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浙江省绍兴市柯桥区柯桥中学2015-2016学年高二数学上学期期中试题

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2015 学年柯桥中学高二第一学期期中试卷
考试时间:120 分钟;一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1.已知 A(1, 2), B(?1, 0), C (3, a) 三点在同一条直线上,则 a 的值为( A. ?2 B. 4 C. ?4 D. 2 ) )

2.若直线 2(a ? 1) x ? ay ? 2 ? 0 与直线 ax ? 2

y ? 1 ? 0 垂直,则 a 的值为( A.-2 B.0 C.-2 或 0 D. 2 ? 2 2

3.已知 m, n 是两条不同的直线, ? , ? 是两个不 同的平面,则下列命题正确的是( ) A.若 m / /? , n / /? ,则 m / / n C. m / /? , m / / ? ,则 ? / / ? B.若 m / / n, m ? ? ,则 n ? ? D. 若 m / /? , ? ? ? ,则 m ? ?

4.在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,异面直线 BC1 与 AB1 所成角的大小为( ) A.

?
2

B.

?
3

C.

?
4

D.
0

?
6

5 如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为 45 , 腰和上底均为 1 的等腰 梯形,那么原图形的面积是( ) A. 2 ?

2

B.

1? 2 2

C.

2? 2 2

D. 1 ?

2
)

6.某几何体的三视图如图所示, 且该几何体的体积是 3,则正视图中的 x 的值是(

A.2

9 B. 4

C.3

9 D. 2 )

7.一个与球心距离为 1 的平面截球所得的圆面面积为 ? ,则球的表面积为( A. 8 2? B. 8? C. 4 2? D. 4?

8.若直线 y ? x ? b 与曲线 y ? 3 ? 4x ? x2 有公共点,则 b 的取值范围是( A. ?1 ? 2 2,1 ? 2 2 ?



?

?

B. ?1 ? 2 2,1?

?

?

C. ? ?1,1 ? 2 2 ?

?

?

D. ?1 ? 2 2,3?

?

?

9.已知圆 C : ? x ? 3? ? ? y ? 4 ? ? 1 和两点 A ? ? m, 0 ? , B ? m, 0 ? ? m ? 0 ? ,若圆 C 上
2 2

1

存在点 P ,使得 ?APB ? 90? ,则 m 的最大值为(



A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 10. 已知 ?ABC 的三边长分别为 AB ? 5 ,BC ? 4 , AC ? 3 ,M 是 AB 边上的点, P 是平面 ABC 外一点,给出下列四个命题: ①若 PA ? 平面 ABC ,则三棱锥 P ? ABC 的四个面都是直角三角形; ②若 PM ? 平面 ABC ,且 M 是 AB 边的中点,则有 PA ? PB ? PC ; ③若 PC ? 5 , PC ? 平面 ABC ,则 ?PCM 面积的最小值为

15 ; 2

④若 PC ? 5 , P 在平面 ABC 上的射影是内切圆的圆心 O,则 PO 长为 23 ; 其中正确命题的个数是( A.1 B.2 ) C.3 D.4

第 II 卷(非选择题) 二、填空题(每小题 4 分,共 24 分) 11.直线 3x ? 2 y ? 3 ? 0 与 6 x ? my ? 1 ? 0 互相平行,则它们间的距离等于________
2 2 2 2 12.若两圆 x ? y ? 1 和 ( x ? 4) ? ( y ? a) ? 25 有三条公切线,则 a ? _______

13.已知直线 a, b 和平面 ? ,且 a ? b, a ? ? ,则 b 与 ? 的位置关系是__________ 14.已知圆锥母线长是 10,侧面展开图是半圆,则该圆锥的侧面积为____________ 15.在边长为 1 的菱形 ABCD 中, ?ABC ? 60 ,将菱形沿对角线 AC 折起,使折起后
?

BD ? 1,则二面角 B ? AC ? D 的平面角的余弦值_________
16.在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,点 P 是它的体对角线 BD1 上一动点,则

PA ? PC 的最小值___________

三、解答题(15+15 +15+15+16=76)

2

17.已知直线 l 经过直线 3x ? 4 y ? 2 ? 0 与直线 2 x ? y ? 2 ? 0 的交点 P ,且垂直于直线

x ? 2 y ?1 ? 0 .
(1)求直线 l 的方程; (2)求直线 l 关于原点 O 对称的直线方程.

