
1 (文)(2012· 四川, 13)函数 f(x)= 的定义域 1-2x 是________.(用区间表示) 1 [ 答案] (-∞,2) [ 解析] 本题考查了求函数的定义域,要使函数有意义,

1 必须 1-2x>0,解得 x<2, 1 ∴此函数定义域为(-∞,2).
专题一 第二讲

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[点评]

给定解析式求函数定义域,就是使求函数有意义

的自变量x的取值集合.

专题一 第二讲

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(理)若函数 y=f(x)的 定 义 域 是 义域是( A.[ 0 1 ,] C.[ 0 1 ,) ∪( 1 4 ,] )

[ 0 2 ,]

, 则 函 数

f?2x? g(x)= lnx 的定

B.[ 0 1 ,) D.( 0 1 ,)

[ 答案]

D

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[ 解析]

∵f(x)的 定 义 域 为

[ 0 2 ,]

,∴要使 f(2x)有 意 义 , 必 有 ∴

0≤2x≤2, ∴0≤x≤1, ∴要使 0<x<1, 故 选 D.

? ?0≤x≤1, g(x)有意义, 应有? ? ?lnx≠0,

专题一 第二讲

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(2014·江西理,2)函数f(x)=ln(x2-x)的定义域为( A.(0,1) C.(-∞,0)∪(1,+∞) [答案] C B.[0,1] D.(-∞,0]∪[1,+∞)

)

[解析] 本题考查函数定义域的求法.
由题设得x2-x>0,解得x<0或x>1,选C.

专题一 第二讲

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[方法规律总结]
(1)求解函数的定义域一般应遵循以下原则: ①f(x)是整式时,定义域是全体实数;②f(x)是分式时,定 义域是使分母不为零的一切实数;③f(x)为偶次根式时,定义 域是使被开方数为非负值时的实数的集合;④对数函数的真

数大于零,且当对数函数或指数函数的底数中含变量时,底
数需大于0且不等于1;⑤零指数幂的底数不能为零;⑥若f(x) 是由有限个基本初等函数运算合成的函数,则其定义域一般 是各基本初等函数的定义域的交集;

专题一 第二讲

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⑦对于求复合函数定义域的问题,一般步骤是:若已知 f(x)的 定 义 域 为 [a , b] , 其 复 合 函 数 f[g(x)] 的 定 义 域 应 由 不 等 式 a≤g(x)≤b解出;⑧对于含字母参数的函数求其定义域,根据具 体情况需对字母参数进行分类讨论;⑨由实际问题确定的函

数,其定义域除使函数有意义外,还要符合问题的实际意
义.

专题一 第二讲

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( 2 ) 高 考 中 常 将 指 数 函 数 、 对 数 函 数 与 二 次 函 数 或 幂 函 数 如 分 式 函 数 、 含 偶 次 方 根 的 函 数 从 外 到 内 逐 层 剥 离 解 决 . 1 例如,y= , 从 总 体 上 看 是 分 式 , 故 先 由 分 母 不 2-o lg 3x 为0得 到 2-o lg 3x≠0, 再 由 偶 次 方 根 下 非 负 得 到 )等 结 合 起 来 考 查 , 这 时 一 般 应

(例

2-o lg 3x>0,

即 log3x<2 , 最 后 由 对 数 函 数 单 调 性 及 对 数 函 数 定 义 域 得 到 0 < x< 9 .

专题一 第二讲

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分段函数求值和求函数的值域
(文)设函数
2 ? ?x +bx+c f(x)=? ? ?2 ?x>0?,

?x≤0?,

若 f(-

4)=f(0),f(-2)=-2,求关于 x 的方程 f(x)=x 的解的个数.

[ 分析] 方程求解.

由两个已知条件求出 b、c,再利用函数图象或解

专题一 第二讲

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[ 解析]

由 f(-4)=f( 0 ) ,f(-2)=-2,可得 b=4,c=2. ?x≤0?,

2 ? ?x +4x+2 ∴f(x)=? ? ?2 ?x>0?,

图象如图所示.

方程 f(x)=x 解的个数即 y=f(x)与 y=x 图象的交点个数. 由 图知两图象有 A、B、C 三个交点,故方程有 3 个解.
专题一 第二讲

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[点评] 反映出来.

