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【名校专题密卷】河北省衡水中学2014届高考数学(理)万卷检测:常用逻辑用语

时间:2014-03-18


常用逻辑用语
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。考试时间 120 分钟,满分 150 分。 考生应首先阅读答题卡上的文字信息, 然后在答题卡上作答, 在试题卷上作答无效。

第I卷 一、 选择题
f ( x) ? e x ? mx 在 [0, ??) 上是增函数”,则(

1.已知命题“若函数

) m>1”, 其为真命题

A.否命题是“若函数

则 f ( x) ? e x ? mx 在 [0, ??) 上是减函数,

B.逆命题是“若 m ≤1 ,则 f ( x) ? e x ? mx 在 [0, ??) 上是增函数”,其为假命题 C.逆命题是“若 m>1, 则函数 f ( x) ? e x ? mx 函数在 [0, ??) 上是减函数”其为真命题 D.逆否命题是“若 m>1,则函数 f ( x) ? e x ? mx 函数在 [0, ??) 上不是增函数”,其 为真命题 2.给出以下四个命题: ①若 ab ≤ 0 ,则 a ≤ 0 或 b ≤ 0 ;②若 a>b 则 am
2

? bm 2 ;③在△ABC

中,

若 sinA=sinB,则 A=B;④在一元二次方程 ax 2 ? bx ? c ? 0 中,若 b 2 ? 4ac ? 0 ,则方程有 实数根.其中原命题.逆命题.否命题.逆否命题全都是真命题的是( A.① B.② C.③ D.④ )

3.已知下列三个命题: ①若一个球的半径缩小到原来的 , 则其体积缩小到原来的 ; ②若两组数据的平均数相等, 则它们的标准差也相等; ③直线 x + y + 1 = 0 与圆 x2 ? y 2 ? 相切. 其中真命题的序号是( (A) ①②③ (B) ①② ) (C) ②③ ) (D) ②③
1 2 1 2 1 8

4.命题“对任意的 x ? R ,x3 ? x2 ? 1 ? 0 ”的否定是( A.不存在 x ? R ,x3 ? x2 ? 1 ? 0 C.存在 x ? R ,x3 ? x2 ? 1 ? 0

B.存在 x ? R ,x3 ? x2 ? 1 ? 0 D.对任意的 x ? R ,x3 ? x2 ? 1 ? 0 )

5.命题“存在 x0 ? R, 2 x0 ? 0 ”的否定是.(

A.不存在 x0 ? R, 2 x0 ? 0 C.对任意的 x ? R, 2 x ? 0

B.存在 x0 ? R, 2 x0 ? 0 D.对任意的 x ? R, 2 x ? 0 )

6.已知 p : 关于 x 的不等式 x2 ? 2ax ? a ? 0 的解集是 R,q : 则 p是q的 ( ?1 ? a ? 0 , A.充分非必要条件 C.充分必要条件 7.下列说法错误的是( ) B.必要非充分条件 D.既非充分有非必要条件

A.命题“若 x2 ? 4x ? 3 ? 0 ,则 x ? 3 ”的逆否命题:“若 x ? 3 ,则 x2 ? 4x ? 3 ? 0 ” B.“ x ? 1 ”是“ x ? 0 ”的充分不必要条件 C.若 p 且 q 为假命题,则 p, q 均为假命题 D.命题 p :“ ?x ? R 使得 x2 ? x ? 1 ? 0 ”,则 ?p :“ ?x ? R, 均有 x2 ? x ? 1 ? 0 ” 8. 对于正实数 ? ,记 M ? 为满足下述条件的函数 f ( x) 构成的集合: ?x1 , x2 ? R 且
x2 ? x1 ,有 ?? ( x2 ? x1 )
? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? ? ( x2 ? x1 ) .下列结论中正确的是(



A.若 f ( x) ? M?1 , g ( x) ? M? 2 ,则 f ( x) g ( x) ? M?1? 2
f ( x) ? M ?1 f ( x) ? M?1 , g ( x) ? M? 2 ,且 g ( x) ? 0 ,则 g ( x) ?2

