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2013届人教优化设计第一轮数学理复习课件2.3


2.3 函数的奇偶性与周期性

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基础梳理自测

考点探究突破

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基础梳理自测 ◎构建能力大厦的奠基石◎

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?
? ? 知识梳理?

1.函数的奇偶性

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奇偶性 偶函数

定义

图象特点 对称

如果对于函数f(x)的定 关于

义域内任意一个x,都
有 ,那么函数

f(x)是偶函数 奇函数 如果对于函数f(x)的定 关于 义域内任意一个x,都 有 ,那么函数 对称

f(x)是奇函数

答案:f(-x)=f(x)

y轴 f(-x)=-f(x)

原点
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2.周期性 (1)周期函数:对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定 义域内的任何值时,都有f(x+T)= 数,称T为这个函数的周期. (2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中 数,那么这个 答案:(1)f(x) 正数就叫做f(x)的最小正周期. (2)存在一个最小 最小 的正 ,那么就称函数y=f(x)为周期函

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?

基础自测?
1 x

1.函数f(x)=? -x的图象关于( A.y轴对称 B.直线y=-x对称

).

C.坐标原点对称

D.直线y=x对称

答案:C

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2.函数f(x)=(m-1)x2+2mx+3为偶函数,则f(x)在区间(-5,-3)上( A.先减后增 C.单调递减 答案:D B.先增后减 D.单调递增

).

3.若f(x)是R上周期为5的奇函数,且满足f(1)=1,f(2)=2,则f(3)-f(4)=(

).

A.-1
答案:A

B.1

C.-2

D.2

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4.偶函数f(x)是以4为周期的函数,f(x)在区间[-6,-4]上是减函数,则f(x) 在[0,2]上的单调性是 .

答案:单调递增

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?

思维拓展?

1.奇函数、偶函数的定义域具有什么特点?它是函数具有奇偶性的什

么条件?
提示:定义域关于原点对称,必要不充分条件. 2.若f(x)是偶函数且在x=0处有定义,是否有f(x)=0?奇函数呢? 提示:不一定,如f(x)=x2+1是偶函数,而f(0)=1;若奇函数f(x)在x=0处有定 义,则一定有f(0)=0.

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3.若T为y=f(x)的一个周期,那么nT(n∈Z)是函数f(x)的周期吗? 提示:不一定.由周期函数的定义知,函数的周期是非零常数,当n∈Z且 n≠0时,nT是f(x)的一个周期. 4.是否存在既是奇函数又是偶函数的函数?若有,有多少个? 提示:存在,即f(x)=0,定义域是关于原点对称的任意一个数集,这样的 函数有无穷多个.

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一、函数奇偶性的判定
【例1】 判断下列函数的奇偶性.
3 (1)f(x)=? ? x 2 +?x 2 ? 3 ;
?3 ? x 2 ? 0, 解:(1)由 ? 2 ? x ? 3 ? 0,

?

3 3 得x=-? 或x=? . 3 3 ∴函数f(x)的定义域为{-? ,? }. 3 3 3 3 ∵对任意的x∈{-? ,? },-x∈{-? ,? },且f(-x)=-f(x)=f(x)=0,

∴f(x)既是奇函数,又是偶函数.
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1? x (2)f(x)=(x+1)? ; 1? x

解:(2)要使f(x)有意义,则? ≥0,

1? x 1? x

解得-1<x≤1,显然f(x)的定义域不关于原点对称,
∴f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.

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4 ? x2 (3)f(x)= . | x ? 3 | ?3

?

?4 ? x 2 ? 0, 解:∵? ?| x ? 3 |? 3,

?

∴-2≤x≤2且x≠0. ∴函数f(x)的定义域关于原点对称,
4 ? x2 4 ? x2 f(x)=? =? . x ?3?3 x

4 ? (? x) 2 4 ? x2 又f(-x)=? =-? , ?x x

∴f(-x)=-f(x),即函数f(x)是奇函数.
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?

方法提炼判定函数奇偶性的常用方法及思路:

1.定义法:

?
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2.图象法:

?

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3.性质法:(1)“奇+奇”是奇,“奇-奇”是奇,“奇· 奇”是偶,“奇÷奇”是
偶; (2)“偶+偶”是偶,“偶-偶”是偶,“偶· 偶”是偶,“偶÷偶”是偶; (3)“奇· 偶”是奇,“奇÷偶”是奇. 提醒:(1)分段函数奇偶性的判断,要注意定义域内x取值的任意性,应 分段讨论,讨论时可依据x的范围取相应的化简解析式,判断f(x)与f(-x) 的关系,得出结论,也可以利用图象作判断.

(2)“性质法”中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的.
(3)性质法在小题中可直接运用,但在解答题中应给出性质推导的过程. 请做[针对训练]1
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二、抽象函数的奇偶性 【例2】 函数f(x)的定义域D={x|x≠0},且满足对于任意x1,x2∈D,有f(x1·2) x =f(x1)+f(x2). (1)求f(1)的值; (2)判断f(x)的奇偶性并证明.

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解:(1)令x1=x2=1, 有f(1×1)=f(1)+f(1), 解得f(1)=0.

(2)f(x)为偶函数,证明如下:
定义域D={x|x≠0}关于原点对称. 令x1=x2=-1, 有f[(-1)×(-1)]=f(-1)+f(-1),解得f(-1)=0.

令x1=-1,x2=x,有f(-x)=f(-1)+f(x),
∴f(-x)=f(x),∴f(x)为偶函数.
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?