函数的图象对{芯刻致酆男灾始胺匠痰慕獾

个数能起到很快捷的作用,作图时要把函数的主要特点特征

专题一 第二讲

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(理)函 数 f(x)的 定 义 域 为

D, 对 D 内 的 任 意

x1、x2, 都 有

f(x1)≤f(x2), 则 称 f(x)为 非 减 函 数 . 已 知 f ( x) 是 定 义 域 为 任 意 x ∈[ 0 1 ,] [ 0 1 ,] 的 非 减 函 数 , 满 足 ①f( 0 ) =0, ②对

1 3 ,有 f(1-x)+f(x)=1,③对 于 x∈[0,3],f(x)≥2x _ _.

3 5 恒 成 立 , 则 f(7)+f(9)的 值 为 _ _ _ _ _ _ [ 答案] 1

专题一 第二讲

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[解 析]

1 3 ∵对 任 意 x∈[0,3], 有 f(x)≥2x,

1 3 1 1 ∴f(3)≥2×3=2; ∵对 任 意 x∈[ 0 1 ,] 2 1 ∴f(3)+f(3)=1 . ∵f(x)在[ 0 1 ,) 上 为 非 减 函 数 , ,有 f(1-x)+f(x)=1,

1 2 1 1 1 ∴f(3)≤f(3)=1-f(3),∴f(3)≤2, 1 1 2 1 ∴f(3)=2,∴f(3)=2.
专题一 第二讲

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1 2 1 2 对任意 x∈[3,3],有 f(3)≤f(x)≤f(3), 11 2 ∴f(x)=2(3≤x≤3), 1 3 5 2 ∵3<7<9<3, 3 5 1 3 5 ∴f(7)=f(9)=2,∴f(7)+f(9)=1.
[ 点评] 准 确 把 握 “非 负 可 减 函 数 ”这 一 定 义 的 含 义 , 由 1 2 1 1 1 2 f(3)=f(3)=2获得 f(x)=2在[3,3]上 恒 成 立 是 解 题 的 关 键 .

专题一 第二讲

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( 文 ) ( 2 0 1 3 ·

福 建 文 , 1 3 )

已知函数

f ( x) =

2x3, x<0, ? ? π ? 则 f(f(4))=_ _ _ _ _ _ _ _ . π -a tn x, 0 ≤x<2, ? ? [ 答案] -2

[ 解析]

本 题 考 查 分 段 函 数 求 值 ,

π π f(4)=-a tn 4=-1,f(-

1)=2×(-1)3=-2.

专题一 第二讲

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( 理 ) ( 2 0 1 3 ·
2 ? ?-x +2x, ? ? ?ln?x+1?,

新 课 标 Ⅰ 文 , 1 2 )

已知函数 (

f ( x) = )

x≤0, 若|f(x)|≥ax, 则 a的 取 值 范 围 是 x> 0 . B.(-∞,1 ] D.[ -2 0 ,]

A.(-∞,0 ] C.[ -2 1 ,]

[ 答案]

D

专题一 第二讲

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[解 析]

本 题 考 查 了 由 分 段 函 数 求 参 数 范 围 问 题 . =0,则|f(x)|=n l( x+1 ) ,取

1 °当 x>0 时 , f(x)=n l( x+1 ) > n l1 a=1, 则 不 等 式 化 为 :

n l( x+1 ) ≥x,x∈(0,+∞)恒 成 立 , 而 当 a=1 不 符 合 题 意 , 排 除 B、C.

x=e-1 时 , 不 等 式 不 成 立 ; 故

2 °当 x≤0 时 , f(x)=-x2+2x≤0, 则 |f(x)|=x2-2x 取 a= - 3, 则 不 等 式 化 为 : x2-2x≥-3x,即 x2+x≥0,x a= -3也 不

1 ∈(-∞,0 ]. 而 当 x=-2时 , 不 等 式 不 成 立 , 故 符 合 题 意 , 再 排 除 A, 故 选 D.

专题一 第二讲

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[点评]

画出函数y=f(x)的图象,由图象易知当a=1,-

3时显然不合题意,故排除A、B、C,选D.

