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厦门市2011~2012学年(上)高一质量检测数学试卷


厦门市 2011~2012 学年(上)高一质量检测

数 学 试 题
A 卷(共 100 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个答案中,只有一个答案是正确的。 1.设 M ? {3, a} , N ? {1, 2}, M ? N ? ? ?, M ? N 为( 1 A. {1,3, a} 2

.函数 f ( x) ? A. (1, ??) B. {1, 2,3, a} C. {1, 2,3} ) D. (1,3) )

x ?1 ? ln(4 ? x) 的定义域是(
B. [1, 4) C. (1, 4]

a ?1 b?2 a ? a ?b
PRTNT END

D. (4, ??) ) D. 3

3.运用如右图所示的程序,输出的结果是( A. ?1 B. 1 C. 2

a

4.某校选修乒乓球课程的学生中,高一年级有 40 名,高二年级有 50 名,现用分层抽样的方法在这 90 名学生中抽 取一个样本,已知在高一年级的学生中抽取了 8 名,则在高二年级的学生中应抽取的人数为( ) A. 18 B. 12 C. 10 D. 8 5.若方程 f ( x) ? 2 ? 0 在 (??, 0) 内有解,则 y ? f ( x) 的图像可能是( )

A.

B.

C. )

D.

6. 如图所示的程序框图,若输出的 S 的值为 11,则判断框内可以为( A. i ? 6 B. i ? 5 C. i ? 4 D. i ? 3

7. 我市对上下班交通情况作抽样调查, 现上下班时间段各抽取 12 辆机动车了解驾驶时速 (单 位: km / h )并作出茎叶图(如下图) ,则上下班时间行驶时速的中位数分别为( ) A.28 与 28.5 B.29 与 28.5 C.28 与 27.5 D.29 与 27.5 上班时间 8 1 87610 2 65320 3 0 4 下班时间 679 2578 00267

8.从 {1, 2,3} 中随机选取一个数为 a ,从 {1, 2,3, 4,5,6} 中随机选取一个数为 b ,则使 log2a b ? 1 的概率为( A.



1 2

B.

1 5

C.

1 6

D.

1 12

9.假设关于某设备的使用年限 x 和所支出的维修费用 y (万元) ,有如下的统计资料:

x y

2 2.2

3 3.8

4 5.5

5 6.5

6 7.0

? 由资料可知 y 对 x 呈线性相关关系,且线性回归方程为 y ? bx ? a ,其中已知 b ? 1.23 ,请估计使用年限为 20 年
时,维修费用约为( ) A.22.45 B.23.52
n i

C.24.68
n i

D.26.75
i i

? ( y ? bx ? a 的系数公式: b ?

? ( x ? x )( y ? y ) ? x y ? nxy
i ?1

? (x ? x )
i ?1 i

n

?

i ?1 n

2

?x
i ?1

, a ? y ? bx )

2

i

? nx

2

10. 函数 f ( x) 满足对于任意实数 x ,都有 f (? x) ? f ( x) ,且当 x1 , x2 ?[0, ??) , x1 ? x2 时, 成立,则下列结论正确的是( A. )

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?0都 x1 ? x2

f ( ? 2 )? f ( 0 ? f )

(1)

B. f (?2) ? f (1) ? f (0) D. f (1) ? f (?2) ? f (0)

C. f (1) ? f (0) ? f (?2)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。 11.假设要抽查的某种品牌的 850 颗种子的发芽率,抽取 60 粒进行试验。利用随机数表抽取种子时,先将 850 颗种 子按 001,002,...,850 进行编号,如果从随机数表第 8 行第 7 列的数从 7 开始向右读,请你依次写出最先检 测的 3 颗种子的编号 , , .(下面的数据摘自随机数表第 7 行至第 9 行) 84 42 17 53 31 63 01 63 78 59 33 21 12 34 29 57 24 55 06 88 16 95 55 67 19 78 64 56 07 82 77 04 74 47 67 98 10 50 71 75 52 42 07 44 38 21 76 33 50 25 12 86 73 58 07 15 51 00 13 42 83 92 12 06 76 44 39 52 38 79 99 66 02 79 54

?3x ( x ? 0) ? 12.已知函数 f ( x) ? ? 1 ,那么 f (log3 4) 的值为 ?? x 3 ( x ? 0) ?
13.读框图(如右图) ,输入 a ? 2 , b ? 3 ,则输出的是 .

.

14.定义在 (0, ??) 上的函数 f ( x) ,测得 f ( x) 的一组函数值如下表: X 1 1.00
2

2 1.54
x

3 1.93

4 2.21

5 2.43

6 2.63

f ( x)

在 y ? x , y ? x , y ? 2 ? 1, y ? ln x ? 1 中选择一个函数来描述,则吻合度 较好的函数应该是 .

