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全国中学生物理竞赛集锦(光学)答案


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全国中学生物理竞赛集锦(光学)答案 第 21 届预赛 2004.9.5
一、1. d. 10 19 2. a正确,b不正确。理由:反射时光频率? 不变,这表明每个光子能量h? 不变。 评分标准:本题15分,第1问10分,每一空2分。第二问5分,其中结论占2分,理由占3分。 六、把酒杯放平,分

析成像问题。


图1

1.未斟酒时,杯底凸球面的两侧介质的折射率分别为n1和n0=1。在图1中,P为画片中 心,由P发出经过球心C的光线PO经过顶点不变方向进入空气中;由P发出的与PO成? 角的 另一光线PA在A处折射。设A处入射角为i,折射角为r,半径CA与PO的夹角为? ,由折射定 律和几何关系可得 n1sini=n0sinr (1) ? =i+? (2) 在△PAC中,由正弦定理,有

R PC ? sin ? sin i 考虑近轴光线成像,?、i、r 都是小角度,则有

(3)

r?

n1 i n0
R i PC

(4)

??

(5)

由(2)、(4)、(5)式、n0、nl、R的数值及 PC ? PO ? CO ? 4.8 cm可得

? =1.31i

r =1.56i 由(6)、(7)式有 r>? (8) 由上式及图1可知,折射线将与PO延长线相交于P?,P? 即为P点的实像.画面将成实像于P? 处。 在△CAP? 中,由正弦定理有

(6) (7)

R CP? ? sin ? sin r

(9)

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又有 r=? +? 考虑到是近轴光线,由(9)、(l0)式可得

(10)

CP? ?
又有

r R r ??

(11)

OP? ? CP? ? R
由以上各式并代入数据,可得

(12)

OP? ? 7.9 cm

(13)

由此可见,未斟酒时,画片上景物所成实像在杯口距O点7.9 cm处。已知O到杯口平面 的距离为8.0cm,当人眼在杯口处向杯底方向观看时,该实像离人眼太近,所以看不出画片 上的景物。 2.斟酒后,杯底凸球面两侧介质分别为玻璃和酒,折射率分别为n1和n2,如图2所示, 考虑到近轴光线有

图2

r?

n1 i n2

(14)

代入n1和n2的值,可得 r=1.16i (15) 与(6)式比较,可知 r<? (16) 由上式及图2可知,折射线将与OP延长线相交于P?,P? 即为P点的虚像。画面将成虚像于P? 处。计算可得

CP? ?
又有

r R ? ?r

(17)

OP? ? CP? ? R
由以上各式并代入数据得

(18)

OP? ? 13 cm

(19)

由此可见,斟酒后画片上景物成虚像于P?处,距O点13cm.即距杯口21 cm。虽然该虚 像还要因酒液平表面的折射而向杯口处拉近一定距离, 但仍然离杯口处足够远, 所以人眼在 杯口处向杯底方向观看时,可以看到画片上景物的虚像。

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评分标准: 本题15分.求得(13)式给5分,说明“看不出”再给2分;求出(l9)式,给5分,说 明“看到”再给3分。

第 21 届复赛
四、1.考虑到使 3 个点光源的 3 束光分别通过 3 个透 镜都成实像于 P 点的要求,组合透镜所在的平面应垂 直于 z 轴,三个光心 O1、O2、O3 的连线平行于 3 个光 S1 源的连线,O2 位于 z 轴上,如图 1 所示.图中 M M ? 表 h S2 ? ? ? 示组合透镜的平面, S1 、 S 2 、 S 3 为三个光束中心光线 h 与该平面的交点. S 2 O2 = u 就是物距.根据透镜成 像公式 M

?? ?? ??
u O1 O3

? S1
O2(S2’) S3’ L M’
图1

P z

1 1 1 ? ? u L?u f
可解得

(1)

1 u ? [ L ? L2 ? 4 fL ] 2
因为要保证经透镜折射后的光线都能全部会聚于 P 点, 来自各光源的光线在投射到透镜之前不能交 叉,必须有 2utan? ≤h 即 u≤2h.在上式中取“-”号,代入 f 和 L 的值,算得

u ? (6 ? 3 2 )h ≈1.757h
此解满足上面的条件. 分别作 3 个点光源与 P 点的连线. 为使 3 个点光源都能同时成像于 P 点, 个透镜的光 3 心 O1、O2、O3 应分别位于这 3 条连线上(如图 1) .由几何关系知,有

(2)

O1O2 ? O2 O3 ?