18.如图,是一个几何体的三视图,正视图和侧视图都是由一个边长为 2 的等边三角形 和一个长为 2 宽为 1 的矩形组成。

(1)求此几何体的表面 积; (2)求此几何体的体积.

19 . 已 知 在 四 棱 锥 P ? ABCD 中 , 底 面 ABCD 是 矩 形 , PA ⊥ 平 面 A B C D,

PA ? AD ? 1 , AB ? 2 , E , F 分别是 AB, PD 的中点。
(1)求证: AF //平面 PEC ; (2)求 PC 与平面 PAD 所成的角的正弦值.

20.在四棱锥 P - ABCD 中,底面 ABCD 是菱形, AC ? BD = O . (Ⅰ)若 AC ? PD ,求证: AC ? 平面 PBD ;
3

(Ⅱ)若平面 PAC ? 平面 ABCD ,求证: PB = PD ; (Ⅲ) 在棱 PC 上是否存在点 M (异于点 C ) 使得 BM ∥平面 PAD , 若存在, 求 的值;若不存在,说明理由.
P

PM PC

D A B O C

21.已知圆 C : x ? y ? 2x ? 4 y ? 4 ? 0 ,
2 2

(1)若过定点( ? 2, 0 )的直线 l 与圆 C 相切,求直线 l 的方程; (2) 若过定点( ? 1, 0 )且倾斜角为 点 P 的坐标; (3) 问是否存 在斜率为 1 的直线 l ,使 l 被圆 C 截得的弦为 EF ,且以 EF 为直径的圆 经过原点?若存在,请写出求直线 l 的方程;若不存在,请说明理由.

? 的直线 l 与圆 C 相交于 A, B 两点, 求线段 AB 的中 6

4

参考答案 1.B 2.C 3.B4. B5.A 6.C[解析] 由三视图可知,该几何体是底面为直角梯形的四棱锥,且直角梯形 的上底 1 ?1+2?×2 长为 1,下底长为 2,高为 2,四棱锥 的高为 x,其体积为 × ·x=3, 3 2 ∴x=3. 7.B 8.D【解析】由曲线 y ? 3 ? 4x ? x2 可知其图像不以 (2,3)为圆心,半径为 2 的半 圆,故直线 y ? x ? b 与之有公共点介于图中两直线之间,求得直线与半圆相切时 ,直线过点(0,3)时有一个交点.故选 D.

考点:1.曲线的图像;2.直线与圆相切. 9.B 考点:由题意,PO=AB 的一半 x ? y ? m , 原点与圆上的点距离最远。所以是 6
2 2 2

10.C(1,2,4 对)

7 7 13 ? 26 11. 52
12.a= ?2 5 13. b // ? 或 b ? ? 14. [答案] 50π [解析] 设圆锥的底面半径为 r,则 2π r=10π ,∴r=5. ∴圆锥的侧面 积 S=π rl=50π .

15. 16. 将平面 BCD1与平面 ABD1沿着 BD1展平到一个平面.然后连接 AC 与 BD1的交点 就是要求的点 P 的 位 置 . 此 时 |AP|+|PC| 的 最 小 值 就 是 展 开 后 的 线 段 AC 的 长 度 , 所 以 所 求 的 值 为

5

.

17. (1) 2 x ? y ? 6 ? 0 ; (2) 2 x ? y ? 6 ? 0 .

3 18.(1) ? ? 16 ; (2) ? ?4 3 【解析】试题解析:如图,是一个几何体的三视图,正视图和侧视图都是由一个边长为 2 的等边三角形和一个长为 2 宽为 1 的矩形组成。 (1)此几何体的表面积:

S ? 2? ? 2 ? 4 ? ? ? 4 ? 2 ? ? ? 16
(2)此几何体的体积:

1 3 V ? ? ? 3 ? 2 ? 2 ?1 ? ? ?4 3 3 考点:本题考查几何体的表面积和体积 点评:解决本题的关键是通过三视图,判断组合体的构成及尺寸,然后利用公式求解 19.(1)取 PC 中点 G,证 EG 平行 AF。 (也可以找 DC 中点,证明面 AFG 与 PEC 平行。 )

6 (2)证 CD 垂直平面 PAD. 3
20. (Ⅰ)证明:因为 底面 ABCD 是菱形 所以 AC ? BD . 因为 AC ? PD , PD ? BD ? D , 所以 AC ? 平面 PBD . (Ⅱ)证明:由(Ⅰ)可知 AC ? BD . 因为 平面 PAC ^ 平面 ABCD ,平面 PAC ? 平面 ABCD = AC ,

