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广东省汕头市潮南区东山中学2012-2013学年高一上学期期末数学试题

时间:2013-02-03


潮南区东山中学高一级数学期末测试题
(2012-2013 学年度第一学期 )
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的.) 1.已知集合 A ? ??1,0,1? , B ? ?1, 2? ,则 A ? B 等于( C A. ?? 1,0,1,2? B. ?0,1? C. ?1? )

D. ?1, 2?

2. sin 600 的值是( D )

?

A

1 2

B ?

1 2

C

3 2

D

?

3 2

3.下列函数中,在其定义域内为减函数的是( A )
1

A

y ? ? x3

B

y ? x2

C

y ? x2

D

y ? log 2 x

4 . 如果二次函数 y=x +2x+(m-2)有两个不同的零点,则 m 的取值范围是(

2

D



A.

? 3,?? )

B. (3,?? )

C. (?? ,3]

D. (?? ,3)

5. 下列图形中可以表示以 M={x|0≤x≤1}为定义域,以 N={y|0≤y≤1}为值域的函数的图象是 ( C )

6. 设向量 a ? (2, 0) , b ? (1,1) ,则下列结论中正确的是( D ) A. | a |?| b | C. a // b

? b? B. a ? (2, 0) (1,1) =
D. (a ? b) ? b

1 2

7.若 logm9<logn9<0,那么 m,n 满足的条件是( B ) A.m>n>1 B.0<n<m<1 C.n>m>1 D.0<m<n<1

8.观察下列数表规律

则发生在数 2012 附近的箭头方向是(

D

)

2012 ?
A.

   ?
B.

? 2012 ? C.   

?
D. 2012 ?

?

? 2012

9. 若把函数 y ? f ? x ? 的图象沿 x 轴向左平移

? 个单位, 沿 y 轴向下平移 1 个单位,然后再把图象上 4

每个点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标保持不变),得到函数 y ? sin x 的图象,则 y ? f ? x ? 的解析 式为( B )

A. y ? sin ? 2 x ?

? ?

??

? ?1 4?

B. y ? sin ? 2 x ?

? ?

??

? ?1 2?

C. y ? sin ?

?? ?1 x ? ? ?1 4? ?2

D. y ? sin ?

?? ?1 x ? ? ?1 2? ?2

10. 若 f(x)为 R 上的奇函数,给出下列结论: ①f(x)+f(-x)=0 ;②f(x)-f(-x)=2f(x);③f(x)·f(-x)≤0;④ 其中不正确的结论有( A ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.0 个

f ( x) ? ?1 f ?? x ?

二、 填空题. (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填答题卡上.)

11.已知向量 a ? (3,1), b ? (1, m) ,若 2a ? b与a ? 3b 共线,则 m=

1 3

12.已知 f (x)为奇函数,g(x)=f(x)+9,g(-2)=3,则 f(2)=____6____.

13. 为提高信息在传输中的抗干扰能力,通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息.设

1} 定原信息为 a0a1a2,i ? {0, ( i ? 01 2 ) , ,传输信息为 h0a0a1a2h1 ,其中 h0 ? a0 ? a1,h1 ? h0 ? a2 , , a
例如原信息为 111, 则传输信息为 01111. 传 ? 运算规则为: ? 0 ? 0 , ?1 ? 1, ? 0 ? 1, ?1 ? 0 , 0 0 1 1 输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错,则下列三个接收信息: (1)11010(2)01100 (3)10111,一定有误的是 (3) (填序号) .

14.设函数 f ? x ? ? ?

?2? x , x ? ? ??,1? , ? 若 f ? x ? ? 4 ,则 x 的取值范围是 2 ? x , x ? ?1, ?? ? . ?

? ??, ?2? ? ? 2, ?? ? .

三、解答题(本大题共 6 小题,80 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.) 、

16.(本题满分 12 分) 已知 A(1,1)、B(3,-1)、C(a,b). (1)若 A、B、C 三点共线,求 a、b 的关系式; → → (2)若AC=2AB,求点 C 的坐标. → → 解:(1)由已知得AB=(2,-2),AC=(a-1,b-1),………2 分

∵A、B、C 三点共线,
→ → ∴AB∥AC,………3 分 ∴2(b-1)+2(a-1)=0,即 a+b=2. ………6 分

→ → (2)∵AC=2AB,
∴(a-1,b-1)=2(2,-2),………7 分
?a-1=4 ?a=5 ? ? ∴? 解之得? ………11 分 ? ? ?b-1=-4 ?b=-3.

因此点 C 的坐标为(5,-3).………12 分 17.(本小题满分 13 分)已知集合 A ? x x ? 5 x ? 6 ? 0 ,B x mx ? 1 ? 0 ,且 A ? B ? A ,求实数
2

?

? ?

?

m 的值组成的集合
解:依题意: A ? x x ? 5x ? 6 ? 0 ? ?2,3?, A ? B ? A,? B ? A ………3 分
2

?

?

① m ? 0时, B ? ?, B ? A ;………6 分 ② m ? 0 时,由 mx ? 1 ? 0, 得x ? ?

1 .………8 分 m 1 1 1 1 1 ? B ? A,? ? ? A, ? ? ? 2或 ? ? 3, 得m ? ? 或 ? ………12 分 m m m 2 3
? ? 1 1? ,? ? ………13 分 2 3?

所以适合题意的 m 的集合为 ?0,?

