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高中数学复习函数专题练习题附答案[编辑16页]


高中数学复习函数专题练习题附答案
b (2012 年栟茶高级中学高三阶段考试)若函数 f ( x) 为定义域 D 上单调函数,且存在区间 ? a, ? ? D (其中 0 域区间.如果函数 g ( x) ? x 2 ? m 是 ? ??, ? 上的正函数,则实数 m 的取值范围
b b b a ?b) ,使得当 x ? ? a, ? 时, f ( x) 的值域

恰为 ? a, ? ,则称函数 f ( x) 是 D 上的正函数,区间 ? a, ? 叫做等

答案: (?1, ? )

3 4

(2012 年兴化)已知实数 a, b 分别满足 a ? 3a ? 5a ? 1 , b ? 3b ? 5b ? 5 ,
3 2 3 2

则 a ? b 的值为 答案: 2



.

说明:由于已知的两个等式结构相似,因此可考虑构造函数。 将已知等式变形为 (a ? 1) ? 2(a ? 1) ? ?2, (b ? 1) ? 2(b ? 1) ? 2 ,
3 3 3 构造函数 f ( x) ? x ? 2 x ,这是一个单调递增的奇函数,因为 f (a ? 1) ? ?2, f (b ? 1) ? 2

所以 f (a ? 1) ? ? f (b ? 1) ? f (1 ? b) ,从而有 a ? 1 ? 1 ? b , a ? b ? 2 。

(2012 年泰兴)方程 x ? 3x ? m ? 0 在[0,1]上有实数根,则 m 的最大值是 0
3



3 析:可考虑 y ? m, 与 y ? x ? 3x 在[0,1]上有公共点,数形结合。 (?1, ? )
3

4

1 / 15

1 (南师附中最后一卷)已知函数 f(x)=loga(x3-ax)(a>0 且 a≠1),如果函数 f(x)在区间?-2,0?内单 ? ? 调递增,那么 a 的取值范围是____________. 3 答案:?4,1? ? ?

(泰州期末)13.设实数 a ? 1 ,使得不等式 x x ? a ? 件的实数 a 的范围是 .

3 ? a ,对任意的实数 x ? ?1,2? 恒成立,则满足条 2
y

解析:本题考查不等式的解法,数形结合。

3 3 时,不等式 x x ? a ? ? a ,对任意的实数 x ? ?1,2? 恒成立, 2 2 x a 1 2 O 3 3 a? a? 3 2 ,作出函数 y ?| x ? a |, y ? 2 (1 ? x ? 2) 的图像,如图, 当 a ? 时,将不等式化为 | x ? a |? 2 x x 3 不等式 x x ? a ? ? a ,对任意的实数 x ? ?1,2? 恒成立的条件是,函数 y ?| x ? a |, 的图像全部落在函数 2
当a ?

3 ? a? 3 ? a? 2 2 (1 ? x ? 2) 的图像的上方,由 ? a ? 2 ? 2 解得 a ? 5 , y? ? 2 x ? 3 ?a ? 1 ? a ? ? 2
综上所述,实数 a 的范围是 [1, ] ? [ , ??) 。 (注:本题关键在于对不等式的合理变形,和由图考出题设成立的条件) (泰州期末)14. 集合 M ? ? f (x) 存在实数 t 使得函数 f (x) 满足 f (t ? 1) ? f (t ) ? f (1)
2

3 2

5 2

?,下列函数

(a, b, c, k 都是常数)1)y ? kx ? b(k ? 0, b ? 0) ; 2)y ? ax ? bx ? c(a ? 0) ;3)y ? a x (0 ? a ? 1) ; ( ( ( k (4) y ? (k ? 0) ; (5) y ? sin x ;属于 M 的函数有 . (只须填序号) x
解析:本题考查基本初等函数,解方程。 解法一:对函数(1) ,若 k (t ? 1) ? b ? (kt ? b) ? (k ? b) ,则 b ? 0 ,与条件矛盾;

2 / 15

对函数(2) ,若 a(t ? 1) ? b(t ? 1) ? c ? (at ? bt ? c) ? (a ? b ? c) ,解得 t ?
2 2

c ; 2a

对函数(3) ,若 a 对函数(4) ,若

t ?1

? at ? a ,由于函数 y ? a x (0 ? a ? 1) 为减函数,故不成立;

k k ? ? k ,整理得 t 2 ? t ? 1 ? 0 ,此方程无实数解; t ?1 t

对函数(5) ,显然 f (0 ? 1) ? f (0) ? f (1) 。 综上所述,属于 M 的函数有(2) 。 (5) 解法二: f (t ? 1) ? f (t ) ? f (1) 可化为

f (t ? 1) ? f (t ) f (1) ? 0 , ? (t ? 1) ? t 1? 0

此式表示点 A(t ? 1, f (t ? 1)), B(t , f (t )), C (1, f (1)), D(0,0) 满足 k AB ? kCD , 依次作出五个函数的图像,画出线段 CD,作 CD 的平行线,判断能否作出弦长为 1 的平行线即可。 (注:解法二不是人人都能学会的,没这个智力的人需对自己合理定位)

(南京三模).若函数 f ( x ) ? ? 答案: (?1 ? 3, ??)