BD ? 平面 ABCD , 所以 BD ? 平面 PAC . 因为 PO ? 平面 PAC , 所以 BD ? PO .
因为 底面 ABCD 是菱形, 所以 BO ? DO . 所以 PB = PD . (Ⅲ)解:不存在. 下面用反证法说明. 假设存在点 M (异于点 C )使得 BM ∥平面 PAD . 在菱形 ABCD 中, BC ∥ AD , 因为 AD ? 平面 PAD , BC ? 平面 PAD , 所以 BC ∥平面 PAD . 因为 BM ? 平面 PBC , BC ? 平面 PBC , BC ? BM = B , 所以 平面 PBC ∥平面 PAD . 而平面 PBC 与平面 PAD 相交,矛盾. 21 .( Ⅰ ) x ? ?2或5x ? 12 y ? 10 ? 0 , ( Ⅱ )
A B O

P

D

M C

6

? 1 ? 3 3 ?1 ? ? ? 2 , 2 ? ? (Ⅲ) x ? y ? 1 ? 0或x ? y ? 4 ? 0 ? ?
【解析】 (Ⅰ)求过定点直线方程,要注意斜率不存在情况是否满足题意,本题可分类 讨论,也可从设法上考虑斜率不存在,即设直线 l 的方程为: x ? my ? 2 ,再利用圆心 到直线距离等于半径即可求出直线方程, (Ⅱ)求圆中弦中点,一可利用几何条件,即 圆 心 与 弦 中 点 连 线 与 直 线 垂 直 , 从 而 弦 中 点 就 为 直 线 l : x ? 3 y ?1 与 连 线 的交点,二可利用韦达定理,根据中点坐标公式求解, (Ⅲ)以 EF 为 y ? ? 3x ? 3 ? 2 直径的圆经过原点,这一条件如何用,是解题的关键 一是利用向量垂直,二是利用圆 系方程 试题解析: (Ⅰ)根据题意,设直线 l 的方程为: x ? my ? 2 联立直线与圆的方程并整理得: m 2 ? 1 y 2 ? ? 4 ? 6m ? y ? 4 ? 0

?

?

? ? 20m2 ? 48m 所以 20m 2 ? 48m ? 0, m1 ? 0, m2 ?
从而,直线 l 的方程为: x ? ?2或5x ? 12 y ? 10 ? 0 (Ⅱ)根据题意,设直线 l 的方程为: x ? 3 y ?1

12 5

2 代入圆 C 方程得: 4 y ? 4 1 ? 3 y ? 1 ? 0 ,显然 ? ? 0 ,

?

?

设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? 则 y1 ? y2 ? 3 ?1, x1 ? x2 ? 1? 3 所以点 P 的坐标为 ?

? 1 ? 3 3 ?1 ? ? 2 , 2 ? ? ? ?

(Ⅲ)假设存在这样的直线 l : y ? x ? b 联立圆的方程并整理得: 2x ? ? 2b ? 2? x ? b ? 4b ? 4 ? 0
2 2
2 当 ? ? ?4 b ? 6b ? 9 ? 0, ? ?3 ? 3 2 ? b ? 3 2 ? 3

?

?

设 E ? x3 , y3 ? , F ? x4 , y4 ? 则 x3 ? x4 ? ? ? b ? 1? , x3 x4 ? 所以 y3 y4 ?

1 2 ?b ? 4b ? 4 ? 2

1 2 ? b ? 2b ? 4 ? 2

因为以 EF 为直径的圆经过原点,所以 OE ? ? x3 , y3 ? , OF ? ? x4 , y4 ? , OE ? OF ? 0

?

?

?

?

? x3 x4 ? y4 y4 ? 0,即b2 ? 3b ? 4 ? 0 ?b1 ? 1, b2 ? ?4

均满足 ?3 ? 3 2 ? b ? 3 2 ? 3 。

所以直线 l 的方程为: x ? y ? 1 ? 0或x ? y ? 4 ? 0 。

7

(Ⅲ)法二:可以设圆系方程 x ? y ? 2x ? 4 y ? 4 ? ? ? x ? y ? b ? ? 0
2 2

则圆心坐标 ? ?

? ? ?2 ? ?4? , ? ,圆心在直线 y ? x ? b 上,且该圆 过原点。易得 b 的值。 2 2 ? ?

考点:直线与圆相切,弦中点,圆方程

8


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