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山东省2014届高考数学一轮复习 试题选编4 函数的奇偶性与周期性、对称性 理 新人教A版


山东省 2014 届理科数学一轮复习试题选编 4:函数的奇偶性与周期性、对称 性(教师版)
一、选择题 1 . 2013 届 山 东 省 高 考 压 轴 卷 理 科 数 学 ) 已 知 函 数 f ? x ? 是 R 上 的 奇 函 数 , 若 对 于 x ? 0 , 都 有 (

f ? x ? 2 ? ? f ( x) , 当x ? ? 0, 2

? 时, f ? x ? ? log 2 ? x ? 1? 时, f ? ?2013? ? f ? 2012 ? 的值为 ( ) A. ?2 B. ?1 C.1 D.2 【答案】B【解析】由 f ? x ? 2 ? ? f ( x) 知,函数 f ? x ? 的周期为 2,所以 f ? ?2013? ? f ? 2012 ? ? ? f (2013) ? f (1006 ? 2) ? ? f (1006 ? 2 ? 1) ? f (0) ? ? f (1) ? f (0) ? ?1. 2 . (山东省枣庄市 2013 届高三 4 月(二模)模拟考试数学(理)试题)已知函数 f ( x) 对任意 x ? R 都有 ( ) f ( x ? 6) ? f ( x) ? 2 f (3), y ? f ( x ?1) 的图象关于点 (1, 0) 对称,则 f (2013) ? A.10 B. ?5 C.5 D.0
【答案】D 3 . (山东省威海市 2013 届高三上学期期末考试理科数学)已知函数 f ( x) 的定义域为 (3 ? 2a, a ? 1) ,且 ( ) f ( x ? 1) 为偶函数,则实数 a 的值可以是 A.

【答案】 因为函数 f ( x ? 1) 为偶函数,所以 f (? x ? 1) ? f ( x ? 1) ,即函数 f ( x) 关于 x ? 1 对称,所以区 B 间 (3 ? 2a, a ? 1) 关于 x ? 1 对称,所以

2 3

B. 2

C. 4

D. 6

4 . (山东省烟台市莱州一中 2013 届高三第二次 质量检测数学(理)试题) 已知函数 f ? x ? 是定义在 R 上的奇 函数,当 x >0 时, f ? x ? ? 1 ? 2 ,则不等式 f ? x ? < ?
?x

3 ? 2a ? a ? 1 ? 1 ,即 a ? 2 ,所以选 2

B.

A. ? ??, ?1?

B. ? ??, ?1?

C. ?1, ?? ?

1 的解集是 2





D. ?1, ?? ?

1 2 ,又因为函数为奇函数,所以 f (?1) ? ? f (1) ? ? 1 ,所以不等 【答案】A【解析】因为 2 1 1 式 f ( x) ? ? 等价于 f ( x) ? f ( ?1) ,当 x ? 0 时, f ? x ? ? 1 ? 2? x ? 1 ? ( ) x 单调递增,且 0 ? f ( x) ? 1 , 2 2 所 以 在 (??, 0) 上 函 数 也 单 调 递 增 , 由 f ( x) ? f ( ?1) 得 x ? ?1 , 即 不 等 式 的 解 集 为 ? ??, ?1? , 选 f ?1? ? 1 ? 2?1 ?
( ) A. 5 . (山东省济宁邹城市 2013 届高三上学期期中考试数学(理)试题)已知 f(x)是以 2 为周期的偶函数, 且当 x∈(0,1)时, f ( x) ? 2 ? 1, 则f (log 2 12) =
x

A.

1 3

B.

4 3

C.2

D.11

【答案】A 6 . 山 东 威 海 市 2013 年 5 月 高 三 模 拟 考 试 数 学 ( 理 科 ) 奇 函 数 y ? f (x) 满 足 f (3) ? 1 , 且 ( )

f ( x ? 4) ? f ( x) ? f (3) ,则 f (2) 等于
A. 0 B. 1 C. -





1 2

D.