L?u 1 1 h?( ? 2 )h ? 0.854h L 2 4
(3)

? ? 即光心 O1 的位置应在 S1 之下与 S1 的距离为

? S1O1 ? h ? O1O2 ? 0.146h ? ? 同理,O3 的位置应在 S 3 之上与 S 3 的距离为 0.146h 处.由(3)式可知组合透镜中相邻薄透镜 中心之间距离必须等于 0.854h,才能使 S1、S2、S3 都能成像于 P 点. 2.现在讨论如何把三个透镜 L1、L2、L3 加工组装成组合透镜. 因为三个透镜的半径 r = 0.75h,将它们的光心分别放置到 O1、 2、 3 处时,由于 O1O2 = O O O2 O3 =0.854h<2r,透镜必然发生相互重叠,必须对透镜进行加工,各切去一部分,然后再 将它们粘起来,才能满足(3)式的要求.由于对称关系,我 们只需讨论上半部分的情况. K C1 图 2 画出了 L1、L2 放在 M M ? 平面内时相互交叠的情况 圆1 ? (纸面为 M M ? 平面) 图中 C1、 2 表示 L1、 2 的边缘,S1 、 . C L S1’ ? S 2 为光束中心光线与透镜的交点,W1、W2 分别为 C1、C2 O1 0.439h 与 O1O2 的交点. Q W2 Q’
? ? S1 为圆心的圆 1 和以 S 2(与 O2 重合) 为圆心的圆 2 分别是
h T N 0.439h N’ W1 O2 (S2’) 圆2 C2’ 图2

(4)

0.146h

x2
T’ 0.854h

x1

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光源 S1 和 S2 投射到 L1 和 L2 时产生的光斑的边缘,其半径均为 ? ? u tan ? ? 0.439h (5) 根据题意,圆 1 和圆 2 内的光线必须能全部进入透镜.首先,圆 1 的 K 点(见图 2)是否落 在 L1 上?由几何关系可知

? O1 K ? ? ? O1 S1 ? ?0.439 ? 0.146?h ? 0.585h ? r ? 0.75h (6)
故从 S1 发出的光束能全部进入 L1. 为了保证全部光束能进入透镜组合, L1 和 L2 进行加工 对 时必须保留圆 1 和圆 2 内的透镜部分. 下面举出一种对透镜进行加工、组装的方法.在 O1 和 O2 之间作垂直于 O1O2 且分别与 圆 1 和圆 2 相切的切线 QQ? 和 NN ? . 若沿位于 QQ? 和 NN ? 之间且与它们平行的任意直线 T T ? 对透镜 L1 和 L2 进行切割,去掉两透镜的弓形部分,然后把它们沿此线粘合就得到符合所需 组合透镜的上半部.同理,对 L2 的下半部和 L3 进行切割,然后将 L2 的下半部和 L3 粘合起 来,就得到符合需要的整个组合透镜.这个组合透镜可以将 S1、S2、S3 发出的全部光线都会 聚到 P 点. 现在计算 QQ? 和 NN ? 的位置以及对各个透镜切去部分的大小应符合的条件.设透镜 L1 被切去部分沿 O1O2 方向的长度为 x1,透镜 L2 被切去部分沿 O1O2 方向的长度为 x2,如图 2 所示,则对任意一条切割线 T T ? , x1、x2 之和为

d ? x1 ? x2 ? 2r ? O1O2 ? 0.646h
由于 T T ? 必须在 QQ? 和 NN ? 之间,从图 2 可看出,沿 QQ? 切割时,x1 达最大值(x1M),x2 达 最小值(x2m),

(7)

? 代入 r,??和 S1O1 的值,得
代入(7)式,得

? x1M ? r ? S1O1 ? ?
x1M ? 0.457h
(8) (9)

x2m ? d ? x1M ? 0.189h 由图 2 可看出,沿 NN ? 切割时,x2 达最大值(x2M),x1 达最小值(x1m), x2M ? r ? ? 代入 r 和??的值,得 x 2 M ? 0.311h x1m ? d ? x2 M ? 0.335h 由对称性,对 L3 的加工与对 L1 相同,对 L2 下半部的加工与对上半部的加工相同.
评分标准: 本题 20 分.第 1 问 10 分,其中(2)式 5 分, (3)式 5 分, 第 2 问 10 分,其中(5)式 3 分,(6)式 3 分,(7)式 2 分,(8)式、(9)式共 1 分,(10)式、(11)式 共 1 分. 如果学生解答中没有(7)—(11)式,但说了“将图 2 中三个圆锥光束照射到透镜部分全部 保留,透镜其它部分可根据需要磨去(或切割掉) ”给 3 分,再说明将加工后的透镜组装成 透镜组合时必须保证 O1O2=O1O2=0.854h,再给 1 分,即给(7)—(11)式的全分(4 分) .

