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2013届人教优化设计第一轮数学理复习课件2.9


2.9 函数与方程

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基础梳理自测

考点探究突破

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基础梳理自测 ◎构建能力大厦的奠基石◎
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?

知识梳理?

?

1.函数的零点
(1)函数零点的定义. 对于函数y=f(x)(x∈D),把使 D)的零点. (2)函数的零点与相应方程的根、函数的图象与x轴交点间的关系:方 ? 程f(x)=0有实数根?函数y=f(x)的图象与 有交点?函数y=f(x)有 . (3)函数零点的判定(零点存在性定理). 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有 ,那么函数y=f(x)在区间 使得 ,这个 内有零点,即存在c∈(a,b),
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成立的实数x叫做函数y=f(x)(x∈

也就是方程f(x)=0的根.
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答案:(1)f(x)=0
(3)f(a)· f(b)<0

(2)x轴

零点
c

(a,b)

f(c)=0

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2.二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与零点的关系
Δ>0 二次函数 y=ax2+bx+c (a>0)的图象 与x轴 的交点 , 无交点 Δ=0 Δ<0

?

?

?

零点个数

答案:(x1,0) (x2,0) (x1,0) 2 1 0
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3.二分法 (1)二分法的定义. 对于在区间[a,b]上连续不断且 函数f(x)的零点所在的区间 的函数y=f(x),通过不断地把 ,使区间的两个端点逐步逼近

,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.

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(2)用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤. 第一步,确定区间[a,b],验证 ,给定精确度ε.

第二步,求区间(a,b)的中点c.
第三步,计算 ①若 ②若 . ,则c就是函数的零点; ,则令b=c(此时零点x0∈(a,c));

③若

,则令a=c(此时零点x0∈(c,b)).

第四步,判断是否达到精确度ε:即若|a-b|<ε,则得到零点近似值a(或b); 否则重复第二、三、四步.
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答案:(1)f(a)· f(b)<0 (2)f(a)· f(b)<0 f(c)

一分为二 f(c)=0

零点 f(c)· f(b)<0

f(a)· f(c)<0

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?

基础自测? ).

1.在以下区间中,存在函数f(x)=x3+3x-3的零点的是? (

A.[-1,0]
C.[0,1]

B.[1,2]
D.[2,3]

答案:C 2.如果二次函数y=x2+mx+(m+3)有两个不同的零点,则m的取值范围是 ( ). A.(-2,6) C.{-2,6} 答案:D
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B.[-2,6] D.(-∞,-2)∪(6,+∞)

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3.下列函数图象与x轴均有公共点,其中能用二分法求零点的是(

).

答案:C
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4.用二分法求函数f(x)=3x-x-4的一个零点,其参考数据如下:

?
. 答案:1.56

f(1.600 0)=0.200 f(1.562 5)=0.003

f(1.587 5)=0.133 f(1.556 2)=-0.029

f(1.575 0)=0.067 f(1.550 0)=-0.060

据此数据,可得f(x)=3x-x-4的一个零点的近似值(精确到0.01)为

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5.函数f(x)=x-? 的零点个数为
x

4

.

答案:2

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?

思维拓展?

1.函数的零点是函数y=f(x)与x轴的交点吗?是否任意函数都有零点?

提示:函数的零点不是函数y=f(x)与x轴的交点,而是y=f(x)与x轴交点的
横坐标,也就是说函数的零点不是一个点,而是一个实数;并非任意函 数都有零点,只有f(x)=0有根的函数y=f(x)才有零点.

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2.若函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,则y=f(x)在区间[a,b]上的图象是
否一定是连续不断的一条曲线,且有f(a)· f(b)<0呢? 提示:不一定.由图(1)(2)可知.

?
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3.函数零点具有哪些性质? 提示:对于任意函数,只要它的图象是连续不间断的,其函数零点具有 以下性质:

(1)当它通过零点(不是偶次零点)时,函数值变号;
(2)相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.

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考点探究突破 ◎拓展升华思维的加油站◎

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一、函数零点的求解与判定 【例1】 已知函数f(x)=x2+(1-k)x-k的一个零点在(2,3)内,则实数k的取 值范围是 ? .

解析:∵Δ=(1-k)2+4k=(1+k)2≥0对一切k∈R恒成立, 又k=-1时,f(x)的零点x=-1?(2,3), ∴要使函数f(x)=x2+(1-k)x-k的一个零点在(2,3)内, 则必有f(2)· f(3)<0,即(6-3k)· (12-4k)<0,∴2<k<3.

∴实数k的取值范围为(2,3).
答案: (2,3)
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?

方法提炼1.判断函数y=f(x)在某个区间上是否存在零

点,常用以下方法: (1)解方程:当对应方程易解时,可通过解方程,看方程是否有根落在给 定区间上; (2)利用函数零点的存在性定理进行判断; (3)通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.