B.若

C.若 f ( x) ? M?1 , g ( x) ? M? 2 ,则 g ( x) ? g ( x) ? M?1?? 2 D.若 f ( x) ? M?1 , g ( x) ? M? 2 ,且 ?1 ? ?2 ,则 f ( x) ? g ( x) ? M?1?? 2

第Ⅱ卷 二、填空题 9.设函数 f ( x) ? a x ? b x ? c x , 其中c ? a ? 0, c ? b ? 0.
且a =b? ,则 (1)记集合 M ? ?(a, b, c) a, b, c不能构成一个三角形的三条边长,

(a, b, c) ? M 所对应的 f ( x) 的零点的取值集合为____。

(2) 若 a, b, c是?ABC的三条边长,则下列结论正确的是

. (写出所有正

确结论的序号) ① ?x ? ? ??,1? , f ? x ? ? 0; ② ?x ? R, 使xa x , b x , c x不能构成一个三角形的三条边长; ③若 ?ABC为钝角三角形,则?x ? ?1, 2 ? , 使f ? x ? ? 0. 10.命题 p : 方程 x2 ? x ? a2 ? 6a ? 0 有一正根和一负根, 命题 q : 函数 y ? x2 ? (a ? 3) x ? 1 的图象与 x 轴有公共点。若命题“ p ? q ”为真命题,而命题“ p ? q ”为假命题, 则实数 a 的取值范围是 。 .

11.设 n ? N* , 一元二次方程 x2 ? 4x ? n ? 0 有整数根的充要条件是 n= 12.△ABC 中, “A ? B”是“cos2A ? cos2B”的 要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”) 三、解答题

条件 (“充分不必要条件”“必

13.设命题 p :函数 f ? x ? ? lg(ax 2 ? x ? 1 a ) 的定义域 R,命题 q:不等式 2x+|2x-a|>1 对一切
16

实数 x 均成立如果命题“ p ?q ”为真命题,命题“ p ? q ”为假命题,求实数 a 的取 值范围.

14.求关于 x 的方程 ax2 ? 2 x ? 1 ? 0 至少有一个负实根的条件.

15.已知抛物线 C: y ? ? x ? mx ?1 和点 A(3,0)B(0,3).
2

求证:抛物线 C 与线段 AB 有两个不同交点的充要条件是 3 ? m ≤ 10 .
3

16.已知命题 p :? (a ? 1)2 ? x ? (a ? 1)2 ? (a ?1)2 , 命题 q :x2 ? 3(a ? 1) x ? 2(3a ? 1) ? 0 , 若 p 是 q 的充分条件,求实数 a 的取值范围。

1 2

1 2

1 2

常用逻辑用语
单项选择题 1.D【解析】若 f ' ( x) ? e x ? m ≥ 0 在 [0, ? ?) 上恒成立,即 m ≤ e 在 [0, ??) 上恒成立,故 m ≤1 ,
x

这说明原命题正确 ,反之若 m ≤1 ,则 f '( x) ≥ 0 在 [0, ? ?) 上恒成立 ,故逆命题正确,但对增 函数的否定并不是减函数,而是“不是增函数”,故选 D. 2.B【解析】对命题①,其原命题和逆否命题为真,但逆命题和否命题为假;对命题②,其原命题 和逆否命题为假,但逆命题和否命题为真;对命题③,其原命题.逆命题.否命题.逆否命题全部 为真;对命题④,其原命题.逆命题.否命题.逆否命题全部为假,故选 C. 3.C 4.C 5.D 6.C 7.C 8.C 填空题 9.(1) (0, 1] (2)①②③

10. ? ??,0? ? ?1,5? ? ?6, ??? 11.3 或 4【解析】由于方程都是正整数解,由判别式△=16- 4n ≥ 0 得“ 1 ≤ n ≤ 4 ”,逐个分析,当
n ?1 、 2 时,方程没有整数解;而当 n ? 3 时,方程有正整数解

1.3;当 n ? 4 时,方程有正整数解

2. 12.充要【解析】由于 cos 2 A ? 1 ? 2sin 2 A , cos 2B ? 1 ? 2sin2 B ,当 A ? B 时,一定有 sin A ? sin B , 则一定有 cos2 A ? cos2B ,反之亦然,所以是充要条件. 解答题 13.解:p 为真命题 ? 对任意 x ? R ,ax ? x ? a ? 0 恒成立
2

16

?? ?