18. (本题满分 13 分) 函数 f ( x) ? sin( (1)求 f ( x ) 的单调递增区间; (2)求使得 f ( x) ? 0 的 x 的取值集合. 解: (1)令 z ?

1 ? x ? ), x ?[ ?2?, 2 ?] . 2 3

1 ? x ? .………1 分 2 3

函数 y ? sin z 的单调递增区间是 [? 由?

?
2

? 2k? ,

?
2

? 2k? ], k ? Z ………2 分

1 ? ? 5? ? x ? ? ? 2k? ,得 ? ? 4k? ? x ? ? 4k? , k ? Z ………5 分 2 2 3 2 3 3 5? ? 5? ? 设 A ? [ ?2? , 2? ] , B ? {x | ? ? 4k? ? x ? ? 4k? , k ? Z} ,易知 A ? B ? [? , ] . 3 3 3 3 5? ? 所以 f ( x ) 的单调递增区间为 [? , ] .………8 分 3 3

?

? 2k? ?

(2)若 sin z ? 0 ,则 z ? [?? ? 2k? , 2k? ], k ? Z ,………9 分

1 ? 8? 2? x ? ? 2k? ,得 ? ? 4k? ? x ? ? ? 4k? , k ? Z ,………11 分 2 3 3 3 8? 2? 2? 4? 令 C ? {x | ? ? 4k? ? x ? ? ? 4k? , k ? Z} ,易知 A ? C ? [?2? , ? ] ? [ , 2? ] 3 3 3 3 2? 4? 即使得 f ( x) ? 0 的 x 的取值集合为 [?2? , ? ] ?[ , 2? ] 。……13 分 3 3
由 ?? ? 2k? ?

19. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? loga x ( a ? 0 且 a ? 1 ) .

3] (1)若函数 f ( x ) 在 [2, 上的最大值与最小值的和为 2,求 a 的值;
(2)将函数 f ( x ) 图象上所有的点向左平移 2 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度,所得图象 不经过第二象限,求 a 的取值范围.

3] 解 : 1 ) 因 为 函 数 f ( x) ? loga x 在 [2, 上 是 单 调 函 数 , 所 以 log 3 log 2 2 ……4 分 ( ? . a ? a
所以 a ? 6 . ……6 分 ………8 分

(2)依题意,所得函数 g( x) ? loga ( x ? 2) ?1 ,

? 由 g ( x) 函数图象恒过 ( ?1, 1) 点,且不经过第二象限,
可得 ?

?a ? 1 ?a ? 1 ,即 ? , log a 2 ? 1 ? 0 ? g (0) ? 0 ?

………12 分

? 解得 a ? 2 . 所以 a 的取值范围是 [2, ?) .

………14 分

20. (本小题满分 14 分)函数 f(x)=x -2ax+1 在闭区间[-1,1]上的最小值记为 g(a). (1)求 g(a)的解析式; (2)求 g(a)的最大值. (解答过程没画出图像也没关系,只要能分情况解释清楚即可.第一小题 9 分,第二小题 5 分)

2

解: (1)函数 f(x)可化为 f(x)=(x-a)2+1-a2, 其图象的对称轴 x=a 与所给区间[-1,1] 呈现出如下图所示的三种位置关系.

结合图形分析如下: ①当 a>1 时,f(x)在[- 1,1]上为减函数, g(a)=f(1) 故 =2-2a; ②当-1≤a≤1 时,g(a) =f(a)=1-a2; ③当 a<-1 时,f(x)在 [-1,1]上为增函数, 故 g(a)=f(-1)=2+2a. 综 上 所 述 , g(a) =

21. (本小题满分 14 分) 设函数 f (x ) 的定义域为 R ,对任意实数 x 、 y 都有 f ( x ? y ) ? f ( x) ? f ( y ) ,当 x ? 0 时

f ( x ) ? 0 且 f ( 2) ? 6 . (1) 求证:函数 f (x ) 为奇函数; (2) 证明函数 f (x ) 在 R 上是增函数; (3) 在区间[-4,4]上,求 f (x ) 的最值.
(1) 证明:∵ ?x,y ? R , f ( x ? y ) ? f ( x) ? f ( y ) ∴ 令 x ? y ? 0 ,得 f (0) ? f (0) ? f (0) ∴ f ( 0) ? 0 令 y ? ? x ,得 f (0) ? f ( x) ? f (? x) 即 f (? x) ? ? f ( x) ∴函数 f (x ) 为奇函数 (2) 证明:设 ?x1 , x2 ? R ,且 x1 ? x2 则 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f (? x1 ) ? f ( x2 ? x1 ) 又∵当 x ? 0 时 f ( x ) ? 0 即 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ∴函数 f (x ) 在 R 上是增函数 (3)解 ∵函数 f (x ) 在 R 上是增函数 ∴函数 f (x ) 在区间[-4,4]上也是增函数 ∴函数 f (x ) 的最大值为 f ( 4) ,最小值为 f (?4) ∵ f ( 2) ? 6 ∴ f (4) ? f (2 ? 2) ? f (2) ? f (2) ? 12 ∵函数 f (x ) 为奇函数 ∴ f (?4) ? ? f (4) ? ?12 故,函数 f (x ) 的最大值为 12,最小值为 ? 12 . ………14 分 ………13 分 …12 分 ………10 分 ………9 分 ∴ f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ? x1 ) ? 0 ………8 分 ………6 分 ………3 分 ………4 分 ………1 分


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