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2.函数零点个数的判断方法: (1)直接求零点:令f(x)=0,如果能求出解,则有几个解就有几个零点; (2)零点存在性定理:利用定理不仅要求函数在区间[a,b]上是连续不 断的曲线,且f(a)· f(b)<0,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇 偶性)才能确定函数有多少个零点; (3)利用图象交点的个数:画出两个函数的图象,看其交点的个数,其中 交点的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的零点.

请做[针对训练]1

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二、二分法的应用 【例2】 在用二分法求方程x3-2x-1=0的一个近似解时,现在已经将根 锁定在区间(1,2)内,则下一步可断定该根所在的区间为 .

解析:区间(1,2)的中点x0=? ,
2

3

令f(x)=x3-2x-1,f? =?-4<0,f(2)=8-4-1>0, ? ?
27 8
?2? ?3 ? ,2?. 则根所在区间为 ? ?2 ?

?3?

?

?3 ? 答案:? , 2 ? ?2 ?

?

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?

方法提炼利用二分法求近似解需注意的问题.

(1)第一步中:①区间长度尽量小;②f(a)、f(b)的值比较容易计算且f(a) · f(b)<0; (2)根据函数的零点与相应方程根的关系,求函数的零点与相应方程 的根是等价的. 提醒:对于方程f(x)=g(x)的根,可以构造函数F(x)=f(x)-g(x),函数F(x)的 零点即为方程f(x)=g(x)的根.

请做[针对训练]2

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三、函数零点的综合应用 【例3-1】 是否存在这样的实数a,使函数f(x)=x2+(3a-2)x+a-1在区间[-

1,3]上恒有一个零点,且只有一个零点.若存在,求出范围;若不存在,说
明理由.

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解:∵Δ=(3a-2)2-4(a-1)>0,
∴若实数a满足条件. 则只需f(-1)· f(3)≤0即可. f(-1)· f(3)=(1-3a+2+a-1)· (9+9a-6+a-1)=4(1-a)(5a+1)≤0. 所以a≤-? 或a≥1.
5 1

检验:(1)当f(-1)=0时,a=1. 所以f(x)=x2+x. 令f(x)=0,即x2+x=0,得x=0或x=-1.

方程在[-1,3]上有两根,不合题意,故a≠1.
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(2)当f(3)=0时,a=-? ,
5

1

此时f(x)=x2-? ? x- .
5
5

13

6

令f(x)=0,即x2-? ? x- =0,
5
5

13

6

解之得x=-? 或x=3.
5

2

方程在[-1,3]上有两根,

不合题意,故a≠-? .
5

1

综上所述,a<-? 或a>1.
5
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1

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【例3-2】 已知关于x的方程3x2-5x+a=0的两根x1,x2满足x1∈(-2,0),x2∈ (1,3),求实数a的取值范围. 解:∵关于x的方程3x2-5x+a=0的两根x1,x2满足x1∈(-2,0),x2∈(1,3),

∴函数f(x)=3x2-5x+a有两个零点x1,x2,且x1∈(-2,0),x2∈(1,3).

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? f ( ? 2 ) ? 0, ? ? f (0 ) ? 0, 2 由二次函数f(x)=3x -5x+a的图象可得 ? ? f (1) ? 0, ? f (3) ? 0, ?

?

?3 ? 4 ? 5 ? (?2) ? a ? 0, ? ? a ? 0, 即? ?3 ? 5 ? a ? 0, ? 27 ? 15 ? a ? 0, ?

?

解得-12<a<0.
∴实数a的取值范围是(-12,0).

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【例3-3】 设f(x)=log2(2x+1),g(x)=log2(2x-1),若关于x的函数F(x)=g(x)-f (x)-m在[1,2]上有零点,求m的取值范围. 解:令F(x)=0, 即log2(2x-1)-log2(2x+1)-m=0, ∴m=log2(2x-1)-log2(2x+1) =log2? =log2? ?1 ? x
2 ?1
?

2 ?1
x

?

? ?. x 2 ?1? 2

∵1≤x≤2,∴3≤2x+1≤5. ∴? ? ≤? ∴? ? ≤? ≤ x . ≤1- x .
5 2

2

2 3

1

2

3

2 ?1

3

2 ?1

5

3 2 ? ? ∴log2 ≤log2 ? 1 ? x ? ≤log2 , 2 ?1? 3 5 ?

?
1

?

1 3 ? 即log2? ≤m≤log2? . 3 5
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?

方法提炼已知函数有零点(方程有根)求参数值常用的

方法和思路: (1)直接法:直接求解方程得到方程的根,再通过解不等式确定参数范 围; (2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决; (3)数形结合:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的 图象,然后观察求解. 请做[针对训练]3

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