1 2

【答案】 D. 7 . (2011 年高考 (山东理) 对于函数 y ? f ( x), x ? R ,“ y ?| f ( x) | 的图象关于 y 轴对称”是“ y ? f ( x) ) 是奇函数”的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
1

【答案】解析:若 y ? f ( x) 是奇函数,则 y ? f ( x) 的图象关于 y 轴对称;反之不成立,比如偶函数

y ? f ( x) ,满足 y ? f ( x) 的图象关于 y 轴对称,但不一定是奇函数,答案应选

B.

8 . (山东省济南市 2013 届高三上学期期末考试理科数学)已知定义在 R 上的函数 f ( x) ,对任意 x ? R ,都 有 f ? x ? 6 ? ? f ? x ? ? f ? 3? 成立,若函数 y ? f ? x ? 1? 的图象关于直线 x ? ?1 对称,则 f ? 2013? ? ( A. 0 【答案】A B. 2013 C. 3 D. ?2013 )

【 解析】函数 y ? f ? x ? 1? 的图 象关于直线 x ? ?1 对称,则 f ( x) 关于 y 轴对称,即函数 f ( x) 为偶函 数.令 x ? ?3 ,得 f ? ?3 ? 6 ? ? f ? ?3? ? f ? 3? 即函数 A.

f ( x) 的周期为 6.所以 f ? 2013? ? f (335 ? 6 ? 3) ? f (3) ? 0

,即

f (3) ? 2 f (3)

,所以

f (3) ? 0

,所以

f ? x ? 6? ? f ? x ?
( )
3

,

,选

9 .2011 年高考 ( (山东理)已知 f ( x) 是 R 上最小正周期为 2 的周期函数,且当 0 ? x ? 2 时, f ( x) ? x ? x , ) 则函数 y ? f ( x) 的图象在区间 [0, 6] 上与 x 轴的交点的个数为 A. 6 B. 7
3

( D. 9



C. 8
2

【答案】解析:当 0 ≤ x ? 2 时 f ( x) ? x ? x ? x( x ? 1) ,则 f (0) ? f (1) ? 0 ,而 f ( x) 是 R 上最小正周 期为 2 的周期函数,则 f (2) ? f (4) ? f (6) ? f (0) ? 0 , f (3) ? f (5) ? f (1) ? 0 ,答案应选 B. 10. (山东济南外国语学校 2012—2013 学年度第一学期高三质量检测数学试题(理科) )下列 函数中既是偶 函数又在(0,+∞)上是增函数的是 ( ) A. y ? x
3

B. y ?| x | ?1
3 2

C. y ? ? x ? 1
2 ?| x|

D. y ? 2

?| x|

【答案】B 【解析】函数 y ? x 为奇函数,排除





A.当 x ? 0 时,函数 y ? ? x ? 1 和 y ? 2 为减函数,排除 C,D,选 B. 11. (山东省实验中学 2013 届高三第三次诊断性测试理科数学)下列函数中,在其定义域内,既是奇函数又 是减函数的是 ( ) A. f ( x) ?

1 x

B. f ( x) ?

?x

C. f ( x) ? 2 ? x ? 2 x D. f ( x) ? ? tan x

【 答 案 】 C 【 解 析 】 f ( x) ?

数. f ( x) ? ? tan x 在定义域上是奇函数,但不单调.所以选 C. 12. (山东省曲阜市 20 13 届高三 11 月月考数学(理)试题)定义在 R 上的偶函数 f ( x) 满足:对任意

1 在 定 义 域 上 是 奇 函 数 , 但 不 单 调 . f ( x) ? ? x 为 非 奇 非 偶 函 x

x1 , x2 ? [0, ??)( x1 ? x2 ) 都有
A. f (3) ? f (?2) ? f (1) C. f (?2) ? f (1) ? f (3) 【答案】A

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 ,则有 x2 ? x1 B. f (1) ? f (?2) ? f (3) D. f (3) ? f (1) ? f (?2)





13. (山东省枣庄三中 2013 届高三上学期 1 月阶段测试理科数学)已知 f (x) 为奇函数,在 ?3, 6? 上是增函 数, ?3, 6? 上的最大值为 8,最小值为 ?1 ,则

