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第三章 函数


第三章 函 数

函数是一个基本的数学概念,应用的范围很 广,在计算机科学的理论中,如计算理论 、编译 理论、数据库理论、软件工程、计算机安全保密, 操作系统等都用到函数。 函数---输入和输出间的关系。也叫变换、映射。
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具有分析、使用函数的能力在很多领域都是 十分重要的。

第三章

函 数

1.定义:X与Y集合,f是从X到Y的关系,如果任何
x∈X,都存在唯一y∈Y,使得<x,y>∈f,则称f是 从X到Y的函数(变换、映射),记作f:X→Y. 如果f:X?X是函数, 也称f是X上的函数. 这里所说的函数与以前的数学中函数有区别。

第三章 函 数

? 以前我们学习过函数的定义,大家回忆一下。 ? 函数是数学中的一种对应关系,是从非空数集A 到实数集B的对应。简单地说,甲随着乙变,甲 就是乙的函数。精确地说,设X是一个非空集合, Y是非空数集 ,f是个对应法则 , 若对X中的每个 x,按对应法则f,使Y中存在唯一的一个元素y与 之对应 , 就称对应法则f是X上的一个函数,记作 y=f(x),称X为函数f(x)的定义域,集合 {y|y=f(x),x∈R}为其值域(值域是Y的子集), x叫做自变量,y叫做因变量,习惯上也说y是x的 函数。对应法则和定义域是函数的两个要素。 y= ︳x ︳是函数吗?Y= ±x

第三章 函 数 下面是大家熟悉的实数集合上的几个关系,哪些是 集合R到R的函数? f={<x,y>|x,y∈R,y=1/x } g={<x,y>|x,y∈R,x2+y2=4 } h={<x,y>|x,y∈R,y= x2 } r ={<x,y>|x,y∈R,y=logx } v ={<x,y>|x,y∈R,y= √ x }

第三章 函 数 2.自变元与函数值(像源与映像) :

f:X?Y, 如果<x,y>∈f,称x是自变元(像源),称 y是x 的函数值(x的映像) 。
<x,y>∈f? y=f(x) ? f:X?Y 3.定义域、值域 :f:X?Y, f的定义域,记作Df 即

Df ={x|x∈X,?y(y∈Y,<x,y>?f)} =X
f的值域 :记作Cf 即

Rf =f(X)={y| y∈Y,?x(x∈X,<x,y>?f)}

第三章 函 数 函数的表示方法

与关系的表示方法类似,也可以有枚举法、有向 图、矩阵、谓词描述法。这里不再赘述。 函数的矩阵的特点:每行必有且只有一个1。
特殊函数 1. 常值函数:函数f:X?Y ,如果?y0∈Y, 使得 对?x∈X, 有f(x)=y0 , 称f是常值函数。 2.恒等函数:恒等关系IX是X到X函数,即IX:X?X, 称为恒等函数。显然对于?x∈X,有 IX(x)=x 。

第三章 函 数

函数的类型
1.满射:f:X?Y是函数,如果 Rf=Y,则称f是满射。 2.内射:f:X?Y是函数,如果 Rf?Y 则称f是内射。

3.单射:f:X?Y是函数,对于任意x1,x2∈X, 如果 x1≠x2 有f(x1)≠f(x2),(或者若f(x1)=f(x2),则 x1=x2),则称f是单射,也称f是一对一的。
4.双射:f:X?Y是函数,如果f既是满射的,又是单射 的,则称f是双射,也称f是一一对应的。

第三章 函 数

y=ax+b 双射

y=x2 内射

y=2x 内射,单射

思考题:如果 f:X?X是内射的函数,则必是满射的, 所以 f 也是双射的。此命题成立吗?
答案是:不是。

例如

f: N?N,

f(n)=2n,

f是内射的,

但不是满射的函数。

只有当X是有限集合时,上述命题才成立。

复合函数 由于函数就是关系,所以也可以进行复合运算。

1. 定义: f:X?Y, g:Y?Z是函数,则定义
g f={<x,z>|x?X,z?Z,?y(y?Y,<x,y>?f,<y,z>?g)}
?

则称g f为f与g的复合函数。
?

注意:这里把g写在f的左边了.所以叫左复合. g f :X?Z,即 g f 是X到Z的函数.这样写是为了
? ?

照顾数学习惯: g f(x)=g(f(x))
?

复合函数的计算方法同复合关系的计算.

复合函数
例1 f:X?Y, g:Y?Z X={1,2,3} Y={1,2,3,4,} Z={1,2,3,4,5,} f= {<1,2>,<2,4>,<3,1>} g={ <1,3>,<2,5>,<3,2>,<4,1> } g f={ <1,3>,<2,5>,<3,2>,<4,1> } {<1,2>,<2,4>,<3,1>} ={<1,5>,<2,1>,3,3>} g f g 用有向图复合: f X ? Z X ? Y ? X 。 1 。 。 。 1 。 1 1 1 。 2 。 2 。 。 2 。 2。 3 。 2 3 。 。 。 3。 4 。 4 3 3 。 。 5 。 5
? ?
?

4

例2 令f和g都是实数集合R上的函数,如下: f={<x,y>|x,y∈R∧y=3x+1 } g={<x,y>|x,y∈R∧y= x2 + x} 分别求 g f 、 f g 、 f f 、 g g
? ? ? ?

g f (x)=g(f(x))=(3x+1)2+(3x+1)=9x2+9x+2 f g (x)=f(g(x))=3(x2+x) +1=3x2+3x+1 f f (x)=f(f(x))=3(3x+1) +1=9x+4 g g (x)=g(g(x))=(x2+x)2+(x2+x)=x4 +2x3 +2x2 + x 可见复合运算不满足交换性。
? ? ? ?

反函数

定义:设f:X?Y是双射的函数,fC:Y?X 也是函数,
称之为f 的逆函数,或者反函数。并用f-1代替fC 。

f-1存在,也称f可逆。
显然,f-1也是双射的函数。 由此可知,一个函数存在反函数的条件是此函数 是一一对应的

R是A到B的关系,其逆关系RC是B到A的关系。 RC={<y,x>|<x,y>?R} f:X?Y fC:Y?X, 是否是个函数?请看下面的子:
f:X ? Y 。 a 1。 。 b 2。 。 3。 c fC:Y ? X 。 1 a。 。 2 b。 。 3 c。

显然fC不是函数。可见如果一个函数不是双射的, 它的逆就不是函数。


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