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1.5.3定积分的概念 好

时间:2016-11-30


1.5.3 定积分的概念

求由连续曲线y=f(x)对应的曲边梯形面积的方法
n个小区间: ? a, x1 ?,? x1, x2 ?,?? xi-1, xi ?,?, ? xn-1, b?, 每个小区间宽度△x =
b-a n

(1)分割:在区间[0,1]上等间隔地插入n-1个点,将它等分成

(

2) 近似代替:任取xi?[xi-1, xi],第i个小曲边梯形的面积用高 y 为f(x )而宽为Dx的小矩形面积
i

f(xi)Dx近似之。 (3)求和 取n个小矩形面积的和作为曲边梯 n

y =f ( x)

S? 形面积S的近似值:
面积S为 S = lim
n?? n

? f (x )Dx
i =1 i i

(4)取极限:,所求曲边梯形的

? f (x )Dx
i =1

O

a

xi xi xi+1 Dx

?

b

x

一、定积分的定义
从求曲边梯形面积S的过程中可以看出,通过“四步
曲”:
n求和------取极限得到解决 n 分割---近似代替---b - .a i =1 i =1

小矩形面积和S=? f (xi )Dx = ? f (xi ) ?

n

如果当n?∞时,S 的无限接近某个常数,

这个常数为函数f(x)在区间[a, b]上的定积分,记作

?a

b

b-a 即 dx= = lim ? xfi。 (xi ) lim f (x)dx,即 )) dx f (x i)?D ? ? ??aa ff((xx ? ?n 0?? n i =1 i =1
bb
n
n

定积分的定义: 即

?

b

a

b-a f ( x)dx = lim ? ? f (xi ) n?? n i =1
n

定积分的相关名称:

y
f(x) ——叫做被积函数, f(x)dx —叫做被积式, x ———叫做积分变量, a ———叫做积分下限, b ———叫做积分上限, [a, b] —叫做积分区间。

y = f ( x)

O

a

b

x

积分上限

f (x i )Dx i ? ?a f ( x )dx = I = lim ? ? 0 i =1
积分下限

b

n

被 积 函 数

被 积 式

积 分 变 量

定积分的定义: 即

?

b

a

b-a f ( x)dx = lim ? ? f (xi ) n?? n i =1
n

按定积分的定义,有 (1) 由连续曲线y=f(x) (f(x)?0) ,直线x=a、x=b及 x轴所围成的曲边梯形的面积为

S= ? f (x)dx;
a

b

(2) 设物体运动的速度v=v(t),则此物体在时间区间 v = v(t ) [a, b]内运动的距离s为 v

s= ? v(t)dt。
a

b

O

a

b

t

y

根据定积分的定义右边图形的面积为 1 1 1 2 S = ? f ( x)dx = ? x dx = 0 0 3
v
2

f(x)=x2
S= 1 3
1

g gg

D S1 DS2 D S3 DS4

g

v(t ) = - t 2 + 2
D Sj

O
n

x

gD S

g

根据定积分的定义左边图形的面积为 1 1 5 2 S = ? v(t )dt = ? (-t ? 2)dt = 0 0 3
t

O

1 1 2 3 j n - 1

n n n n

n

(2)定积分的几何意义:

当 f(x)?0 时,积分? f ( x)dx 在几何上表示由 y=f (x)、 a x=a、x=b与 x轴所围成的曲边梯形的面积。
y y= f ( x)

b

?a f (x)dx = ?a f (x)dx? ?c
O a
b a

b

c

b

f (x)dx。

b x

特别地,当 a=b 时,有? f (x)dx=0。

探究
根据定积分的几何意义,
y y=f ( x)

你能用定积分表示右图中阴
影部分的面积S吗?
O a

y = g ( x) b S2 = ? g ( x)dx
a

b x

S2 = ? f ( x)dx - ? g ( x)dx
a a

S = S1 - S2 = ? f ( x)dx - ? g ( x)dx
b a b a

b

b

y

y=f ( x)

S1 =

?

b

a

f ( x)dx

O

a

b x

三:

定积分的基本性质

性质1.

?

b

a

kf ( x )dx = k ? f ( x )dx
a

b

性质2.

?

b

a

[ f ( x ) ? g( x )]dx = ? f ( x )dx ? ? g( x )dx
a a

b

b

性质1.

?
b

b

a

kf ( x)dx = k ? f ( x )dx
a

b

b-a n kf (x i ) 证明: ? kf ( x ) dx = lim ? a n ? ?? n i =1 b-a n = lim k ? f (x i ) ? n ? ?? n i =1 b-a n = k lim f (x i ) ? n ? ?? n i =1 = k ? f ( x) dx
a b

探究:
根据定积分的几何意义,如何用定积分表示图中阴影部分 y=f ( x) 的面积? y

S = S1 - S2 = ? f ( x)dx - ? g ( x)dx
a a

b

b

S1 = y ? = fg(( x) dx

b

S2 = ? g ( x)dx
a

a

b

O

a a

b x

三:

定积分的基本性质

性质3.

定积分关于积分区间具有可加性
b

?

a

f ( x )dx = ? f ( x )dx ? ? f ( x )dx
a c

c

b

y

y =f ( x)

O

a
c1 c2 a c1



b x
b c2

?

b

a

f ( x )dx = ? f ( x )dx ? ? f ( x )dx ? ? f ( x )dx

性质 3 不论a,b,c的相对位置如何都有

?a f (x)dx = ?a f (x)dx? ?c
y

b

c

b

f (x)dx。

y=f ( x)

f )( dx x)dx = ?= f (x f )( dx x)? dx f (x ?)f dx (x f= )( dx x dx f (。 x)dx? ? ?a f?a(x ? ?a)。 a ? a a ? c ? c c

b

b

c

c

b

b

b

c

b

f (x)dx。

O

a

c

b

x

例1:利用定积分的定义,计算 ? x3 dx 0 的值.

1

定积分的几何意义:
当f(x)?0时,由y=f (x)、x=a、x=b 与 x 轴所围成的 曲边梯形位于 x 轴的下方,

积分 ? f (x)dx 在几何上表示
a

b

y

y=-f (x)
b

上述曲边梯形面积的负值。
S = ? [- f ( x)]dx
a b

S = ? [- f ( x)]dx
a

=b

?a

b

f ( x)dx . ,
c b

O a
b c

b x
= ?S f (x)dx? ? ?a f (x)dx =a c
b

f (x

= ?S f (x)dx? ? ?a f (x)dx =a c

f (x)dx。

y=f ( x)


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