专题一 第二讲

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[方法规律总结]
1.分段函数求值或解不等式时,一定要依据条件分清利 用哪一段求解,对于具有周期性的函数要用好其周期性. 2.形如f(g(x))的函数求值应遵循先内后外的原则. 3.新定义题型要准确理解把握新定义的含义,发掘出其

隐含条件.
4.恒成立问题要注意恒成立的临界点及特值法应用. 5.分段函数的单调性和最值问题,一般是在各段上分别 讨论.

专题一 第二讲

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函数性质的应用
已知定义在 R 上的函数 f(x)对任意实数 x、 y恒 2 有 f(x)+f(y)=f(x+y),且当 x>0 时,f(x)<0,又 f(1)=-3. (1)求证:f(x)为奇函数; (2)求证:f(x)在 R 上是减函数; (3)求 f(x)在[ -3,6] 上的最大值与最小值.

专题一 第二讲

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[解 析] 而 f( 0 ) =0 .

( 1 ) 证 明 : 令

x=y=0, 可 得 f( 0 ) +f( 0 ) =f(0+0),从

令 y= - x, 可 得 f(x)+f(-x)=f(x-x)=f( 0 ) =0 . 即 f(-x)=-f(x), 故 f(x)为 奇 函 数 . ( 2 ) 证 明 : 设 x1、x2∈R, 且 x1>x2, 则 x1-x2>0, 于 是 f(x1

-x2) < 0 , 从 而 f(x1)-f(x2) =f[(x1-x2)+x2] -f(x2) =f(x1-x2)+f(x2)-f(x2)=f(x1-x2) < 0 . ∴f ( x) 为 减 函 数 .
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(3) 解:由 (2) 知,所求函数的最大值为 f( - 3) ,最小值为 f(6). f(-3)=-f(3)=-[f(2)+f(1)] =-2f(1)-f(1)=-3f(1)=2,

f(6)=-f(-6)=-[f(-3)+f(-3)]=-2f(-3)=-4.
于是f(x)在[-3,6]上的最大值为2,最小值为-4.

专题一 第二讲

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( 文 )(2013· 福建文, 5) 函数 f(x) = ln(x2 + 1) 的图象大致是

(

)

专题一 第二讲

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[答案] A [解析] ∵f(-x)=ln[(-x)2+1]=ln(x2+1)=f(x), ∴f(x)是偶函数,排除C.∵x2+1≥1,则ln(x2+1)≥0,且当x

=0时f(0)=0,所以排除B、D,选A.

专题一 第二讲

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(理)(2013·北京文,3)下列函数中,既是偶函数又在区间 (0,+∞)上单调递减的是( )

A.y=
C.y=-x2+1

B.y=ex
D.y=lg |x|

[答案] C 1 [ 解析] 本题考查了偶函数的判断及单调性的判断, y= x
是奇函数, A 错; y = ex 是非奇非偶函数, B 错; y = lg|x| =
? ?lgx,x>0 ? ? ?lg?-x?,x<0,

,当 x>0 时是增函数,D 错;由二次函数图象

性质知 C 正确.
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[方法规律总结] 1.函数奇偶性判定方法: 紧扣函数奇偶性的定义和函数的定义域关于坐标原点对 称、函数图象的对称性等对问题进行分析转化 ,特别注意

“奇函数若在x=0处有定义,则一定有f(0)=0,偶函数一定有
f(|x|)=f(x)”在解题中的应用.

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2.函数单调性判定方法
一是紧扣定义;二是充分利用函数的奇偶性、函数的周 期性和函数图象的直观性进行分析转化.函数的单调性往往 与不等式的解、方程的解等问题交汇,要注意这些知识的综 合运用.三是利用导数{芯浚

对于选择、填空题若能画出图象一般用数形结合法;而
对于由基本初等函数通过加、减运算或复合而成的函数常转 化为基本初等函数单调性的判断问题;对于解析式为分式、 指数函数式、对数函数式等较复杂的函数用导数法;对于抽 象函数一般用定义法.
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3. 抽 象 函 数 的 求 值 与 性 质 讨 论 , 常 结 合 条 件 式 通 过 赋 值 转 化 解 决 , 赋 值 时 要 紧 扣 目 标 进 行 . 如 判 断 奇 偶 性 要 创 设 条 件 产 生 f ( -x) 与 f ( x ) 的 关 系 式 ; 判 断 单 调 性 , 则 要 在 设 出 件 下 , 构 造 产 f?x1? 生 f(x1)-f(x2)(或 ), 朝 着 可 判 断 正 负 f?x2? x1<x2 的 条 (或 可 与 1

比 较 大 小 )的 方 向 转 化 . 解 抽 象 函 数 的 不 等 式 , 则 要 将 原 不 等 式 利 用 条 件 转 化 产 生 f(x1)<f(x2)的 形 式 .