?a ? 0, ? a ? 2; q 1 ? 1 a 2 ? 0, ? ? 4

为真命题 一真一假,则 p 为真命题,q 为假命题时, a ? 2 且,

? (2 x? | 2 x ? a |)min ? 1 ? a ? 1 .由题意知 p , q

不存在;p 为假命题,q 为真命题时, a ≤ 2 且 a ? 1 得, 1 ? a ≤ 2 .所以 a 的取值范围为 (1, 2] . 14.解:①当 a ? 0 时适合;

②当 a ? 0 时,显然方程没有零根.若方程有两异号的实根,则 a ? 0 ;若方程有两个负的 实根,则必须有
? 1 ? 0, ?a 解得 0 ? a ≤1 .综上知若方程至少有一个负的实根,则 a ≤ 1 ;反之,若 a ≤ 1 , ? ?? 2 ? 0, ? a ?? ? 4 ? 4a ≥ 0, ?

则方程至少有一个负的实根.因此,关于 x 的方程 ax 的充要条件是 a ≤ 1 15.解:①必要性: 由已知得线段 AB 的方程为 y ? ? x ? 3(0 ≤ x ≤ 3)

2

? 2 x ? 1 ? 0 至少有一个负的实根

由于抛物线 C 和线段 AB 有两个不同的交点,所以方程组
2 ? y ? ? x ? mx ? 1, 有两组不同的实数解. ? ? y ? ? x ? 3(0 ≤ x ≤ 3)

消元得 x 2 ? (m+1) x ? 4 ? 0(0 ≤ x ≤ 3) . 设 f ( x) ? x 2 ? (m ? 1) x +4 ,则有
? ? =[ ? (m+1)] ? 4 ? 4 ? 0, ? f (0) ? 4 ≥ 0, ,解之得 3 ? m ≤ 10 ? 3 ? f (3) ? 9 ? 3( m ? 1) ? 4 ≥ 0 ? ?0 ? m ? 1 ? 3, ? 2
2

②充分性: 当 3 ? m ≤ 10 时
3

x1 ?

m ? 1 ? (m ? 1)2 ? 16 m ? 1 ? (m ? 1) 2 ? ? 0, 2 2
m ? 1 ? (m ? 1) 2 ? 16 2
2

x2 ?



10 ? 1 ? (10 ? 1) 2 ? 16 3 3 ?3 2
1 2

所以方程 x ? (m+1) x ? 4 ? 0 有两个不等的实根 x x 且 0 ? x! ? x2 ≤ 3, 方程组有两组不同的实数解.

因此,抛物线 y ? ? x ? mx ? 1 和线段 AB 有两个不同交点的充要条件是 3 ? m ≤ 10 . 3
2

16.解:设命题 p, q 对应的集合分别为 A, B
1 1 1 由 ? (a ? 1)2 ? x ? (a ? 1)2 ? (a ? 1)2 ,得 2a ? x ? a2 ? 1 2 2 2
? A ? ? x 2a ? x ? a 2 ? 1?

由 x2 ? 3(a ? 1) x ? 2(3a ? 1) ? 0, 得 ( x ? 2) ? x ? (3a ? 1) ? 0?
1 当 3a ? 1 ? 2 ,即 a ? 时, B ? ? x 2 ? x ? 3a ? 1? ; 3

1 当 3a ? 1 ? 2 ,即 a ? 时, B ? ? x 3a ? 1 ? x ? 2? 3
? 2 ? 2a 1 综合上述,当 a ? 时,若 A ? B ,则 ? 2 3 ?a ? 1 ? 3a ? 1

解得 1 ? a ? 3 ;

1 当 a ? 时,若 A ? B ,则 3a ? 1 ? 2a, a 2 ? 1 ? 2 ,解得 a ? ?1 3

?a 的取值范围为 ?a 1 ? a ? 3 或a ? ?1?


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