(10) (11)

第 20 届预赛
一、参考解答

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(1) 右 f 实 倒 1 。 (2) 左 2f 实 倒 1 。 评分标准:本题 20 分,每空 2 分。

第 20 届复赛
四、参考解答 图复解 20-4-1 中画出的是进入玻璃半球的任一光线的光路(图中阴影处是无光线进入 的区域) ,光线在球面上的入射角和折射角分别为 i 和 i ? ,折射光线与坐标轴的交点在 P 。 令轴上 OP 的距离为 x , MP 的距离为 l ,根据折射定律,有

sin i? ?n sin i

(1)

在 ?OMP 中

l x ? sin i sin i? 2 l ? R 2 ? x 2 ? 2 Rx cos i
由式(1)和式(2)得

(2) (3)

x ? nl
再由式(3)得

x2 ? n2 ( R2 ? x2 ? 2Rx cos i)
设 M 点到 Ox 的距离为 h ,有

h ? R sin i

R cos i ? R2 ? R2 sin 2 i ? R2 ? h2


x2 ? R 2 ? x2 ? 2 x R 2 ? h2 2 n 1 x2 (1 ? 2 ) ? 2x R2 ? h2 ? R2 ? 0 n
解式(4)可得

(4)

x?

n2 R 2 ? h2 ? n R 2 ? n2h2 n2 ? 1

(5)

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为排除上式中应舍弃的解,令 h ? 0 ,则 x 处应为玻璃半球在光轴 Ox 上的傍轴焦点,由上 式

x?

n(n ? 1) n n R? R或 R 2 n ?1 n ?1 n ?1

由图可知,应有 x ? R ,故式(5)中应排除±号中的负号,所以 x 应表示为

x?

n2 R 2 ? h2 ? n R 2 ? n2h2 n2 ? 1

(6)

上式给出 x 随 h 变化的关系。 因为半球平表面中心有涂黑的面积,所以进入玻璃半球的光线都有 h ? h0 ,其中折射光 线与 Ox 轴交点最远处的坐标为

x0 ?

2 2 n 2 R 2 ? h0 ? n R 2 ? n 2 h0

n2 ? 1

(7)

在轴上 x ? x0 处,无光线通过。 随 h 增大,球面上入射角 i 增大,当 i 大于临界角 iC 时,即会发生全反射,没有折射光 线。与临界角 iC 相应的光线有

hC ? R sin iC ? R
这光线的折射线与轴线的交点处于

1 n

n2 R 1 ? xC ? n2 ? 1

1 n2 ?

nR n2 ? 1

(8)

在轴 Ox 上 R ? x ? xC 处没有折射光线通过。 由以上分析可知,在轴 Ox 上玻璃半球以右

xC ? x ? x0

(9)

的一段为有光线段, 其它各点属于无光线段。x0 与 xC 就是所要求的分界点, 如图复解 20-4-2 所示

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评分标准:本题 20 分。 求得式(7)并指出在 Ox 轴上 x ? x0 处无光线通过,给 10 分;求得式(8)并指出在 Ox 轴 上 x ? x0 处无光线通过,给 6 分;得到式(9)并指出 Ox 上有光线段的位置,给 4 分。

第 19 届预赛
五、参考解答

由于光学系统是左右对称的,物、像又是左右对称的,光路一定是左右对称的。该光 线在棱镜中的部分与光轴平行。由 S 射向 L1 光心的光线的光路图如图预解 19-5 所示。由对 称性可知

i1 ? r2 i2 ? r1
由几何关系得 由图可见

① ② ③

r1 ? i2 ? ? ? 60?

i1 ? ? ? r1
又从 ?FSO1 的边角关系得



tan ? ? y / f
代入数值得

⑤ ⑥

? ? arctan(14.3/ 30.0) ? 25.49?
由②、③、④与⑥式得 r1 ? 30? , i1 ? 55.49? 根据折射定律,求得

n?

sin i1 ? 1.65 sin r1



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评分标准:本题 20 分 1. 图预解 19-5 的光路图 4 分。未说明这是两个左右对称性的结果只给 2 分。 2. ①、②、③、④式各给 2 分,⑤式给 3 分,⑥式给 1 分,⑦式给 4 分。

第 19 届复赛
五、参考解答 利用焦点的性质,用作图法可求得小物 PQ 的像 P?Q? ,如下图所示。

Q
y

n1 f1 u

n2

F2
f2 v

P?
y?

