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广东省2016届高考数学二轮复习 21推理与证明课时检测


推理与证明
考点一 合情推理与演绎推理

1.观察下列等式 (1+1)=2×1 2 (2+1)(2+2)=2 ×1×3 3 (3+1)(3+2)(3+3)=2 ×1×3×5 …… 照此规律,第 n 个等式可为 n 答案 (n+1)(n+2)…(n+n)=2 ×1×3×…×(2n-1)

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2.在平面直角坐标

系中,若点 P(x,y)的坐标 x,y 均为整数,则称点 P 为格点.若一个多边形的 顶点全是格点,则称该多边形为格点多边形.格点多边形的面积记为 S,其内部的格点数记为 N,边界上的格点数记为 L.例如图中△ABC 是格点三角形,对应的 S=1,N=0,L=4.

(1)图中格点四边形 DEFG 对应的 S,N,L 分别是 ; (2)已知格点多边形的面积可表示为 S=aN+bL+c,其中 a,b,c 为常数.若某格点多边形对应的 N=71,L=18,则 S= (用数值作答). 答案 (1)3,1,6 (2)79

3.设函数 f(x)=a 为常数且 a∈(0,1). (1)当 a=时,求 f; (2)若 x0 满足 f(f(x0))=x0,但 f(x0)≠x0,则称 x0 为 f(x)的二阶周期点.证明函数 f(x)有且仅 有两个二阶周期点,并求二阶周期点 x1,x2; 2 (3)对于(2)中的 x1,x2,设 A(x1, f(f(x1))),B(x2, f(f(x2))),C(a ,0),记△ABC 的面积为 S(a), 求 S(a)在区间上的最大值和最小值. 【详细分析】(1)当 a=时, f=, f=f=2=. (2)f(f(x))= 当 0≤x≤a 时,由 x=x 解得 x=0, 因为 f(0)=0,故 x=0 不是 f(x)的二阶周期点; 2 2 当 a <x≤a 时,由(a-x)=x 解得 x=∈(a ,a), 因 f=· =≠, 故 x=为 f(x)的二阶周期点;
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当 a<x<a -a+1 时,由(x-a)=x 解得 x=∈(a,a -a+1), 因 f=·=,故 x=不是 f(x)的二阶周期点; 2 当 a -a+1≤x≤1 时, 2 由(1-x)=x 解得 x=∈(a -a+1,1), 因f =· =≠, 故 x=为 f(x)的二阶周期点. 因此,函数 f(x)有且仅有两个二阶周期点,x1=,x2=. (3)由(2)得 A, B, 则 S(a)=·, S'(a)=·, 2 因为 a∈,a +a<1, 所以 S'(a)=· =·>0. 或令 g(a)=a -2a -2a+2,g'(a)=3a -4a-2 =3 , 因 a∈(0,1),g'(a)<0,则 g(a)在区间上的最小值为 g=>0, 3 2 故对于任意 a∈,g(a)=a -2a -2a+2>0, S'(a)=·>0 则 S(a)在区间上单调递增, 故 S(a)在区间上的最小值为 S=,最大值为 S=. 考点二 直接证明与间接证明 4.设函数 f(x)=(a∈R,e 为自然对数的底数).若存在 b∈[0,1]使 f(f(b))=b 成立,则 a 的取 值范围是( ) A.[1,e] B.[1,1+e] C.[e,1+e] D.[0,1] 答案 A
3 2 2

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5.已知函数 f(x)=e ,x∈R. (1)求 f(x)的反函数的图象上点(1,0)处的切线方程;
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x

