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【创新方案】2013年高考数学一轮复习 第二篇 函数与基本初等函数Ⅰ第1讲 函数及其表示教案(1)


第1讲
【2013 年高考会这样考】

函数及其表示

1.主要考查函数的定义域、值域、解析式的求法. 2.考查分段函数的简单应用. 3.由于函数的基础性强,渗透面广,所以会与其他知识结合考查. 【复习指导】 正确理解函数的概念是学好函数的关键, 函数的概念比较抽象, 应通过适量练习弥补理解的 缺陷,纠正理解上的错误.本讲复习还应

掌握:(1)求函数的定义域的方法;(2)求函数解析 式的基本方法;(3)分段函数及其应用.

基础梳理 1.函数的基本概念 (1)函数的定义:设 A、B 是非空数集,如果按照某种确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的 任意一个数 x,在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应,那么称 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数,记作:y=f(x),x∈A. (2)函数的定义域、值域 在函数 y=f(x),x∈A 中,x 叫自变量,x 的取值范围 A 叫做定义域,与 x 的值对应的 y 值 叫函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫值域.值域是集合 B 的子集. (3)函数的三要素:定义域、值域和对应关系. (4)相等函数:如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,则这两个函数相等;这是判断 两函数相等的依据. 2.函数的三种表示方法 表示函数的常用方法有:解析法、列表法、图象法. 3.映射的概念 一般地,设 A、B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的 任意一个元素 x,在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应,那么就称对应 f:A→B 为从 集合 A 到集合 B 的一个映射.

一个方法 求复合函数 y=f(t),t=q(x)的定义域的方法: ①若 y=f(t)的定义域为(a, ), b 则解不等式得 a<q(x)<b 即可求出 y=f(q(x))的定义域; ②若 y=f(g(x))的定义域为(a,b),则求出 g(x)的值域即为 f(t)的定义域. 两个防范
1

(1)解决函数问题,必须优先考虑函数的定义域. (2)用换元法解题时,应注意换元前后的等价性. 三个要素 函数的三要素是: 定义域、 值域和对应关系. 值域是由函数的定义域和对应关系所确定的. 两 个函数的定义域和对应关系完全一致时, 则认为两个函数相等. 函数是特殊的映射, 映射 f:

A→B 的三要素是两个集合 A、B 和对应关系 f.
双基自测 1.(人教 A 版教材习题改编)函数 f(x)=log2(3 +1)的值域为( A.(0,+∞) C.(1,+∞) 解析 ∵3 +1>1, ∴f(x)=log2(3 +1)>log21=0. 答案 A 2.(2011·江西)若 f(x)= 1 1 log ? 2x+1? 2 ,则 f(x)的定义域为( ).
x x x

).

B.[0,+∞) D.[1,+∞)

? 1 ? A.?- ,0? ? 2 ? ? 1 ? C.?- ,+∞? ? 2 ?

? 1 ? B.?- ,0? ? 2 ?
D.(0,+∞)

1 解析 由 log (2x+1)>0,即 0<2x+1<1, 2 1 解得- <x<0. 2 答案 A 3.下列各对函数中,表示同一函数的是( A.f(x)=lg x ,g(x)=2lg x B.f(x)=lg C.f(u)=
2

).

x+1 ,g(x)=lg(x+1)-lg(x-1) x-1
1+u ,g(v)= 1-u
2 2

1+v 1-v

D.f(x)=( x) ,g(x)= x 答案 C

4.(2010·陕西)某学校要召开学生代表大会,规定各班每 10 人推选一名代表,当各班人数 除以 10 的余数大于 6 时再增选一名代表.那么,各班可推选代表人数 y 与该班人数 x 之间 的函数关系用取整函数 y=[x]([x]表示不大于 x 的最大整数)可以表示为( ).
2

A.y=? ? ?10? C.y=?

?x? ?x+4? ? ? 10 ?

B.y=? D.y=?

?x+3? ? ? 10 ? ?x+5? ? ? 10 ? ?x+3?. ? ? 10 ?

解析 根据规定各班每 10 人推选一名代表, 当各班人数除以 10 的余数大于 6 时再增选一名 代表,即余数分别为 7、8、9 时可增选一名代表.因此利用取整函数可表示为 y=? 故选 B. 答案 B 5.函数 y=f(x)的图象如图所示.那么,f(x)的定义域是________;值域是________;其 中只与 x 的一个值对应的 y 值的范围是________.