方法提炼抽象函数奇偶性的判断方法:

(1)利用函数奇偶性的定义,找准方向(想办法出现f(-x),f(x));

(2)巧妙赋值,合理、灵活地变形配凑;
(3)找出f(-x)与f(x)的关系,得出结论. 提醒:抽象函数奇偶性的判断,关键是要充分理解题意,灵活选取变量 的值.

请做[针对训练]2

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三、函数奇偶性的应用 【例3-1】 设偶函数f(x)满足f(x)=x3-8(x≥0),则{x|f(x-2)>0}=( A.{x|x<-2或x>0} C.{x|x<0或x>6} B.{x|x<0或x>4} D.{x|x<-2或x>2} ).

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解析:当x<0时,-x>0,

∴f(-x)=(-x)3-8=-x3-8,
又f(x)是偶函数, ∴f(x)=f(-x)=-x3-8.
? x 3 ? 8, x ? 0, ∴f(x)= ? 3 ?? x ? 8, x ? 0.

?

?(x ? 2)3 ? 8, x ? 2, ∴f(x-2)= ? 3 ? ?(x ? 2) ? 8, x ? 2,

?

? x ? 2, ?x ? 2, 由f(x-2)>0得: ? 或? (x ? 2)3 ? 8 ? 0 ??(x ? 2)3 ? 8 ? 0. ?

?

?

解得x>4或x<0,故选B. 答案:B
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【例3-2】 设a,b∈R,且a≠2,若定义在区间(-b,b)内的函数f(x)=lg?
是奇函数,则a+b的取值范围为 解析:∵f(x)在(-b,b)上是奇函数,
1 ? ax 1 ? ax 1 ? 2x ∴f(-x)=lg ? =-f(x)=-lg ? =lg ? , 1 ? 2x 1 ? 2x 1 ? ax

1 ? ax 1 ? 2x

.

∴?

1 ? 2x 1 ? ax =? 对x∈(-b,b)成立,可得a=-2(a=2舍去). ∴f(x)=lg 1 ? 2x , ?2x 1 ? ax 1 ? 2x 1?

1 1 1 ? 2x 由? >0,得-? ? <x< 2 ,又f(x)定义区间为(-b,b), 2 1 ? 2x 1 3 ∴0<b≤? ,-2<a+b≤-? . 2 2
3? ? ?2, ? ? 答案: ? ? 2? ?
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【例3-3】 设函数f(x)=x3+bx2+cx(x∈R),已知g(x)=f(x)-f'(x)是奇函数. (1)求b,c的值; (2)求g(x)的单调区间与极值. 解:(1)∵f(x)=x3+bx2+cx,∴f'(x)=3x2+2bx+c, ∴g(x)=f(x)-f'(x) =x3+(b-3)x2+(c-2b)x+c, ∵g(x)是一个奇函数, ∴g(0)=0,得c=0, 由奇函数定义f(-x)=-f(x)得b=3.
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(2)由(1)知g(x)=x3-6x, 从而g'(x)=3x2-6, 由此可知,(-∞,-?2 )和(?2 ,+∞)是函数g(x)的单调递增区间;(-?2 ,?2 ) 是函数g(x)的单调递减区间.

g(x)在x=-?2 时,取得极大值,极大值为4?2 ;
g(x)在x=?2 时,取得极小值,极小值为-4?2 .

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?

方法提炼函数奇偶性的应用:

(1)已知函数的奇偶性求函数的解析式.
抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式,或充分利用奇偶性 产生关于f(x)的方程,从而可得f(x)的解析式. (2)已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数.

常常采用待定系数法:利用f(x)±f(-x)=0产生关于字母的恒等式,由系数
的对等性可得知字母的值. (3)奇偶性与单调性综合时要注意奇函数在关于原点对称的区间上的

单调性相同,偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反.
请做[针对训练]3
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四、函数的周期性及其应用

【例4】 已知定义在R上的奇函数f(x)的图象关于直线x=1对称,f(-1)=1,则
f(2 008)+f(2 009)+f(2 010)+f(2 011)= .

解析:由已知得f(0)=0,f(1)=-1, 又f(x)关于x=1对称, ∴f(x)=f(2-x)且T=4,
∴f(2)=f(0)=0,f(3)=f(3-4)=f(-1)=1,

f(2 008)=f(0)=0,f(2 009)=f(1)=-1,
f(2 010)=f(2)=0,f(2 011)=f(3)=1. f(2 008)+f(2 009)+f(2 010)+f(2 011)=0. 答案:0
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?

方法提炼关于函数周期性常用的结论:

(1)定义在R上的函数f(x),①若有两条对称轴x=a,x=b,则f(x)是周期函 数且2|a-b|是它的一个周期;②若有两个对称中心(a,0),(b,0),则f(x)是周 期函数且2|a-b|是它的一个周期;③若有一个对称中心(a,0)和一条对 称轴x=b,则f(x)是周期函数且4|a-b|是它的一个周期. (2)若对于函数f(x)的定义域内任一个自变量的值x都有f(x+a)=-f(x)或f

(x+a)=? 或f(x+a)=-? (a是常数且a≠0),则f(x)是以2a为一个周期
的周期函数.

1 f ( x)

1 f ( x)

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(3)如果T是函数y=f(x)的周期,则①kT(k∈Z且k≠0)也是y=f(x)的周期, 即f(x+kT)=f(x);②若已知区间[m,n](m<n)的图象,则可画出区间[m+kT, n+kT](k∈Z且k≠0)上的图象. 请做[针对训练]4

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