三、解答题:本大题共 3 小题,共 34 分。 15. (本题满分 10 分)已知函数 f ( x) ? x 2 ? 2 | x | (1)判断并证明函数 f ( x) 的奇偶性; (2)判断函数 f ( x) 在 (1, ??) 上的单调性,并解不等式 f (| a | ? ) ? 0 .

3 2

16.(本题满分 12 分)2012 年元旦,某商场举行抽奖活动,抽奖箱中装有编号为 0,1,2,3,4,5 六个大小相同的小球, 规则如下:从中同时抽出 2 个,当 2 个小球号码之和为 9 时,记“中”一等奖,和为 8 或 7 时,记“中”二等 奖,和为 6 或 5 或 4 时,记“中”三等奖,其他情况不中奖. (1)求中三等奖概率; (2)求不中奖概率.

17.(本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? a2 x ? 2a x?1 ? 2(a ? 0, a ? 1) 的定义域为 x ? [?1, ??) (1)若 a ? 2 ,求 y ? f ( x) 的最小值; (2)当 0 ? a ? 1 时,若至少存在 x0 ?[?2, ?1] 使得 f ( x0 ) ? 3 成立,求 a 的取值范围.

B 卷(共 50 分)
四、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。 18.已知 U ? {y | y ? log 2 x, x ? 1} , P ? { y | y ?

1 , x ? 2} ,则 CU P ? x
.

.

19.若方程 x ? 3 ? lg x 的解为 x0 ,则不等式 x ? x0 的最小整数解是

20.某公路汽车 5 分钟一班准时到达某车站,则任一人在该车站等车时间少于 3 分钟的概率是

.

21. 对于定义域为 D 的函数 y ? f ( x) , 同时满足下列条件: f ( x) 在 D 内单调递增或单调递减; 存在区间 [a, b] ? D , ① ② 使 f ( x) 在 [ a, b] 上的值域为 [ a, b] ,那么把 y ? f ( x)( x ? D) 叫闭函数。若 y ? k ? 闭函数,则常数 k 的取值范围是 .

x ( k 为常数, k ? 0 )是

五、解答题 22. (本题满分 10 分)某社区为了选拔若干名义务宣传员,从社区 300 名志愿者中随机抽取 50 名,进行有关知识测 试, 其成绩 (均为正数) 按分数段分成六组: 第一组 [40,50) , 第二组 [50, 60) , 第三组 [60, 70) ??? 第六组 [90,100) , 其中第三组人数比第二组多 18 人,下图是按上述方法得到的频率直方图的一部分,规定成绩不低于 70 分的志 愿者入选为义务宣传员. (1)求第二组、第三组的频率并补充完整频率分布直方图; (2)由所抽取的志愿者的成绩分布,估计该社区有多少志愿者可入选为义务宣传员; (3)从测试成绩不少于 80 分的义务宣传员中随机抽取 2 名,到中心广场做宣传活动,求两人不同分数段的概率.

23. (本题满分 12 分)某商店销售某种商品,每件成本 90 元,以每件 100 元的价格销售时,平均日销售量为 50 件, 经过市场调研发现,如果该商品的销售价格在每件 100 元的基础上每减少 1 元则增加销售 4 件,而每增加 1 元则减 少销售 2 件,现设该商品的每件销售价格为 x 元( x 为整数). (1)写出该商店销售这种商品的日利润 y 元与 x 的函数关系式; (2)每件销售价格 x 为多少元时,该商店的日利润最大,并求出最大值.

x 2 ? ax ? b 24.(本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ( x ? 0) 是奇函数,且满足 f (1) ? f (4) . x
(1)求实数 a , b 的值; (2)若 x ? [2, ??) ,函数 f ( x) 的图像上是否存在不同的两点,使过这两点的直线平行于 x 轴; (3)是否存在实数 k 同时满足以下两个条件:①不等式 f ( x ) ?

k ? 0 对 x ? (0, ??) 恒成立,②方程 f ( x) ? k 在 2

x ? [?8, ?1] 上有解。若存在,求出实数 k 的取值范围,若不存在,请说明理由.

厦门市 2011~2012 学年(上)高一质量检测

《数学参考答案》 A 卷(共 100 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 1. C 2. B 3. A 4. C 5.D 6. B 7.D 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 11. 785,567,199 12. 4 13. 1 8. C 9. C 10. B

14. y ? ln x ? 1

三、解答题:本大题共 3 小题,共 34 分. 15.(本题满分 10 分) 解:(Ⅰ)函数 f ( x) 是偶函数. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄2 分 函数 f ( x) 的定义域为 R,且 f ? ? x ? ? ? ? x ? ? 2 ? x ? x2 ? 2 x ? f ? x ? ,
2

所以函数 f ( x) 是偶函数.

┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4 分

(Ⅱ)当 x ? ?1 ? ?? 时, f ? x ? ? x 2 ? 2 x , , 所以函数 f ( x) 在 ?1, ?? ? 上是增函数. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6 分

3 3 | a | ? ? 1 , f (2) ? 0 ,由 f (| a | ? ) ? f (2) ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄7 分 2 2 3 且函数 f ( x) 在 ?1, ?? ? 上是增函数,知 | a | ? ? 2 , ┄┄┄┄┄┄8 分 2

| a |?

1 1 1 ,所以 a ? 或 a ? ? . 2 2 2

┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄10 分

1 3 1 即不等式 f (| a | ? ) ? 0 的解集是 {a | a ? 或 a ? ? } . 2 2 2
16.(本题满分 12 分) 解:(Ⅰ)设事件 A ? ““中”三等奖“, 从抽奖箱中任取两个小球的基本事件共有 15 个:

?0,1? , ?0,2? , ?0,3? , ?0,4? , ?0,5? , ?1,2?, ?1,3?, ?1,4?, ?1,5?,
┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄3 分 而事件 A 包含 7 个基本事件: 所以 P ? A ? ?

? 2,3? , ? 2,4? , ? 2,5? , ?3,4? , ?3,5?
┄┄5 分

,

? 4,5?



1,5 , 2,4 ? 0,4?, ?0,5 ?, ?1,3 ?, ?1,4 ?, ? ?, ?2,3 ? ? ?

7 . ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄7 分 15 (Ⅱ)设事件 B ? 不“中”奖, 7 3 1 4 ? ? ? . ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄12 分 则 P ? B? ? 1? 15 15 15 15
17.(本题满分 12 分) 解:(Ⅰ)若 a ? 2 , f ( x) ? 22 x ? 4 ? 2 x ? 2 , x ? [?1, ??) 1 x 令 t ? 2 , y ? g (t ) ? t 2 ? 4t ? 2 , t ?[ , ??) , ┄┄┄┄┄┄┄┄2 分 2

易得 y ? [?2, ??) ,所以 y ? f ( x) 的最小值是 ?2 . ┄┄┄┄┄┄┄┄4 分 (Ⅱ) 当 0 ? a ? 1 时,令 t0 ? a x , x0 ? [?2, ?1] 得 t0 ?[a ?1 , a ?2 ] , 1 至少存在 t0 ?[a ?1 , a ?2 ] 使得 h(t0 ) ? t0 2 ? 2at0 ? 2 ? 3 成立,即 2a ? t0 ? 成立,┄6 分 t0 1 即 2a ? (t0 ? ) min ┄┄┄┄┄┄┄┄8 分 t0 1 1 1 在 t0 ?[a ?1 , a ?2 ] ,函数 t0 ? 单调递增, (t ? )min ? ? a , ┄┄┄10 分 t a t0
0

1 1 3 ? a ,即 3a ? ,所以 a ? a a 3 3 所以 a 的取值范围是 [ ,1) . 3
所以 2a ?

┄┄┄┄┄┄┄┄12 分

B 卷(共 50 分)
四、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.
1 3 ? 18. ? , ?? ? 19. 3 20. ?2 5 ? ? 五、解答题:本大题共 3 小题,共 34 分.

21.

?

1 ?k ? 0 4

22.(本题满分 10 分) 解:(Ⅰ)设第二组有 x 人,则第三组有 ( x ? 18) 人. 由题意可知, x ? x ? 18 ? (0.004 ? 0.04 ? 0.008 ? 0.004) ? 10 ? 50 ? 50 , 解得 x ? 2 .
2 所以第二组的频率为 ? 0.04 , 50
0.04 频率/组距

第三组的频率为

2 ? 18 ? 0.4 . 50

补全频率分布直方图如右图所示.┄┄┄┄┄4 分 (Ⅱ)成绩不低于 70 的频率为 (0.04 ? 0.008 ? 0.004) ?10 ? 0.52 , 估计该社区可成为义务宣传员的人数为 0.52?300 ? 156 .

