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第三章 文科 导数及其应用知识点


第三章 知识体系总览

导数及其应用

平均变化率 导数概念 瞬时变化率

导 数

导数的几何意义

几个初等函数的导数

导数的运算法则 函数的单调性

导数在研究函数中的应用 函数的极值和最值 生活中的优化问题

3

.1 导数的概念 知识梳理 1.平均速度:物理学中,运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度,即一段 时间或一段位移内的速度; 若物体的运动方程为 s ? f (t ), 则物体从 t 到 t ? ?t 这 段时间内的平均速度 v(t , ?t ) ?
f (t ? ?t ) ? f (t ) ;一般的,函数 f ( x) 在区间 [ x1 , x2 ] ?t

上的平均变化率为

f ( x2 ) ? f ( x1 ) x2 ? x1



2. 瞬时速度:是某一时刻或位置物体的速度,方向与物体运动方向相同。我们 测量的瞬时速度是用很短时间内的平均速度来代替的, 是对物体速度的一种粗略 的估算。 当平均速度 v(t , ?t ) ?
f (t ? ?t ) ? f (t ) 中的 ?t 无限趋近于 0 时,平均速度 ?t

v(t , ?t ) ?

f (t ? ?t ) ? f (t ) ?s 的 极 限 称为 在 时刻 t 的 瞬 时 速 度 v(t ) , 记 作 v= = ?t ?t

f (t ? ?t ) ? f (t ) (?t ? 0) 。求瞬时速度的步骤为: ?t

(1)设物体的运动方程为 s ? f (t ) ; (2)先求时间改变量 ?t 和位置改变量 ?s ? f (t ? ?t ) ? f (t );
1

(3)再求平均速度 v(t , ?t ) ?

?s f (t ? ?t ) ? f (t ) ? ?t ?t ? s f (t ? ?t ) ? f (t ) (?t ? 0) . = ?t ?t

(4)后求瞬时速度:瞬时速度 v=

3. 求函数 y ? f ( x) 的导数的一般方法: (1)求函数的改变量 ?y ? f ( x ? ?x) ? f ( x) . (2)求平均变化率
?y f ( x ? ?x) ? f ( x) ? . ?x ?x ?y (?x ? 0) . ?x

(3)取极限,得导数 y / = f ?( x) ?
4.常见函数的导数公式:
' ① C ? 0 ;② ( x n ) ' ? nxn?1 ;

③ (sin x) ' ? cos x ;④ (cosx) ' ? ? sin x ; ⑤ (a x ) ' ? a x ln a ;⑥ (e x ) ' ? e x ;
' ⑦ (log a x ) ?

1 1 ' ;⑧ (ln x ) ? x ln a x

5.导数运算法则:

? ?1? ? ? f ? x ? ? g ? x ?? ? ? f ? ? x ? ? g? ? x ? ; ? ? 2? ? ? f ? x ? ? g ? x ?? ? ? f ? ? x? g ? x ? ? f ? x ? g? ? x ? ;
? f ? x ? ?? f ? ? x ? g ? x ? ? f ? x ? g ? ? x ? ? g ? x ? ? 0? ? ? ? 2 g x ? ? ? ? ? 3? ? g ? x ? ? ? ?



6、由导数的定义可知,求函数 y ? f ( x) 的导数的一般方法是: (1).求函数的改变量 ?y ? f ( x ? d ) ? f ( x) 。 (2).求平均变化率
?y f ( x ? d ) ? f ( x) ? 。 d d
2

(3)当 d ? 0 时,得

f (u ? d ) ? f (u ) ? f / ( x0 ) d

7、曲线 C:y=f(x)在其上一点 P(x0,f(x0) )处的切线方程为

y-f(x0)= f ? (x0) (x-x0)
8、若质点的运动规律为 s=s(t) ,则质点在 t=t0 时的瞬时速度为 v= s ? (t0). 这就是导数的物理意义.