? x 2 ? 2 x, x ? 0 ? 是奇函数,则满足 f ( x) ? a 的 x 的取值范围是 2 ? ? x ? ax, x ? 0 ?





(南通三模) 若函数 f ( x) ?| 2 x ? 1| , 则函数 g ( x) ? f ( f ( x)) ? ln x 在 (0,1) 上不同的零点个数为 解析:考查数形结合法的应用、函数图象的作法。 考虑函数 y ? f ( f ( x )) ? 2 2 x ? 1 ? 1 与 y ? ? ln x 的图象交 点的个数。



.

3 ? ?4 x ? 3, x ? 4 ? ?? 4 x ? 3, 1 ? x ? 3 ? 2 4 而函数 y ? 2 2 x ? 1 ? 1 ? ? ,由图象易见结 1 1 ?4 x ? 1, ? x ? ? 4 2 ? 1 ?? 4 x ? 1, x ? 4 ?
3 / 15

果为 3. 另外,也可按如下步骤做出 y ? f ( f ( x )) ? 2 2 x ? 1 ? 1 的图象: 先作 y ? 2 2 x ? 1 ? 1 的图象,再作 y ? 2 2 x ? 1 ? 1 的图象。

答案:3

(盐城二模)若 y ? f ( x) 是定义在 R 上周期为 2 的周期函数, 且 f ( x) 是偶函数, 当 x ? [0,1] 时,

f ( x) ? 2 x ? 1 , 则函数 g ( x) ? f ( x) ? log5 | x | 的零点个数为
答案:4



.

解析:数形结合,作出 y=f(x)与 y ? log5 | x | 在 x 轴右边图像,有 2 个交点,又 2 个函数为偶函数,根据对 称性有 4 个交点

4 / 15

(2012 年常州)对于函数 y ? f ( x)( x ? R) ,给出下列命题: (1)在同一直角坐标系中,函数 y ? f (1 ? x) 与 y ? f ( x ? 1) 的图象关于直线 x ? 0 对称; (2)若 f (1 ? x) ? f ( x ? 1) ,则函数 y ? f ( x) 的图象关于直线 x ? 1 对称; (3)若 f (1 ? x) ? f ( x ? 1) ,则函数 y ? f ( x) 是周期函数; (4)若 f (1 ? x) ? ? f ( x ? 1) ,则函数 y ? f ( x) 的图象关于点(0,0)对称。 其中所有正确命题的序号是 答案: (3) (4) 。

(常州期末) 设函数 y ? f ( x) 在 R 内有定义, 11、 对于给定的正数 k , 定义函数 f k ( x) ? ? 若函数 f ( x) ? log3 | x | ,则当 k ? 答案: (??, ? 3 3] (南通一模)如图,矩形 ABCD 的三个顶点 A、B、C 分别在函数
y ? log x , y ? x2 , y ?
1

? f ( x), f ( x) ? k , , ?k , f ( x) ? k .


1 时,函数 f k ( x) 的单调减区间为 3

2 2

? ? 的图象上,且矩形
2 2
x

y ▲ . 2 A 1 D O 1
(第 9 题)

的边分别平行于两坐标轴. 若点 A 的纵坐标为 2,则 点 D 的坐标为 答案: 1 ,1 2 4 B

? ?

C

x

第9题

yA ? xA ? xD ; y A ? yB ? xB ? xC ? yC ? yD .

(天一)5.已知定义域为 R 的函数 f ( x) ?

?2 x ? 1 是奇函数,则 a ? 2 x ?1 ? a

▲ .