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学科素能培养

专题一 第二讲

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数形结合思想的应用 函数图象的应用
b 形如 y= (a>0,b>0)的函数,因其图象类 |x|-a 似于汉字中的“囧”字,故我们把它称为“囧函数”.若当 a =1, b=1 时的“囧函数”与函数 y=lg|x|图象的交点个数为 n, 则 n=________.

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[答案] 4
[分析] 画出函数图象可由图象判断其交点个数,由于两 函数都是偶函数,故可只需判断x>0时交点的个数.

[ 解析]

? ? 1 ?x>0?, x - 1 ? 1 y= =? |x|-1 ? 1 ?x<0?. ? - x - 1 ? ?x>0?, 如图可知两函数的图象共有 4 ?x<0?.

? ?lgx y =lg|x| = ? ? ?lg?-x?

个交点.
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(文)已知函数f(x)=|4x-x2|-a,当函数有4个零点时,a的 取值范围是________.

[答案] (0,4)
[ 解析] ∵函数 f(x)=|4x-x2|-a 有 4 个零点, ∴方程|4x-x2|=a 有 4 个不同的解. 令 g(x)=|4x-x2|
2 ? ?4-?x-2? , =? 2 ? ??x-2? -4,

0≤x≤4, x<0或x>4.
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作 出 g(x)的 图 象 , 如 图 , 由 图 象 可 以 看 出 , 当 直 线 y=g(x)的 图 象 有 4个 交 点 时 , 0 < a<4,

y=a 与

∴a 的 取 值 范 围 为

0 < a< 4 .

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(理) ( 2 0 1 3 ·
? ?kx+1,x≤0 ? ? ?lnx, x>0,

东北三省四市联考联考 则 当 k>0 时 , 函 数

) 若 函 数 f ( x) =

y=f[ f (x)] +1 的 零 点 个 数 为

(

) A.1 C.3 B.2 D.4

[ 答案]

D

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[ 解析 ]

结合图象分析.当 k>0 时, f[f(x)] = 1 ,则 f(x) =

t1∈( - ∞ ,- ) 或 f(x) = t2∈(0,1) .对于 f(x) = t1 ,存在两个零点 x1、x2;对于f(x)=t2,存在两个零点x3、x4,共存在4个零点, 故选D.

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[总结评述] 1.数形结合思想的含义 (1) 所谓数形结合,就是根据数与形之间的对应关系,通 过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方 法.数形结合思想通过“以形助数,以数辅形”,使复杂问

题简单化,抽象问题具体化,能够变抽象思维为形象思维,
有助于把握数学问题的本质,它是数学的规律性与灵活性的 有机结合.

专题一 第二讲

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这种思想方法体现在解题中,就是在处理数学问题时, 能够将抽象的数学语言与直观的几何图形有机结合起来思 索,促使抽象思维和形象思维的和谐统一,通过对规范图形 或示意图形的观察分析,化抽象为直观,化直观为精确,从

而使问题得到解决.

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(2) 数形结合包括“以形助数”和“以数辅形”两个方 面,其应用大致可以分为两种情形:一是借助形的生动性和 直观性来阐明数之间的联系,即以形作为手段,数作为目 的,比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质;二是借

助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性,即以数
作为手段,形作为目的,如应用曲线的方程来精确地阐明曲 线的几何性质.

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2.数形结合的途径 (1)通过坐标系“形”题“数”解 借助于建立直角坐标系 、复平面可以将图形问题代数 化.在高考中主要以解析几何作为知识载体来考查.值得强

调的是,形题数解时,通过辅助角引入三角函数也是常常运
用的技巧 ( 这是因为三角公式的使用,可以大大缩短代数推 理).

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实现数形结合,常与以下内容有关:①实数与数轴上的 点的对应关系;②函数与图象的对应关系;③曲线与方程的 对应关系;④以几何元素和几何条件为背景,建立起来的概 念,如复数、三角函数等;⑤所给的等式或代数式的结构含

有明显的几何意义.如等式(x-2)2+(y-1)2=4.