二 .函数的单调性 1、利用导数的符号判断函数的单调性: 一般地,设函数 y ? f ( x) 在某个区间可导,如果 f ' ( x ) ? 0 ,则 f ( x) 为增函 数;如果 f ' ( x) ? 0 ,则 f ( x) 为减函数;如果在某区间内恒有 f ' ( x) ? 0 ,则 f ( x) 为常数; 2、 对于可导函数 y ? f ( x) 来说, f ' ( x ) ? 0 是 f ( x) 在某个区间上为增函数的 充分非必要条件, f ' ( x) ? 0 是 f ( x) 在某个区间上为减函数的充分非必要条件。 3、利用导数判断函数单调性的步骤: ①求函数 f(x)的导数 f′(x). ②令 f′(x)>0 解不等式,得 x 的范围就是递增区间. ③令 f′(x)<0 解不等式,得 x 的范围,就是递减区间. 4、已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型,常利用导数与 函数单调性关系: 即 “若函数单调递增, 则 f ' ( x) ? 0 ; 若函数单调递减, 则 f ' ( x) ? 0 ” 来求解,注意此时公式中的等号不能省略,否则漏解. 三. 函数极大值、极小值 1、极大值:如果 x ? c 是函数 f(x)在某个开区间 (u , v) 上的最大值点,即 不等式 f (c) ? f ( x) 对一切 x ? (u, v) 成立,就说函数 f(x)在 x ? c 处取到极大值
f (c) ,并称 c 为函数 f(x)的一个极大值点, f (c) 为 f(x)的一个极大值。

2、极小值:如果 x ? c 是函数 f(x)在某个开区间 (u , v) 上的最小值点,即不 等式 f (c) ? f ( x) 对一切 x ? (u, v) 成立,就说函数 f(x) 在 x ? c 处取到极小值
f (c) ,并称 c 为函数 f(x)的一个极小值点, f (c) 为 f(x)的一个极小值。

3、极大值与极小值统称为极值 ,极大值点与极小值点统称为极值点;若
3

f ?(c) ? 0 ,则 x ? c 叫做函数 f(x)的驻点;可导函数的极值点必为驻点,但驻点

不一定是极值点。 4、判别 f(c)是极大、极小值的方法:若 x0 满足 f ?(c) ? 0 ,且在 c 的两侧
f ( x) 的导数异号,则 c 是 f ( x) 的极值点, f (c) 是极值,并且如果 f ?( x) 在 c 两

侧满足“左正右负” ,则 c 是 f ( x) 的极大值点, f (c) 是极大值;如果 f ?( x) 在 c 两侧满足“左负右正” ,则 c 是 f ( x) 的极小值点, f ( x0 ) 是极小值 5、求可导函数 f(x)的极值的步骤: (1)确定函数的定义区间,求导数 f′(x) (2)求 f(x)的驻点,即求方程 f′(x)=0 的根 (3)用函数的导数为 0 的点,顺次将函数的定义区间分成若干小开区间,并 列成表格.检查 f′(x)在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么 f(x)在这 个根处取得极大值;如果左负右正,那么 f(x)在这个根处取得极小值;如果左 右不改变符号即都为正或都为负,那么 f(x)在这个根处无极值 三 函数的最大值和最小值 在区间[a,b]上连续的函数 f ( x ) 在[a,b]上必有最大值与最小值。求闭区 间 [a, b] 上连续的函数 f ( x) 的最大值和最小值的思想方法和步骤: (1)求函数? ( x ) 在(a,b)内的极值; (2)求函数? ( x ) 在区间端点的值?(a)、?(b); (3)将函数? ( x ) 的各极值与?(a)、?(b)比较,其中最大的是最大值,其中最小 的是最小值。 求函数 y=x4-8 x2 +2 的极值: 解:y′=4 x3-16 x, 令 y′=0,解得 x1=0,x2=2,x3=-2. 当 x 变化时,y′,y 的变化情况如下表: (-∞,- x -2 (-2,0) 0 2) y′ - 0 + 0 极小 极大 y 值 值 -14 2 当 x=0 时,y 有极大值,y 极大值=2;
4

(0,2) -

2 0 极小 值 -14

(2,+ ∞) +


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