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平面的基本性质


平面的基本性质 及其推论

复习回顾: 一、点和直线的基本性质: 1.两点之间线段最短 2.过两点有且只有一条直线 二、平面的主要特征 平面是平直的,无限延展的,没有厚度的

(1)点A在平面 ?

点、线、面关系常用符号
, 。 , 。 。 。

内,记作 点A不在平面 ? 内,记作

l 在平面? 内,记作 (2)直线 直线 l 不在平面 ? 内,记作

(3)平面 ? 与平面? 相交于直线a,记作 (4)直线 l 和直线m相交于点A,记作

基本性质1 如果一条直线上的两点在一个平面内, 那么这条直线上所有的点都在这个平面内.
图形语言:

?
A 符号语言: ?





? , B ?? ? 直线AB ? ?

作用: (1)证明线在面内 (2)证明点在面内

基本性质2 经过不在同一条直线上的三点,有 且只有一个平面 不共线的三点A,B,C的平面 图形语言: 通常记作〝平面ABC 〞
注意:

条件中提到的三点不共线的含义。
符号语言:

A, B, C不共线? A, B, C确定一平面
作用: (1)确定平面及两个平面重合的依据; (2)作几何体截面的依据。

基本性质2推论:
推论1:经过一条直线和直线外一点有且只有一个平面;

推论2:经过两条相交直线有且只有一个平面;
推论3:经过两条平行直线有且只有一个平面

作用:确定平面

讨论:
你是怎么样来理解公理2中的 “有且只有一个” 这句话的 ? 答:“有且只有一个”的 含义: 是存在性和唯一性。

基本性质3 如果不重合两个平面有一个公共点,那 么它们有且只有一条过这个公共点的公共直线.
图形语言:

符号语言:
A∈?

l
?
?

A∈ ? 说明:

? ? ? ? l且A ?l

作用:

(1)若两个平面有一个公共点, 则必有无数个公共点;

(1)说明两个平面相交的依据; (2)两平面的所有公共点一定 (2)点共线,线共点的依据; 共线。 (3)确定两个平面交线的依据

异面直线: 既不平行也不相交的直线
画法:

与一个平面相交于一点的直线与这个平 面内不经过交点的直线是异面直线。
空间中两条直线的位置关系: 平行,相交,异面

例1、用集合符号表示下列语句: (1)点A在直线 l 上,点B不在直线 l 上;

(1) A ? l , B ? l; (2)直线 l 在平面 ? 内,直线m与平面

? 有且只有一个公共点M; (2)l ? ? , m ? ? ? M ; (3)平面 ? 与平面 ? 相交于过 点A的直线 l


(3)? ? ? ? l , A ? l

例2、如图,在正方形ABCD中,E是CD的中点, 连接AE并延长与BC的延长线交于点F,连接BE 并延长交AD的延长线与点G,判断直线FG在 平面ABCD内吗?

例题讲解: 例3、回答下列问题: (1)不共面的四点可以确定几个平面 (2)三条直线两两平行,但不共面, 它们可以确定几个平面? (3)共点的三条直线可以确定几个平面? 答: (1)4个 (2)3个 (3)1个或3个

答案:C

答案: 当堂检测:1 、 B

2、C
3、B

4、 0个或1个或无数个

课堂小结: 1.平面的概念.表示及记法. 2.空间中的点,线,面位置关系的图形 及符号表示. 3.平面的三个性质及用途.

? 1、B
?5

课后拓展案 2、D 3、D 4、D

、(3)


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