0.008 0.004 O 40 50 60 70 80 90 100 分数

┄┄┄┄┄┄┄┄7 分

(Ⅲ)设成绩在 ?80,90 ? 的 4 人为 A 、 B 、 C 、 D ,成绩在 ?90,100 ? 的 2 人为 a 、 b . 设“所抽取的两人在不同分数段”的事件为 M ,所有的基本事件为:
AB、AC、AD、Aa、Ab、BC、BD、Ba、Bb、CD、Ca、Cb、Da、Db、ab

其中事件 M 所包含的基本事件有 8 个,分别为 Aa、Ab、Ba、Bb、Ca、Cb、Da、Db , 所以 P(M ) ?
8 . 15

┄┄┄┄┄┄┄┄10 分

23.(本题满分 12 分) 解:(Ⅰ)依题意得,每件销售价格 x 元( x ? 90 )时,每件利润为 ( x ? 90) 元,
2 当 90 ? x ? 100 时,y ? ( x ? 90)[50 ? 4(100 ? x)] ? ?4x ? 810x ? 40500 ; ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄3

分 当 x ? 100 时,日销售量为 50 ? 2( x ? 100) ? (250 ? 2 x) 件, 显然 250 ? 2 x ? 0 ,即 x ? 125 .

故当 100 ? x ? 125 时, y ? ( x ? 90)(250 ? 2 x) ? ?2 x2 ? 430 x ? 22500 .

? ?4 x 2 ? 810 x ? 40500, ∴y?? 2 ? ?2 x ? 430 x ? 22500,

90 ? x ? 100, x ? Z 100 ? x ? 125, x ? Z

,┄┄┄┄┄6 分

(Ⅱ)若 90 ? x ? 100 , y ? ?4 x2 ? 810 x ? 40500 ,对称轴为 x ? ?

1 ? 101 , 2 ? (?4) 4


810

y ? ?4 x2 ? 810 x ? 40500



? 90,100?











x ? 100





ym ? 500 a x



┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄9 分 若 100 ? x ? 125 , y ? ?2 x 2 ? 430 x ? 22500 , 对称轴为 x ? ?

1 ? 107 ? (100,125) , 2 ? (?2) 2
┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄11 分

430

当 x ? 107或108 时, ymax ? 612 ? 500 . 因此,当 x ? 107或108 时, ymax ? 612 .

答:当每件销售价格为 107 或 108 元时,该商店日利润最大为 612 元.┄┄12 分 24.(本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ)由 f (1) ? f (4) 得 1 ? a ? b ? 由 f ( x) ? 即

16 ? 4a ? b 4

,解得 b ? 4 . ┄┄┄┄2 分

x 2 ? ax ? b x ?

( x ? 0) 为奇函数,得 f ( x) ? f ( ? x) ? 0 对 x ? 0 恒成立, ? 2a ? 0 ,所以 a ? 0 . ┄┄┄┄┄┄┄4 分
4 x
.

x 2 ? ax ? b x

x 2 ? ax ? b ?x

(Ⅱ)由(Ⅰ)知, f ( x ) ? x ?

任取 x1 , x2 ? [2, ??) ,且 x1 ? x2 ,

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ( x1 ?

4 x1

) ? ( x2 ?

4 x2

) ? ( x1 ? x2 )

x1 x2 ? 4 x1 x2

,┄┄┄┄┄6 分

∵ 2 ? x1 ? x2 ,∴ x1 ? x2 ? 0 , x1 x2 ? 0 , x1 x2 ? 4 ? 0 , ∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0, f ( x1 ) ? f ( x2 ) , 所以,函数 f ( x ) 在区间 [2, ??) 单调递增. 所以在区间 [2, ??) 任取 x1 ? x2 则必有 y1 ? y2 故函数 f ( x ) 的图象在区间 [2, ??) 不存在不同的两点使过两点的 直线平行于 x 轴. ┄┄┄┄┄┄┄┄8 分 (Ⅲ)对于条件①:由(Ⅱ)可知函数 f ( x ) 在 x ? (0, ??) 上有最小值 f (2) ? 4 . 故若 f ( x ) ?

k

k k ? 0 对 x ? (0, ??) 恒成立,则需 f ( x ) min ? ? ,则 4 ? ? , 2 2 2

? k ? ?8 . ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄9 分 对于条件②:由(Ⅱ)可知函数 f ( x ) 在 (??, ?2) 单调递增,在 [?2, 0) 单调递减,
∴函数 f ( x ) 在 ? ?8, ?2? 单调递增,在 ? ?2, ?1? 单调递减,又 f ? ?8 ? ? ? 数 f ( x ) 在 ? ?8, ?1? 上的值域为 ?

17 2

, f ? ?2? ? ?4 , f ? ?1? ? ?5 ,所以函

? 17 ? ? 2 , ?4 ? , ? ?
17 2 ? k ? ?4 .┄┄┄┄┄┄11 分

若方程 f ? x ? ? k 在 ? ?8, ?1? 有解,则需 ?

? ?8 ? k ? 若同时满足条件①②,则需 ? 17 ,所以 ?8 ? k ? ?4 . ? ? k ? ?4 ? 2 ?
答:当 ?8 ? k ? ?4 时,条件①②同时满足. ┄┄┄┄┄┄┄┄12 分


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