专题一 第二讲

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(2)通过转化构造“数”题“形”解
许多代数结构都有着对应的几何意义,据此,可以将数 与形进行巧妙地转化.例如,将a>0与距离互化,将a2与面积 互化,将a2+b2+ab=a2+b2-2|a||b|cosθ(θ=60°)与余弦定理 沟通,将 a≥b≥c>0 且 b + c>a 中的 a 、 b 、 c 与三角形的三边沟 通,将有序实数对(或复数)和点沟通,将二元一次方程与直线 对应,将二元二次方程与相应的圆锥曲线对应等等.这种代 数结构向几何结构的转化常常表现为构造一个图形(平面的或 立体的).另外,函数的图象也是实现数形转化的有效工具之 一,正是基于此,函数思想和数形结合思想经常相伴而充分 地发挥作用.
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[方法规律总结]
1.作图、识图、用图技巧 (1) 作图:常用描点法和图象变换法.图象变换法常用的 有平移变换、伸缩变换和对称变换. 描绘函数图象时,要从函数性质入手,抓住关键点(图象

最高点、最低点、与坐标轴的交点等)和对称性进行.
(2) 识图:从图象与轴的交点及左、右、上、下分布范 围、变化趋势、对称性等方面找准解析式与图象的对应关 系.

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(3) 用图:图象形象地显示了函数的性质,因此,函数性
质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象结合研 究. 2.讨论方程的解的范围或个数,讨论函数的零点(特别是 含参数的指数、对数、根式、三角函数式等),可构造函数,

利用函数图象交点的讨论来求解,图象交点的个数就是方程
解的个数,正确作出函数的图象是解决此类问题的关键,要 注意图形的准确全面.

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3.解不等式问题经常联系函数的图象,根据不等式中量 的特点,选择适当的两个(或多个)函数,利用两个函数图象的 上、下位置关系转化数量关系来解决不等式的解的问题,往 往可以避免繁琐的运算,获得简捷的解答.

4.函数的单调性经常联系函数图象的升、降;奇偶性经
常联系函数图象的对称性;最值(值域)经常联系函数图象的最 高、最低点的纵坐标.

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函数与其他知识交汇命题

(2014· 吉林省九校联合体二模)已知 α 为锐角, π 且 tanα= 2-1,函数 f(x)=2xtan2α+sin(2α+4),数列{an}的 首项 a1=1,an+1=f(an). (1)求函数 f(x)的表达式; (2)求数列{an}的前 n 项和 Sn.

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[ 解析]

2? 2-1? 2 a tn α ( 1 ) 由a tn 2 α= = =1, 1-a tn 2α 1-? 2-1?2

π ∵α 是锐角,∴2α=4, ∴s n i( 2 π a+4)=1,∴f(x)=2x+1,

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( 2 )

∵a1=1,an+1=f(an),∴an+1=2an+1, a1

an+1+1 ∴an+1+1=2(an+1), =2,∴{an+1}是 首 项 为 an+1 =1=2,公比 q=2 的等比数列,∴an=2n-1. 2?2n-1? Sn = -n=2n+1-2-n. 2-1

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(文) ( 2 0 1 4 ·

甘 肃 三 诊 )已 知 定 义 在

R上 的 函 数

f(x)是 奇 函 数 且

3 Sn 满 足 f(2-x)=f(x),f(-2 )= - 3, 数 列 {an}满 足 a1= - 1,且 n = an 2× n +1,(其 中 Sn 为{an}的 前 n项 和 ), 则 f(a5)+f(a6)=( A. -3 C.3 B.-2 D.2 )

[ 答案]

C

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[解 析]

3 ∵x∈R,f(2-x)=f(x),且 f(x)为 奇 函 数 ,

3 ∴f(2+

3 3 3 x)=f(-x)=-f(x),∴f(x+3 ) =f[2+(x+2)]=-f(2+x)=f(x), ∴函 数 f(x)的 周 期 T=3 . Sn an 又 a1=-1, n =2× n +1,∴a2=-3,a3=-7,a4=- 11,a5= -2 7 ,a6= -5 5 ,∴f(a5)=f(-2 7 ) =f( 0 ) =0,f(a6)=f(- 5 5 ) = - f( 5 5 ) = - f( 1 ) =-f(-2+3 )= - f ( -2 ) =3,∴f(a5)+f(a6) =3 .
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(理) ( 2 0 1 4 ·
2