解析 任作直线 x=a,当 a 不在函数 y=f(x)定义域内时,直线 x=a 与函数 y=f(x)图象 没有交点; a 在函数 y=f(x)定义域内时, 当 直线 x=a 与函数 y=f(x)的图象有且只有一个 交点. 任作直线 y=b,当直线 y=b 与函数 y=f(x)的图象有交点,则 b 在函数 y=f(x)的值域内; 当直线 y=b 与函数 y=f(x)的图象没有交点,则 b 不在函数 y=f(x)的值域内. 答案 [-3,0]∪[2,3] [1,5] [1,2)∪(4,5]

考向一 求函数的定义域 【例 1】? 求下列函数的定义域: |x-2|-1 (1)f(x)= ; log2? x-1? (2)f(x)= ln?

x+1? . 2 -x -3x+4

[审题视点] 理解各代数式有意义的前提,列不等式解得.

?|x-2|-1≥0, ? 解 (1)要使函数 f(x)有意义,必须且只须?x-1>0, ?x-1≠1. ?
解不等式组得 x≥3,因此函数 f(x)的定义域为[3,+∞).

3

? ?x+1>0, (2)要使函数有意义,必须且只须? 2 ? ?-x -3x+4>0, ?x>-1, ? 即? ? ?? x+4? ? x-1?

<0,

解得:-1<x<1.

因此 f(x)的定义域为(-1,1). 求函数定义域的主要依据是 (1)分式的分母不能为零;(2)偶次方根的被开方式其值非负;(3)对数式中真数大于零,底 数大于零且不等于 1.

? 1 1? 【训练 1】 (2012·天津耀华中学月考)(1)已知 f(x)的定义域为?- , ?,求函数 y = ? 2 2?
f?x -x- ?的定义域; 2
2

? ?

1?

?

(2)已知函数 f(3-2x)的定义域为[-1,2],求 f(x)的定义域. 1 2 解 (1)令 x -x- =t, 2
? ? ? 1 知 f(t)的定义域为?t?- ? ? ? 2 ? 1? ≤t≤ ?, 2? ?

1 2 1 1 ∴- ≤x -x- ≤ , 2 2 2
? ?x -x≥0, 整理得? 2 ?x -x-1≤0 ?
2

?x≤0或x≥1, ? ? ?1- 5 1+ 5 ? 2 ≤x≤ 2 , ? ?1- 5 ? ? 1+ 5? ,0?∪?1, ?. 2 ? ? 2 ? ?

∴所求函数的定义域为?

(2)用换元思想,令 3-2x=t,

f(t)的定义域即为 f(x)的定义域,
∵t=3-2x(x∈[-1,2]),∴-1≤t≤5, 故 f(x)的定义域为[-1,5]. 考向二 求函数的解析式

?2 ? 【例 2】? (1)已知 f? +1?=lg x,求 f(x); ?x ?
(2)定义在(-1,1)内的函数 f(x)满足 2f(x)-f(-x)=lg(x+1),求函数 f(x)的解析式. [审题视点] (1)用代换法求解;(2)构造方程组求解. 2 2 解 (1)令 t= +1,则 x= , x t-1
4

∴f(t)=lg

2 2 ,即 f(x)=lg . t-1 x-1

(2)x∈(-1,1)时,有 2f(x)-f(-x)=lg(x+1).① 以-x 代 x 得,2f(-x)-f(x)=lg(-x+1).② 由①②消去 f(-x)得

f(x)= lg(x+1)+ lg(1-x),x∈(-1,1).
求函数解析式的方法主要有:(1)代入法;(2)换元法;(3)待定系数法;(4)解函 数方程等. 【训练 2】 (1)已知 f(x)是二次函数,若 f(0)=0,且 f(x+1)=f(x)+x+1,试求 f(x)的 表达式. 1 (2)已知 f(x)+2f( )=2x+1,求 f(x).