P

F1

Q?

图复解 19-5-1

(1)用 y 和 y? 分别表示物和像的大小,则由图中的几何关系可得

f2 y u ? f1 ? ? y? f1 v ? f2

(1)

(u ? f1 )(v ? f2 ) ? f1 f 2
简化后即得物像距公式,即 u , v , f1 , f 2 之间的关系式

f1 f 2 ? ?1 u v

(2)

(2)薄透镜中心附近可视为筹薄平行板,入射光线经过两次折射后射出,放大后的光 路如图复解19-5-2所示。图中 ? 1 为入射角, ?2 为与之相应的出射角, ? 为平行板中的光线 与法线的夹角。设透镜的折射率为 n ,则由折射定律得

n1 sin?1 ? n sin ? ? n2 sin? 2
对傍轴光线, ? 1 、 ?2 ≤1,得 sin ?1 ? ?1 , sin? 2 ? ? 2 ,因而得

(3)

?2 ?

n1 ?1 n2

(4)

?1

n1 n
? ?

n2
?2

(3)由物点 Q 射向中心 O 的入射线,经 L 折射后,出射线应射向 Q? ,如图复解19-5-3所 示,

图复解 19-5-2

Q
y

n1

L

?1

n2

F2
?2

P?
y?

P

F1 u

v u
图复解 19-5-3

Q?

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在傍轴的条件下,有

y y? ? tan?1 ? ?1, ? tan?2 ? ?2 u v
二式相除并利用(4)式,得

(5)

y ?u n1 ? yv n2
用(1)式的 y? / y ? f1 /(u ? f1 ) 代入(6)式,得

(6)

f1u n ? 1 (u ? f1 )v n2


f1 ?

n1uv n2u ? n1v

(7)

用(1)式的 y? / y ? (v ? f 2 ) / f 2 代入(6)式,得

(v ? f 2 )u n1 ? f 2v n2


f2 ?

n2uv n2u ? n1v

(8)

从而得 f1 , f 2 , n1 , n2 之间关系式

f 2 n2 ? f1 n1
六、参考解答 (1)由能量与速度关系及题给条件可知运动电子的能量为

(9)

m0c 2 1 ? (v / c )
2 2

? 1.10m0c2

(1)

由此可解得

v?

0.21 ? 0.417c ? 0.42c 1.10

(2)

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入射光子和散射光子的动量分别为 p ?

h? h? ? 和 p? ? , 方向如图复解19-6所示。 电子的 c c
光子散射方向 电子 光子入射方向 (4)

动量为 mv , m 为运动电子的相对论质量。由动量守恒定 律可得

h? cos? ? c 1 ? (v 2 / c 2 ) m0v m0v 1 ? (v / c )
2 2

(3)

?

sin ? ?

h? ? c

光子入射方向
图复解 19-6

A

已知

h? ? h? ? ? 0.10m0c2

(5)

由(2)、(3)、(4)、(5)式可解得

? ? 0.37m0c2 / h
? ? ? 0.27m0c2 / h

(6) (7) (8)

? ? tan-1

?? 27 ? arctan( ) ? 36.1? ? 37

电子从 O 点运动到 A 所需时间为

?t ?

L0 ? 2.4L0 / c v

(9)

(2)当观察者相对于 S 沿 OA 方向以速度 v 运动时,由狭义相对论的长度收缩效应得

L ? L0 1 ? (v 2 / c 2 )
L ? 0.91L0

(10) (11)

第 18 届预赛
三、参考解答 1.先求凸球面的曲率半径 R 。平行于主光轴的光线与平面垂直,不发生折射,它在球 面上发生折射,交主光轴于 F 点,如图预解 18-3-1 所示。 C 点为球面的球心, CO ? R ,由 正弦定理,可得