2 f (?6) ? f (?3) 等于 A. ?15 B. ?13
【答案】A

( C. ?5 D. 5



【 解 析 】 因 为 函 数 在 ?3, 6? 上 是 增 函 数 , 所 以 f (6) ? 8 , f (3) ? ?1 , 又 因 为 函 数 为 奇 函 数 , 所 以

2 f (?6) ? f (?3) ? ?2 f (6) ? f (3) ? ?2 ? 8 ? 1 ? ?15 ,选





A. 14. (山东省莱芜市第一中学 2013 届高三 12 月阶段性测试数学(理)试题)设 f ( x) 是连续的偶函数,且当
2

x ? 0 时 f ( x) 是单调函数,则满足 f ( x) ? f (
A. ?3 B. 3

x?3 x?3 时, ) 时,即 x ? x?4 x?4 2 得 x ? 3x ? 3 ? 0 ,此时 x1 ? x2 ? ?3. 又 f ( x) 是连续的偶函数,∴ f (? x) ? f ( x) ,∴另一种情形是 x?3 x?3 x?3 ,得 x 2 ? 5 x ? 3 ? 0 ,∴ x3 ? x4 ? ?5. ∴满足 f ( x) ? f ( f (? x) ? f ( ),即 ? x ? ) 的所有 x?4 x?4 x?4 x 之和为 ?3 ? (?5) ? ?8. 15. (山东省 烟台市 2013 届高三上学期期中考试数学试题(理科))已知函数 f ( x) 是 R 上的偶函数,若对于 x ? 0 ,都有 f ( x ? 2) ? f ( x) ,且当 x ? [0,2) 时, f ( x) ? log 2 ( x ? 1) ,则 f (?2011) ? f (2012) 的值为
【答案】解:本小题主要考查函数的奇偶性性质的运用.依题当满足 f ( x) ? f ( ( A. ? 2 B. ? 1 C.1 D.2 ) 【 答 案 】 C 【 解 析 】 由 函 数 f ( x) 是 R 上 的 偶 函 数 及 x ? 0 时 f ( x ? 2) f ( x) 得 ?

x?3 ) 的所有 x 之和为( x?4 C. ?8 D. 8

)





f (?2011) ? f (2012) ? f (2011) ? f (0) ? f (1) ? f (0) ? log 2 2 ? log 2 1 ? 1. 故选 C
16. (山东省德州市乐陵一中 2013 届高三十月月考数学(理)试题)设奇函数 ( x)在(0, ??) 上是增函数,且 ( ) f (1) ? 0 ,则不等式 x[ f ( x) ? f (? x)] ? 0 的解集为 A. {x | ?1 ? x ? 0, 或x ? 1} B. {x | x ? ?1, 或0 ? x ? 1} C. {x | x ? ?1, 或x ? 1} D. {x | ?1 ? x ? 0, 或0 ? x ? 1} 【 答 案 】 D 【 解 析 】 ∵ 奇 函 数 f ( x) 在 (0, ??) 上 是 增 函 数, f (? x) ? ? f ( x) , x[ f ( x) ? f (? x)] ? 0 ,∴ xf ( x) ? 0 ,又 f (1) ? 0 ,∴ f (?1) ? 0 ,从而有函数 f ( x) 的图象如图

则有不等式 x[ f ( x) ? f (? x)] ? 0 的解集为解集为 {x | ?1 ? x ? 0 或 0 ? x ? 1} ,选
x

D.

17. 2010 年高考 ( (山东理)设 f(x)为定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)= 2 +2x+b(b 为常数),则 f(-1)= ) ( ) A.3 B.1 C.-1 D.-3 【答案】答案 D 解析:因为 f ( x) 为定义在 R 上的奇函数,所以有 f (0) ? 2 ? 2 ? 0 ? b ? 0 ,解得 b ? ?1 ,所以当 x ? 0
0 x 时, f ( x) ? 2 ? 2 x ? 1 ,则有 f (?1) ? ? f ?1? ? ?(2 ? 2 ?1 ? 1) ? ?3 ,故选 D
1