2 3

1 3

x

解 (1)由题意可设 f(x)=ax +bx(a≠0),则

2

a(x+1)2+b(x+1)=ax2+bx+x+1 ax2+(2a+b)x+a+b=ax2+(b+1)x+1
?2a+b=b+1, ? ∴? ? ?a+b=1,

1 1 解得 a= ,b= . 2 2

1 2 1 因此 f(x)= x + x. 2 2 1 ?f? x? +2f?x?=2x+1, ? ? ? ? ? (2)由已知得? 1 2 ? ? ?f?x?+2f? x? =x+1, ??? 4+x-2x 得 f(x)= . 3x 考向三 分段函数
? ?2 ,x≤1, 【例 3】? (2011·辽宁)设函数 f(x)=? ? ?1-log2x,x>1,
1-x 2

?1? 消去 f? ?, ?x?

则满足 f(x)≤2 的 x 的取值范围是(

).

A.[-1,2] B.[0,2] C.[1,+∞) D.[0,+∞) [审题视点] 对于分段函数应分段求解,最后再求其并集.
? ?x≤1, 解析 f(x)≤2?? 1-x ? ?2 ≤2

或?

? ?x>1, ? ?1-log2x≤2

?0≤x≤1 或 x>1,故选 D.

答案 D

5

分段函数是一类重要的函数模型.解决分段函数问题,关键抓住在不同的段内研 究问题,如本例中,需分 x≤1 和 x>1 时分别解得 x 的范围,再求其并集.
?2x+a,x<1, ? 【训练 3】 (2011·江苏)已知实数 a≠0,函数 f(x)=? ? ?-x-2a,x≥1.

若 f(1-a)=f(1

+a),则 a 的值为________. 解析 分类讨论: (1)当 a>0 时,1-a<1,1+a>1. 这时 f(1-a)=2(1-a)+a=2-a;

f(1+a)=-(1+a)-2a=-1-3a.
由 f(1-a)=f(1+a),得 2-a=-1-3a, 3 解得 a=- , 2 不符合题意,舍去. (2)当 a<0 时,1-a>1,1+a<1, 这时 f(1-a)=-(1-a)-2a=-1-a;

f(1+a)=2(1+a)+a=2+3a,
由 f(1-a)=f(1+a),得-1-a=2+3a, 3 解得 a=- . 4 3 综合(1),(2)知 a 的值为- . 4 3 答案 - 4

阅卷报告 1——忽视函数的定义域 【问题诊断】 函数的单调区间是函数定义域的子区间,所以求解函数的单调区间,必须先 求出函数的定义域.如果是复合函数,应该根据复合函数单调性的判断方法,首先判断两个 简单函数的单调性,根据同增异减的法则求解函数的单调区间.由于思维定势的原因,考生 容易忽视定义域,导致错误. 【防范措施】 研究函数的任何问题时, 把求函数的定义域放在首位, 即遵循“定义域优先” 的原则. 1 2 【示例】? 求函数 y=log (x -3x)的单调区间. 3
6

1 错因 忽视函数的定义域,把函数 y=log t 的定义域误认为 R 导致出错. 3 实录 设 t=x -3x. 3 ∵函数 t 的对称轴为直线 x= , 2 3? ? ?3 ? 故 t 在?-∞, ?上单调递减,在? ,+∞?上单调递增. 2? ? ?2 ? 1 2 ∴函数 y=log (x -3x)的单调递增区间 3 3? ? ?3 ? 是?-∞, ?,单调递减区间是? ,+∞?. 2? ? ?2 ? 正解 设 t=x -3x,由 t>0,得 x<0 或 x>3,即函数的定义域为(-∞,0)∪(3,+∞). 3 函数 t 的对称轴为直线 x= , 2 故 t 在(-∞,0)上单调递减,在(3,+∞)上单调递增. 1 1 2 而函数 y=log t 为单调递减函数, 由复合函数的单调性可知, 函数 y=log (x -3x)的单调 3 3 递增区间是(-∞,0),单调递减区间是(3,+∞).
2 2

【试一试】 求函数 f(x)=log2(x -2x-3)的单调区间. [尝试解答] 由 x -2x-3>0,得 x<-1 或 x>3, 即函数的定义域为(-∞,-1)∪(3,+∞). 令 t=x -2x-3,则其对称轴为 x=1,故 t 在(-∞,-1)上是减函数,在(3,+∞)上是 增函数. 又 y=log2t 为单调增函数. 故函数 y=log2(x -2x-3)的单调增区间为(3,+∞),单调减区间为(-∞,-1).
2 2 2

2

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