R? f sin r ? R sin(r ? i )
由折射定律知

(1)

sin i 1 (2) ? sin r n 当 i 、 r 很小时, sin r ? r , sin(r ? i ) ? r ? i , sin i ? i ,由以上两式得 1? f r n 1 ? ? ?1? R r ? i n ?1 n ?1
(3)

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所以

R ? (n ? 1) f
2. 凸面镀银后将成为半径为 R 的凹面镜,如图预解 18-3-2 所示 令 P 表示物所在位置, P 点经平 面折射成像 P ? ,根据折射定律可推出

(4)

P?O ? nPO

(5)

由于这是一个薄透镜, P ? 与凹面镜的 距离可认为等于 P?O ,设反射后成像 于 P ?? ,则由球面镜成像公式可得 1 1 2 ? ? (6) P??O P?O R 由此可解得 P??O ? 36 cm ,可知 P ?? 位于平面的左方,对平面折射来说, P ?? 是一个虚物,经 平面折射后,成实像于 P ??? 点。

P ???O 1 ? P ??O n
所以

(7)

P???O ? 24 cm

(8)

最后所成实像在透镜左方 24 cm 处。 评分标准:本题 18 分 (1)(2)式各 2 分; 、 (3)或(4)式 2 分; (5)式 2 分; (6)式 3 分; (7)式 4 分; (8) 式 3 分。

第 18 届复赛
一、参考解答 1. 对于一个望远系统来说,从主光轴上无限远处的物点发出的入射光为平行于主光轴 的光线,它经过系统后的出射光线也应与主光轴平行,即像点也在主光轴上无限远处,如图 复解 18-1-1 所示,图中 C1 为左端球面的球心.

由正弦定理、折射定律和小角度近似得 AF1 ? R 1 sin 1 r r 1 1 1 ? ? ? ? R1 sin(i 1? r ) i ? r 1 (i / r1 ) ?1 n ? 1 1 1 1

(1)

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AF1 1 (2) ?1 ? R1 n ?1 光线 PF1 射到另一端面时,其折射光线为平行于主光轴的光线,由此可知该端面的球心

C2 一定在端面顶点 B 的左方, C2 B 等于球面的半径 R2 ,如图复解 18-1-1. 仿照上面对左端球面上折射的关系可得 BF1 1 (3) ?1 ? R2 n ?1
又有

BF ? L ? AF 1 1

(4) (5)

由(2)(3)(4)式并代入数值可得 、 、 R2 ? 5 cm 即右端为半径等于 5 cm 的向外凸的球面.

2. 设从无限远处物点射入的平行光线用① ② 、 表示, 令① C1 , 过 A , 过 ② 如图复解 18-1-2 所示,则这两条光线经左端球面折射后的相交点 M ,即为左端球面对此无限远物点成的像 点.现在求 M 点的位置。在 ?AC1M 中

n sin ?1? ? sin ?1 已知 ?1 , ?1? 均为小角度,则有


R1 AM AC ? ? sin(? ? ?1 ) sin ?1 sin(?1 ? ?1?)

(6) (7)

AM

?1

?

R1

?1 (1 ? )

1 n

(8)

与(2)式比较可知, AM ? AF ,即 M 位于过 F1 垂直于主光轴的平面上.上面已知,玻璃 1 棒为天文望远系统,则凡是过 M 点的傍轴光线从棒的右端面射出时都将是相互平行的光 线.容易看出,从 M 射出 C2 的光线将沿原方向射出,这也就是过 M 点的任意光线(包括 光线① ② 从玻璃棒射出的平行光线的方向。 、 ) 此方向与主光轴的夹角即为 ?2 , 由图复 18-1-2 可得

?1 C1F1 AF1 ? R1 ? ? ?2 C2 F1 BF1 ? R2
由(2)(3)式可得 、 AF1 ? R1

(9)

BF1 ? R2


?

R1 R2

?2 R1 ? ?2 ?1 R2

(10)

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第 17 届预赛
三、参考解答 物体 S 通过平行玻璃板及透镜成三次像才能被观察到。设 透镜的主轴与玻璃板下表面和上表面的交点分别为 A 和 B , S 作为物,通过玻璃板 H 的下表面折射成像于点 S1 处,由图预解 17-3,根据折射定律,有 n? sin i ? n sin r 式 中 n? ? 1 . 0 是 空 气 的 折 射 率 , 对 傍 轴 光 线 , i 、 r 很 小 , s i ni ? t a n , sin r ? tan r ,则 i

AD AD ?n SA S1 A
式中 SA 为物距, S1 A 为像距,有

S1 A ? nSA

(1)

将 S1 作为物, 再通过玻璃板 H 的上表面折射成像于点 S2 处, 这时物距为 S1B ? S1 A ? AB . 同 样根据折射定律可得像距

S2 B ?