答案;2 (天一)13.将一个长宽分别是 a, b(0 ? b ? a) 的铁皮的四角切去相同的正方形,然后折成一个无盖的长方 体的盒子,若这个长方体的外接球的体积存在最小值,则 答案: (1, )
5 / 15

a 的取值范围是 ▲ . b

5 4

(天一) (天一)8.若方程 lg kx ? 2lg ? x ? 1? 仅有一个实根,那么 k 的取值范围是 ▲ . 答案: k ? 0 或 k ? 4

(南师大信息卷)函数 f ( x) 在定义域 R 内可导,若 f ( x) ? f (2 ? x) ,且当 x ? (??,1) 时,

1 ( x ? 1) f '( x) ? 0 ,设 a ? f (0), b ? f ( ), c ? f (3) ,则 a, b, c 的大小关系为 c<a<b. 2
提示:依题意得,当 x ? 1 时,有 f '( x) ? 0 , f ( x) 为增函数; 又 f (3) ? f (?1) ,且 ?1 ? 0 ?

1 1 ? 1,因此有 f (?1) ? f (0) ? f ( ) , 2 2

1 即有 f (3) ? f (0) ? f ( ) , c ? a ? b . 2
(苏锡常一模)写出一个满足 f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) ? 1 ( x , y ? 0 )的函数 f (x) ? 答案: log a x ? 1 (苏锡常一模)已知 a , b 为正实数,函数 f ( x) ? ax ? bx ? 2 在 ?0,1? 上的最大值为 4 ,则 f (x) 在
3 x

.

?? 1,0? 上的最小值为
答案: ?

.

3 2

(南师大信息卷)定义在 D 上的函数 f (x) ,如果满足:对任意 x ? D ,存在常数 M ? 0 , 都有 f ( x) ? M 成立,则称 f (x) 是 D 上的有界函数,其中 M 称为函数 f (x) 的上界.已知函 数 f ( x) ? 1 ? x ? ax2 .

0 0 (1) 当 a ? ?1 时, 求函数 f (x) 在 ?- ?,? 上的值域, 判断函数 f (x) 在 ?- ?,? 上是否为有界函
数,并说明理由; (2) 若函数 f (x) 在 x ? ?1,4? 上是以 3 为上界的有界函数,求实数 a 的取值范围.
1 5 解:(1) a ? ?1 时, f ( x) ? 1 ? x ? x 2 ? ?( x ? ) 2 ? , 2 4

? f ( x)在x ? (??,0) 上单调递增,
1 5 ? f ( x) ? ?(0 ? ) 2 ? ? 1, 2 4

0 故函数 f (x) 在 ?- ?,? 上的值域为 (??,1).

6 / 15

又? f ( x) ? 1,? f ( x) ? [0,??)

,

?不存在常数 M ? 0 ,使 f ( x) ? M 都成立.
0 故函数 f (x) 在 ?- ?,? 上不是有界函数.
(2) 若函数 f (x) 在 ?1,4? 上是以 3 为上界的有界函数, 则 f ( x) ? 3 在 ?1,4? 上恒成立. 即 ? 3 ? f ( x) ? 3,? ?3 ? 1 ? x ? ax 2 ? 3,
?4? x 2? x ?a? 2 . 2 x x ?4 1 2 1 即 2 ? ? a ? 2 ? 在 x ? ?1,4? 上恒成立. x x x x ?4 1 2 1 ? ( 2 ? ) max ? a ? ( 2 ? ) min . x x x x



1 ?1 ? ? t , 则t ? ? ,1? , x ?4 ?

?1 ? ? (?4t 2 ? t ) max ? a ? (2t 2 ? t ) min , t ? ? ,1? . ?4 ? 1 1 ? 1? 令 g (t ) ? ?4t 2 ? t ,则 g (t ) ? ?4(t ? ) 2 ? ? ?? 5,? ? . 8 16 ? 2? 1 1 ? 1 ? 令 h(t ) ? 2t 2 ? t ,则 h(t ) ? 2(t ? ) 2 ? ? ?? ,1? . 4 8 ? 8 ?

?

? 1 1? 实数 a 的取值范围为 ?? ,? ?. ? 2 8?

(盐城二模)因客流量临时增大, 某鞋店拟用一个高为 50 ㎝(即 EF =50 ㎝)的平面镜自制一个竖 直摆放的简易鞋镜. 根据经验,一般顾客 AB 的眼睛 B 到地面的距离 x(cm) 在区间 [140,180] 内. 设支 架 FG 高为 h(0 ? h ? 90) ㎝, AG ? 100 ㎝, 顾客可视的镜像范围为 CD (如图所示), 记 CD 的长度 为 y ( y ? GD ? GC ). (1) 当 h ? 40 ㎝时, 试求 y 关于 x 的函数关系式和 y 的最大值; (2) 当顾客的鞋 A 在镜中的像 A1 满足不等关系 GC ? GA1 ? GD (不计鞋长)时, 称顾客可在镜中看 到自己的鞋. 若使一般顾客都能在镜中看到自己的鞋, 试求 h 的取值范围.
7 / 15