(2)证明:曲线 y=f(x)与曲线 y=x +x+1 有唯一公共点; (3)设 a<b,比较 f 与 的大小,并说明理由. 【详细分析】(1)f(x)的反函数为 g(x)=ln x,设所求切线的斜率为 k, ∵g'(x)=,∴k=g'(1)=1, 于是在点(1,0)处切线方程为 y=x-1. x 2 x 2 (2)解法一:曲线 y=e 与 y=x +x+1 公共点的个数等于函数φ (x)=e -x -x-1 零点的个数. ∵φ (0)=1-1=0,∴φ (x)存在零点 x=0. x x x 又φ '(x)=e -x-1,令 h(x)=φ '(x)=e -x-1,则 h'(x)=e -1, 当 x<0 时,h'(x)<0,∴φ '(x)在(-∞,0)上单调递减. 当 x>0 时,h'(x)>0,∴φ '(x)在(0,+∞)上单调递增. ∴φ '(x)在 x=0 处有唯一的极小值φ '(0)=0, 即φ '(x)在 R 上的最小值为φ '(0)=0. ∴φ '(x)≥0(仅当 x=0 时等号成立), ∴φ (x)在 R 上是单调递增的,∴φ (x)在 R 上有唯一的零点, 2 故曲线 y=f(x)与 y=x +x+1 有唯一的公共点. x 2 解法二:∵e >0,x +x+1>0, x 2 ∴曲线 y=e 与 y=x +x+1 公共点的个数等于曲线 y=与 y=1 公共点的个数, 设φ (x)=,则φ (0)=1,即 x=0 时,两曲线有公共点. 又φ '(x)==≤0(仅当 x=0 时等号成立), ∴φ (x)在 R 上单调递减,∴φ (x)与 y=1 有唯一的公共点, 2 故曲线 y=f(x)与 y= x +x+1 有唯一的公共点. (3)-f =-==[--(b-a)]. x x 设函数 u(x)=e --2x(x≥0),则 u'(x)=e +-2≥2-2=0, ∴u'(x)≥0(仅当 x=0 时等号成立), ∴u(x)单调递增. 当 x>0 时,u(x)>u(0)=0. 令 x=,则得--(b-a)>0, ∴>f. 6.如图,某地质队自水平地面 A,B,C 三处垂直向地下钻探,自 A 点向下钻到 A1 处发现矿藏,再 继续下钻到 A2 处后下面已无矿,从而得到在 A 处正下方的矿层厚度为 A1A2=d1.同样可得在 B,C 处正下方的矿层厚度分别为 B1B2=d2,C1C2=d3,且 d1<d2<d3.过 AB,AC 的中点 M,N 且与直线 AA2 平 行的平面截多面体 A1B1C1-A2B2C2 所得的截面 DEFG 为该多面体的一个中截面,其面积记为 S 中. (1)证明:中截面 DEFG 是梯形; (2)在△ABC 中,记 BC=a,BC 边上的高为 h,面积为 S.在估测三角形 ABC 区域内正下方的矿藏 储量(即多面体 A1B1C1-A2B2C2 的体积 V)时,可用近似公式 V 估=S 中· h 来估算.已知 V=(d1+d2+d3)S, 试判断 V 估与 V 的大小关系,并加以证明.

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【详细分析】(1)依题意 A1A2⊥平面 ABC,B1B2⊥平面 ABC,C1C2⊥平面 ABC, 所以 A1A2∥B1B2∥C1C2.又 A1A2=d1,B1B2=d2,C1C2=d3,且 d1<d2<d3, 因此四边形 A1A2B2B1、A1A2C2C1 均是梯形.
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由 AA2∥平面 MEFN,AA2? 平面 AA2B2B,且平面 AA2B2B∩平面 MEFN=ME,可得 AA2∥ME,即 A1A2∥DE. 同理可证 A1A2∥FG,所以 DE∥FG. 又 M、N 分别为 AB、AC 的中点, 则 D、E、F、G 分别为 A1B1、A2B2、A2C2、A1C1 的中点,即 DE、FG 分别为梯形 A1A2B2B1、A1A2C2C1 的中位线. 因此 DE=(A1A2+B1B2)=(d1+d2),FG=(A1A2+C1C2)=(d1+d3), 而 d1<d2<d3,故 DE<FG,所以中截面 DEFG 是梯形. (2)V 估<V.证明如下: 由 A1A2⊥平面 ABC,MN? 平面 ABC,可得 A1A2⊥MN. 而 EM∥A1A2,所以 EM⊥MN,同理可得 FN⊥MN. 由 MN 是△ABC 的中位线,可得 MN= BC=a,即为梯形 DEFG 的高, 因此 S 中=S 梯形 DEFG =·=(2d1+d2+d3), 即 V 估=S 中·h=(2d1+d2+d3). 又 S=ah,所以 V=(d1+d2+d3)S=(d1+d2+d3). 于是 V-V 估=(d1+d2+d3)-(2d1+d2+d3)=[(d2-d1)+(d3-d1)]. 由 d1<d2<d3,得 d2-d1>0,d3-d1>0,故 V 估<V.

7.已知函数 f(x)=e . (1)求 f(x)的单调区间; (2)证明:当 f(x1)=f(x2)(x1≠x2)时,x1+x2<0. 【详细分析】(1)函数 f(x)的定义域为(-∞,+∞). x x x f '(x)='e +e =e x =e . 当 x<0 时, f '(x)>0; 当 x>0 时, f '(x)<0. 所以 f(x)的单调递增区间为(-∞,0),单调递减区间为(0,+∞). x (2)当 x<1 时,由于>0,e >0, 故 f(x)>0; 同理,当 x>1 时, f(x)<0. 当 f(x1)=f(x2)(x1 ≠x2)时,不妨设 x1<x2,由(1)知,x1∈(-∞,0),x2∈(0,1). x -x 下面证明:? x∈(0,1), f(x)<f(-x),即证 e <e . x 此不等式等价于(1-x)e -<0. x 令 g(x)=(1-x)e -, -x 2x 则 g'(x)=-xe (e -1). 当 x∈(0,1)时,g'(x)<0,g(x)单调递减,从而 g(x)<g(0)=0. x 即(1-x)e -<0. 所以? x∈(0,1), f(x)<f(-x). 而 x2∈(0,1),所以 f(x2)<f(-x2),从而 f(x1)<f(-x2). 由于 x1,-x2∈(-∞,0), f(x)在(-∞,0)上单调递增,所以 x1<-x2,即 x1+x2<0.

x

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