S1 B n

(2)

将 S2 作为物,通过透镜 L 成像,设透镜与 H 上表面的距离为 x ,则物距 u ? x ? S2 B .根据 题意知最后所成像的像距 v ? ?( x ? SA ? AB) ,代入透镜成像公式,有

1 1 1 ? ? x ? S2 B x ? SA ? AB f
由(1)、(2)、(3)式代入数据可求得 x ? 1.0 cm 即 L 应置于距玻璃板 H 上表面1.0 cm 处。

(3)

(4)

第 17 届复赛
二、参考解答 在由直线 BC 与小球球心 O 所确定的平面中,激光光束两次折射的光路 BCDE 如图复 解 17-2 所示,图中入射光线 BC 与出射光线 DE 的延长线交于 G ,按照光的折射定律有

n0 sin ? ? n sin ?

(1)

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式中 ? 与 ? 分别是相应的入射角和折射角,由几何关系还可知

sin ? ?

l r

(2)

激光光束经两次折射,频率? 保持不变,故在两次 折射前后,光束中一个光子的动量的大小 p 和 p? 相 等,即

p?

h? ? p? c

(3)

式中 c 为真空中的光速,h 为普朗克常量. 因射入小 球的光束中光子的动量 p 沿 BC 方向,射出小球的 光束中光子的动量 p? 沿 DE 方向,光子动量的方向 由于光束的折射而偏转了一个角度 2? , 由图中几何 关系可知 2? ? 2(? ? ? )

(4)

若取线段 GN1 的长度正比于光子动量 p , GN2 的长度正比于光子动量 p? ,则线段 N1 N 2 的 长度正比于光子动量的改变量 ?p ,由几何关系得

?p ? 2 p sin? ? 2

h? sin? c

(5)

?GN1 N2 为等腰三角形,其底边上的高 GH 与 CD 平行,故光子动量的改变量 ?p 的方
向沿垂直 CD 的方向,且由 G 指向球心 O . 光子与小球作用的时间可认为是光束在小球内的传播时间,即

?t ?

2r cos ? cn0 / n

(6)

式中 cn0 / n 是光在小球内的传播速率。 按照牛顿第二定律,光子所受小球的平均作用力的大小为

f ?

?p n0 h? sin ? ? ?t nr cos ?

(7)

按照牛顿第三定律,光子对小球的平均作用力大小 F ? f ,即

F?

n0 h? sin ? nr cos ?

(8)

力的方向由点 O 指向点 G .由(1)、(2)、(4)及(8)式,经过三角函数关系运算, 最后可得

F?
评分标准:本题 20 分

? n0lh? ? r2 ? l2 ?1 ? 2 2 2 ? nr ? (nr / n0 ) ? l ? ? ?

(9)

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(1)式 1 分,(5)式 8 分,(6)式 4 分,(8)式 3 分,得到(9)式再给 4 分。
六、参考解答

1.由于光纤内所有光线都从轴上的 O 点出发,在光纤中传播的光线都与轴相交,位于 通过轴的纵剖面内,图复解 17-6-1 为纵剖面内的光路图,设由 O 点发出的与轴的夹角为 ? 的光线,射至 A 、 B 分界面的入射角为 i ,反射角也为 i .该光线在光纤中多次反射时的入 射角均为 i ,射至出射端面时的入射角为 ? .若该光线折射后的折射角为 ? ,则由几何关系 和折射定律可得 i ? ? ? 90? (1)

nA sin? ? nF sin?