唐 山 一 模 )定 义 在 R上 的 函 数

f(x)满 足 : f(-x)+ 1 f(x)+2≥f(1-x)+x

f(x)=x ,当 x<0 时,f′(x)<x,则 不 等 式 的 解 集 为 _ _ _ _ _ _ _ _
[ 答案]



1 (-∞,2]

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[解 析]

1 2 1 2 令 g(x)=f(x)-2x ,∴g(-x)=f(-x)-2x ,∴g(x) g′(x)

+g(-x)=f(x)+f(-x)-x2=0,∴函 数 g(x)是 奇 函 数 , 又 =f′(x)-x<0 在(-∞,0 )上 恒 成 立 , 函 数 , 则 在 (-∞, + ∞) 上 是 减 函 数 .

∴g(x)在(-∞,0 )上 是 减

1 1 2 1 2 1 f(x) + 2 ≥f(1 - x) + x ? f(x) - 2 x ≥f(1 - x) - 2 x + x - 2 ? 1 g(x)≥g(1-x),∴x≤1-x,∴x≤2.

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[方法规律总结] 函数的知识常与导数、三角函数、数列、不等式、概率 等知识结合命题,是重要的知识交汇点,解答此类问题时一

定要先判明是以函数为主还是以其他知识为主,结合条件找
准解题切入点.

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分段函数的意义理解不准确致误
? ?x-5 * 已知 x∈N ,f(x)=? ? ?f?x+2? ? ?x≥6?, ?x-5 ∵f(x)=? ? ?f?x+2? ?x<6?,

?x≥6?, 求 f(3). ?x<6?,

[ 错解]

∴f(x+2)=(x+2)-5=x-3. 故
? ?x-5 f(x)=? ? ?x-3

?x≥6?, ?x<6?,

∴f(3)=3-3=0.
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[ 辨析]
[ 正解]

f(x+2)=(x+2)-5=x-3 是错误的. ? ?x≥6?, ?x-5 ∵f(x)=? ? ?f?x+2? ?x<6?,

∴f( 3 ) =f(3+2)=f( 5 ) =f(5+2)=f( 7 ) =7-5=2.
[警 示] 应 代 入 错 解 没 有 理 解 分 段 函 数 的 意 义 , f( 3 ) 的 自 变 量 是 3,

f(x+2 )中 , 而 不 是 代 入

x-5 中 , 只 有 将 自 变 量 化 为 不 f(x)=x-5 中 求 解 . 对 此 类 问 题 的

小 于 6的 数 才 能 代 入 解 析 式

解 决一 定 要 先 判 断 自 变 量 的 范 围 . .............

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忽视函数定义域致误
(2014· 东北三省四市联考 ) 函数 f(x) = lg(x + 1)

+lg(x-1)的奇偶性是(
A.奇函数 C.非奇非偶函数 [错解] 选B.

)
B.偶函数 D.既奇又偶函数

∵f(x)=lg(x+1)+lg(x-1)=lg(x2-1).

∴f(-x)=lg[(-x)2-1]=lg(x2-1)=f(x),
∴f(x)为偶函数.
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[辨析] 上述解法忽视了函数的定义域的限制致误.
[ 正解] 选
? ?x+1>0, C.要使函数有意义应有? ? ?x-1>0.

∴x>1.

由于函数的定义域{x|x>1},∴f(x)为非奇非偶函数.

[警示] 研究函数必须先考虑定义域.

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( 2 0 1 4 · ( )

天 津 理 , 4)函数 f(x)=o lg

1 2

(x2-4)的单调递增区间为

A.(0,+∞) C.(2,+∞)

B.(-∞,0) D.(-∞,-2)

[ 答案]

D

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[ 解析 ] 由 y=o lg
1 2

本 题 考 查 复 合 函 数 的 单 调 性 ,
1 2

f(x) =o lg

1 2

(x2 - 4)

U 及 U=x2-4 复合而成,y=o lg

U 在定义域为减函

数,而 U=x2-4 在(-∞,2)上是减函数,在(2,+∞)上是增 函数,所以 f(x)=o lg D.
1 2

(x2-4)的 单 调 递 增 区 间

(-∞,-2),选

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课后强化作业
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