命题意图:本题考查函数的基本性质,熟练函数的基础知识是解答好本题的关键. 18. (山东省德州市乐陵一中 2013 届高三十月月考数学(理)试题)若对任意的 x ? R ,函数 f (x) 满足 ( ) f ( x ? 2012 ) ? ? f ( x ? 2011) ,且 f (2012 ) ? ?2012 ,则 f (?1) ? A.1 B.-1 C.2012 D.-2012 【 答 案 】 C 【 解 析 】 由 f ( x ? 2012) ? ? f ( x ? 2011) , 得 f ( x ? 2011 ? 1) ? ? f ( x ? 2011) , 即

f (t ? 1) ? ? f (t ) , 所 以 f ( ? 2? ) f ,t 即 函 数 的 周 期 是 2. 所 以 令 x ? 0 t ( ) 得 , f (2012) ? ? f (2011) ? ?2012 , 即 f (2011) ? 2012 , 又 f (2011) ? f (1) ? f (?1) , 所 以 ,选 f (? 1 ? 2 0 1 2 C. ) 19. (山东省烟台市 2013 届高三上学期期末考试数学 (理) 试题) 已知 f ( x) 是定义在 R 上的奇函 数,当 x ? 0
时 f ( x) ? 3 ? m (m 为常数),则 f( ? 1og35)
x

的值为




3

A.4 B. ? 4 C .6 D. ? 6 【答案】B 【解析】因为函数在 R 上是奇函数,所以 f (0) ? 0 ,即 f (0) ? 1 ? m ? 0 ,所以 m ? ?1 ,所以 x ? 0 时 B. f ( x) ? 3x ? 1 .所以 f (? log 3 5) ? ? f (log 3 5) ? ?(3log3 5 ? 1) ? ?5 ? 1 ? ?4 ,选 20. (山东省济宁市 2013 届高三第一次模拟考试理科数学 ) 已知 f (x) 是定义在 R 上的奇函数,若对于 x≥0, 都有 f (x ? 2) ? f (x) ,且当 x ? [0,2] 时, f (x)=e -1 ,则 f (2013)+f (-2014) = ( ) A.1-e B.e-1 . C.-l-e D.e+l 【答案】B 【解析】 f (x ? 2) ? f (x) 可知函数的周期是 2.所以 f (2013) ? f (1) ? e ? 1 , f (?2014) ? f (0) ? 0 , 由 所以 f (2013)+f ( ? 2014) ? e ? 1,选 B. 21. (山东省济宁市 2013 届高三 4 月联考理科 数学)已知定义在 R 上的函数 f(x),对任意 x∈R,都有 f(x+6)=f(x)+f(3)成立,若函数 y ? f ( x ? 1) 的图象关于直线 x=-1 对称,则 f(201 3)= ( ) A.0 B.201 3 C.3 D.—201 3 【答案】A
x

22. (2009 高考(山东理))定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)= ? 的值为 A.-1 B.0 C.1

?log 2 (1 ? x), x ? 0 ,则 f(2009) ? f ( x ? 1) ? f ( x ? 2), x ? 0
( D.2 )

【答案】 【解析】:由已知得 f (?1) ? log 2 2 ? 1 , f (0) ? 0 , f (1) ? f (0) ? f (?1) ? ?1 ,

f (2) ? f (1) ? f (0) ? ?1 , f (3) ? f (2) ? f (1) ? ?1 ? (?1) ? 0 , f (4) ? f (3) ? f (2) ? 0 ? (?1) ? 1, f (5) ? f (4) ? f (3) ? 1 , f (6) ? f (5) ? f (4) ? 0 ,
所以函数 f(x)的值以 6 为周期重复性出现.,所以 f(2009)= f(5)=1,故选 答案: C. C.

23. (山东省青岛市 2013 届高三上学期期中考试数学(理)试题)已知非零向量 a 、 b ,满足 a ? b ,则函数

?

?

?

?

? ? f ( x) ? (ax ? b) 2 (x ? R) 是





A.既是奇函数又是偶函数 B.非奇非偶函数 C.偶函数 D.奇函数 【答案】C 24.山东省兖州市 2013 高三 9 月入学诊断检测数学(理)试题) ( 已知定义在 R 上的奇函数 f ? x ? 和偶函数 g ? x ? 满足 f ?x ? ? g ?x ? ? a ? a
x ?x

若 g ? 2012 ? ? a ,则 f ? ?2012 ? ? A. 2 【答案】B B. 2
?2012

? 2 ?a ? 0, 且a ? 1? ,

( C. 2
2012



? 22012

? 2?2012

D. a 2

25. (2013 山东高考数学(理) )已知函数 f ( x) 为奇函数,且当 x ? 0 时, A. ?2

f ( x) ? x 2 ?