(2)

当 i 大于全反射临界角 iC 时将发生全反射,没有光能损失,相应的光线将以不变的光强射向 出射端面,而 i ? iC 的光线则因在 发生反射时有部分光线通过折射 进入 B , 反射光强随着反射次数的 增大而越来越弱, 以致在未到达出 射端面之前就已经衰减为零了. 因 而能射向出射端面的光线的 i 的数值一定大于或等于 iC , iC 的值由下式决定

nA sin iC ? nB
与 iC 对应的 ? 值为

(3)

?C ? 90? ? iC


(4)

? 0 ? ? C 时 , 即 sin ?0 ? sin ?C ? cos iC ? 1 ? sin 2 iC ? 1 ? (nB / nA )2 时 , 或

2 2 n A sin ? 0 ? n A ? nB 时,由 O 发出的光束中,只有 ? ? ?C 的光线才满足 i ? iC 的条件,才能

射向端面,此时出射端面处 ? 的最大值为

?max ? ?C ? 90? ? iC

(5)

2 2 若 ? 0 ? ? C ,即 n A sin ? 0 ? n A ? nB 时,则由 O 发出的光线都能满足 i ? iC 的条件,因而都

能射向端面,此时出射端面处 ? 的最大值为

? max ? ? 0
端面处入射角 ? 最大时,折射角 ? 也达最大值,设为 ? max ,由(2)式可知

(6)

nF sin?max ? nA sin ?max
由(6)、(7)式可得,当 ? 0 ? ? C 时

(7)

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nF ?

nA sin ? 0 sin ? max

(8)

由(3)至(7)式可得,当 ? 0 ? ? C 时

nF ?

2 2 n A ? nB n A cos iC ? sin ? max sin ? max

(9)

? max 的数值可由图复解 17-6-2 上的几何关系求得
sin ? max ? (d 2 ? d1 ) / 2
(10)

?(d2 ? d1 ) / 2? ? (h2 ? h1 )2
2

于是 nF 的表达式应为

nF ? nA sin ? 0

?(d 2 ? d1 ) / 2?

2

? ( h2 ? h1 ) 2

(d 2 ? d1 ) / 2

( a0 ? aC )

(11)

nF ? n A ? nB
2 2

?(d 2 ? d1 ) / 2?

2

? (h2 ? h1 ) 2

(d 2 ? d1 ) / 2

( a0 ? aC )

(12)

2. 可将输出端介质改为空气,光源保持不变,按同样手续再做一次测量,可测得 h1? 、

h2? 、 d1? 、 d 2? ,这里打撇的量与前面未打撇的量意义相同.已知空气的折射率等于 1,故


当 a0 ? aC 时

1 ? nA sin ? 0

?(d ? ? d ? ) / 2 ? ? (h ? ? h ? ) 2 1 2 1 ? 2 ? (d 2? ? d1? ) / 2

2

(13)

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当 a0 ? aC 时

2 2 1 ? n A ? nB

?(d ? ? d ? ) / 2 ? ? (h ? ? h ? ) 2 1 2 1 ? 2 ? (d 2? ? d1? ) / 2

2

(14)

将(11)、(12)两式分别与(13)、(14)相除,均得

d ? ? d1? nF ? 2 d2 ? d1

?(d2 ? d1 ) / 2?

2 2

? (h2 ? h1 )2

(15)

?(d ? ? d ? ) / 2 ? ? ( h ? ? h ? ) 2 1 2 1 ? 2 ?

这结果适用于 ?0 为任何值的情况。 评分标准:本题 25 分 1. 18 分。(8)式、(9)式各 6 分,求得(11)式、(12)式再各给 3 分 2. 7 分。(13)式、(14)式各 2 分,求得(15)式再给 3 分。如果利用已知其折射率的 液体代替空气,结果正确,照样给分。

第 16 届预赛
五、参考解答 1. 用作图法求得物 AP ,的像 A' P ' 及所用各条光线的光路如图预解16-5所示。 说明:平凸薄透镜平面上镀银后构成一个由会聚透镜 L 和与它密接的平面镜 M 的组合 如图预解16-5所示. 图中 O 为 L 的光心,AOF ' 为主轴,F 和 F ' 为 L 的两个焦点,AP LM , 为物,作图时利用了下列三条特征光线:

(1)由 P 射向 O 的入射光线,它通过 O 后方向不变,沿原方向射向平面镜 M ,然后 被 M 反射,反射光线与主轴的夹角等于入射角,均为 ? 。反射线射入透镜时通过光心 O , 故由透镜射出时方向与上述反射线相同,即图中的 OP ' . (2) P 发出已通过 L 左方焦点 F 的入射光线 PFR , 由 它经过 L 折射后的出射线与主轴 平行,垂直射向平面镜 M ,然后被 M 反射,反射光线平行于 L 的主轴,并向左射入 L ,经 L 折射后的出射线通过焦点 F ,即为图中的 RFP . (3)由 P 发出的平行于主轴的入射光线 PQ ,它经过 L 折射后的出射线将射向 L 的焦 点 F ' ,即沿图中的 QF ' 方向射向平面镜,然后被 M 反射,反射线指向与 F ' 对称的 F 点, 即沿 QF 方向。此反射线经 L 折射后的出射线可用下法画出:通过 O 作平行于 QF 的辅助线
S ' OS , S ' OS 通过光心,其方向保持不变,与焦面相交于 T 点,由于入射平行光线经透镜

