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3.1.1 两角和与差的余弦公式学案


红旗中学新城校区理科数学必修四导学案

设计人: 刘伟东

审核人:

学生姓名:

§ 3.1.1 两角和与差的余弦公式

学习目标
1、理解向量法推导两角和与差的余弦公式,并能初步运用解决具体问题; 2、应用公 C (? ? ? ) 式,求三角函数值. 3、培养探索和

创新的能力和意见.

学习重点
向量法推导两角和与差的余弦公式

学习过程
(一)预习指导 探究 cos(α +β )≠cosα +cosβ 反例: cos

? π ? π ? =cos( + )≠cos + cos 3 6 3 2 6

问题:cos(α +β ),cosα ,cosβ 的关系 (二)基本概念 1.解决思路:探讨三角函数问题的最基本的工具是直角坐标系中的单位圆及单位圆中的三角函数线

2.探究:在坐标系中α 、β 角构造α +β 角 3.探究:作单位圆,构造全等三角形 探究:写出 4 个点的坐标 P1(1,0),P(cosα ,sinα ) P3(cos(α +β ),sin(α +β )), P4(cos(-β ),sin(-β )), 5.计算 P1 p3 , p2 p4

P1 p3 =
1

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p2 p4 =
6.探究:由 P1 p3 = p2 p4 导出公式 [cos(α +β )-1] +sin (α +β )=[cos(-β )-cosα ] +[sin(-β )-sinα ] 展开并整理 得 所以 可记为 C (? ? ? ) 7.探究:特征 ①熟悉公式的结构和特点; ②此公式对任意α 、β 都适用 ③公式记号 C (? ? ? ) 8.探究:cos(α +β )的公式 以-β 代β 得: 公式记号 C (? ? ? )
2 2 2 2

(三)典型例题选讲: 例 1 不查表,求下列各式的值. (1)cos105° (2)cos15°

(3)cos

?
5

cos

3? ? 3? ? sin sin 10 5 10
2

(4)cos80°cos20°+sin80°sin20°

(5)cos 15°-sin 15°

2

(6)cos80°cos35°+cos10°cos55°

例 2 已知 sinα =

4 ,α ? ? ? ,cosβ = - 5 ,β 是第三象限角,求 cos(α -β )的值. ?? ? 2 ,? ? 13 5 ? ?

2

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例 3:已知 cos(2α -β )=求 cos(α +β )的值.

11 ? ? ? 4 3 ,sin(α -2β )= ,且 ?? ? ,0? ? ? , 14 4 2 4 7

例 4:cos(α 求 cos

? ??
2

1 ? 2 ? ? ? )=- ,sin( -β )= ,且 <α <π ,0<β < , 9 3 2 2 2 2

的值.

【课堂练习】 1.求 cos75°的值

2.计算:cos65°cos115°-cos25°sin115°

3

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3.计算:-cos70°cos20°+sin110°sin20°

4.sinα -sinβ =-

? 1 ? 1 ,cosα -cosβ = , α ? (0, ), β ? (0, ),求 cos(α -β )的值. 2 2 2 2

5.已知锐角α ,β 满足 cosα =

3 5 ,cos(α -β )=,求 cosβ . 5 13

6.已知 cos(α -β )=

1 2 2 ,求(sinα +sinβ ) +(cosα +cosβ ) 的值. 3

【课堂小结】

4