1 x ,则 f (?1) ?
( ) )

26. (山东省济南市 2013 届高三上学期期末考试理科数学)设函数 f ? x ? ? 2 ,则如图所示的函数图象对应
x

B.0 C.1 D.2 【答案】A【解析】因为函数为奇函数,所以 f (?1) ? ? f (1) ? ?(1 ?1) ? ?2 ,选 A. 的函数是



4

A. y ? f ?| x |?

B. y ? ? | f ? x ? |

C. y ? ? f ? ? | x |? D. y ? f ? ? | x |?





【答案】C 【 解析】因为当 x ? 0 时, y ? ?1 ,所以排除 A, D.又因为函数的图象关于 y 轴对称,所 以函数为偶函数,所以排除 B,选 C. 27. (山东省德州市乐陵一中 2013 届高三十月月考数学(理)试题)定义在 R 上的函数 f ( x) 在(-∞,2)上是 增函数,且 f ( x ? 2) 的图象关于 y 轴对称,则 ( ) A. f (?1) ? f (3) B. f (0) ? f (3) C. f (?1) ? f (3) D. f (0) ? f (3) 【答案】A 【解析】函数 f ( x ? 2) 的图象关于 y 轴对称,则 f ( x) 关于直线 x ? 2 对称,函数 f ( x) 在 ) (??, 2) 上是增函数,所以在 (2, ??) 上是减函数,所以 f (?1) ? f (5) ? f (4) ? f (3) ,选 ( A. 二、填空题 偶函数,当 x ? [0,1] 时, f ? x ? ? x ? 1 , 则 f ? 2013.5 ? =_______________. 【答案】 1.5 【解析】因为函数的周期为 2,所以 f ? 2013.5 ? ? f ( ?0.5) ? f (0.5) ? 0.5 ?1 ?1.5 29. (山东师大附中 2013 届级高三 12 月第三次模拟检测理科数学) y ? f ? x ? 是定义在 R 上的偶函数且在

28. (山东师大附中 2013 届高三第四次模拟测试 1 月理科数学)设函数 f ? x ? 是定义在 R 上的周期为 2 的

? 0, ?? ? 上递增,不等式 f ? ?
【 答 案 】 (?

x ? ? 1? ? ? f ? ? ? 的解集为_____________ ? x ?1 ? ? 2?

1 , 1) 【 解 析 】 因 为 y ? f ? x? 是 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 且 在 ? 0, ?? ? 上 递 增 , 所 以 3 x 1 1 x 1 ? x ? ? 1? f? ) ? f ( ? ) ? f ( ) ,所以 ? , 即 2 x ? x ?1 , 平 方 得 ? ? f ? ? ? 等价为 f ( x ?1 2 2 x ?1 2 ? x ?1 ? ? 2? 1 1 4 x2 ? x2 ? 2 x ? 1 ,所以 3x2 ? 2 x ? 1 ? 0 ,解得 ? ? x ? 1 ,即不等式的解集为 (? ,1) . 3 3 30.山东省潍坊市四县一校 2013 届高三 11 月期中联考(数学理)) ( 已知奇函数 f (x) 满足 f ( x ? 2) ? ? f ( x) , 7 且当 x ? (0,1) 时, f ( x) ? 2 x ,则 f ( ) 的值 2
为______________ 【答案】 ? 2 【 解 析 】 由 f ( x ? 2) ? ? f ( x) 得 f ( x ? 4) ? f ( x) , 所 以 f (x) 周 期 是 4, 所 以

7 f ( )? f 2 7 f ( )? ? 2

1 1 7 1 1 2 又 ( ? 4 )? f ( ? )? ?f ( , ) 当 x ? (0,1) 时 , f ( x) ? 2 x , 所 以 f ( ) ? 2 ? 2 2 2 2

2, 所 以

2.

5


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