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后相交于焦面上的同一点, QF 经 L 折射后的出射线也通过 T 点, 故 图中的 QT 即为 QF 经 L 折射后的出射光线。 上列三条出射光线的交点 P' 即为 LM 组合所成的 P 点的像,对应的 A' 即 A 的像点.由 图可判明,像 A' P ' 是倒立实像,只要采取此三条光线中任意两条即可得 A' P ' ,即为正确的 解答。 2. 按陆续成像计算物 AP 经 LM 组合所成像的伙置、大小。 物 AP 经透镜 L 成的像为第一像,取 u1 ? 2 f ,由成像公式可得像距 v1 ? 2 f ,即像在平 向镜后距离 2 f 处,像的大小 H ' 与原物相同, H ' ? H 。 第一像作为物经反射镜 M 成的像为第二像。第一像在反射镜 M 后 2 f 处,对 M 来说是 虚物,成实像于 M 前 2 f 处。像的大小 H ?? 也与原物相同, H ?? ? H ? ? H 。 第二像作为物,而经透镜 L 而成的像为第三像,这时因为光线由 L 右方入射,且物(第 二像)位于 L 左方,故为虚物,取物 u3 ? ?2 f ,由透镜公式

1 1 1 ? ? 可得像距 u3 v3 f

v3 ?

fu3 2 ? f ?0 u3 ? f 3

上述结果表明,第三像,即本题所求的像的位置在透镜左方距离

2 f 处,像的大小 H ??? 3

可由

H ??? v3 1 ? ? 求得,即 H ?? u3 3

1 1 H ??? ? H ?? ? H 3 3
像高为物高的 。

1 3

第 16 届复赛
二、参考解答 l.在所示的光路图(图复解16-2-1)中,人射光 AB 经透镜 L1 折射后沿 BC 射向 L2 , 经 L2 折射后沿 CD 出射. AB 、BC 、CD 与透镜主轴的交点分别为 P 、P ? 和 P ?? ,如果 P 为 物点,因由 P 沿主轴射向 O1 的光线方向不变,由透镜性质可知, P ? 为 P 经过 L1 所成的像,
P ?? 为 P ? 经 L2 所成的像,因而图中所示的 u1 、 v1 、 u2 、 v 2 之间有下列关系:

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1 1 1 ? ? u1 v1 f1

(1)

1 1 1 ? ? u2 v2 f 2

(2)

d ? u2 ? v1

(3)

当入射光线 PB 与出射光线平行时,图中的 ? ? ? ? ,利用相似三角形关系可求得

h ? v2 ? , h u1
从而求得

h? u2 ? h v1
(4)

v2 u2 ? u1 v1

联立方程(1)、(2)、(3)、(4),消去 v1 、 u2 和 v 2 ,可得

u1 ?

f1d d ? ( f1 ? f 2 )

(5)

由于 d 、 f1 、 f 2 均已给定,所以 u1 为一确定值,这表明:如果入射光线与出射光线平 行, 则此入射光线必须通过主轴上一确定的点, 它在 L1 的左方与 L1 相距 u1 ?

f1d 处, d ? ( f1 ? f 2 )

又由于 u1 与 ? 无关,凡是通过该点射向 L1 的入射光线都和对应的出射光线相互平行. 2.由所得结果(5)式可以看出,当 d ? f1 ? f 2 时, u1 ? 0 ,此情况下的光路图就是图 复解16-2-1. 当 d ? f1 ? f 2 时, u1 ? ? ,? ? 0 ,此时入射光线和出射光线均平行于主轴,光路如图

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复解16-2-2.

当 d ? f1 ? f 2 时, u1 ? 0 ,这表明 P 点在 L1 的右方,对 L1 来说,它是虚物.由(1)式 可知,此时 v1 ? 0 ,由 u2 ? 光路图如图复解16-2-3.

f2 u v v1 可知, u2 ? 0 ,又由 2 ? 1 ? 0 可知, v2 ? 0 ,所以此时的 f1 v2 u2


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