B

E F
·

A

G

C

A1 D

第 17 题

解: (1) 因为 FG ? 40 , AG ? 100 ,所以由

GC GC ? 100 4000 ,解得 GC ? , ? 40 x x ? 40 GD GD ? AG GD GD ? 100 9000 同理,由 ,即 , 解得 GC ? …………………………………2 分 ? ? EG AB 90 x x ? 90 9 4 x 所以 y ? GD ? GC ? 1000 ? ( ? ) ? 5000 ? 2 , x ? [140,180] ……… 5 分 x ? 90 x ? 40 x ? 130 x ? 3600
因为 y? ? 5000 ?

GC GC ? AG , ? FG AB



3600 ? x 2 ? 0 , 所以 y 在 [140,180] 上单调递减, ( x 2 ? 130 x ? 3600)2

故当 x ? 140 ㎝时, y 取得最大值为 140 ㎝………………………………………………………………8 分 另法: 可得 y ?

3600 5000 ? 130 在 [140,180] 上单调递增, , x ? [140,180] , 因为 x ? 3600 x x? ? 130 x

所以 y 在 [140,180] 上单调递减, 故当 x ? 140 ㎝时, y 取得最大值为 140 ㎝…………………………8 分 (2)由

GC GC ? 100 100h GD GD ? 100 100(h ? 50) , 得 GC ? ,由 , 得 GD ? , 所以由题 意知 ? ? h x x?h h ? 50 x x ? h ? 50 100h 100(h ? 50) GC ? A1G ? AG ? GD ,即 对 x ?[140,180] 恒成立……………………12 分 ? 100 ? x?h x ? h ? 50

x 140 ? ? ? h? 2 ? h ? 2 ? 70 ? ? 从而 ? 对 x ?[140,180] 恒成立,解得 ? ,故 h 的取值范围是 ? 40, 70 ? …14 分 ? h ? x ? 50 ?h ? 180 ? 50 ? 40 ? ? ? 2 ? 2
(注: 讲评时可说明, 第(2)题中 h 的范围与 AG 的长度无关, 即去掉题中 AG=100 ㎝的条件也可求解)

(盐城二模)

| x ? 2 a ?1| , f 2 ( x) ? e| x ?a|?1 , x ? R . 已知函数 f1 ( x) ? e

(1) 若 a ? 2 , 求 f (x) ? f1 ( x) + f 2 ( x) 在 x ? [2,3]上的最小值; (2) 若 x ? [a, ??) 时, f 2 ( x) ? f1 ( x) , 求 a 的取值范围; (3) 求函数 g ( x) ?

f1 ( x) ? f 2 ( x) | f1 ( x) ? f 2 ( x) | 在 x ? [1,6]上的最小值. ? 2 2
8 / 15

20.解:(1)因为 a ? 2 ,且 x ? [2,3],所以 f ( x) ? e

| x ?3|

? e| x ? 2|?1 ? e3? x ? e x ?1 ?

e3 e x e3 e x ? ? 2 x ? ? 2e , ex e e e

当且仅当 x=2 时取等号,所以 f ( x) 在 x ? [2,3]上的最小值为 3e …………………………………4 分 (2)由题意知,当 x ? [a, ??) 时, e
| x ? 2 a ?1|

? e|x?a|?1 ,即 | x ? 2a ? 1|?| x ? a | ?1 恒成立……………… 6 分
2

所以 | x ? 2a ? 1|? x ? a ? 1 ,即 2ax ? 3a ? 2a 对 x ? [a, ??) 恒成立, ,得所求 a 的取值范围是 0 ? a ? 2 ……………………………………………9 分 2 ?2a ? 3a ? 2a (3) 记 h1 ( x) ?| x ? (2a ? 1) |, h2 ( x) ?| x ? a | ?1 ,则 h1 ( x), h2 ( x) 的图象分别是以(2a-1,0)和(a,1)为顶点 则由 ?
2

?

2a ? 0

开口向上的 V 型线,且射线的斜率均为 ?1 . ①当 1 ? 2a ?1 ? 6 ,即 1 ? a ?

7 时,易知 g ( x) 在 x ? [1,6]上的最小值为 f1 (2a ? 1) ? e0 ? 1 ……10 分 2

②当 a<1 时,可知 2a-1<a,所以 (ⅰ)当 h1 (1) ? h2 (1) ,得 | a ? 1|? 1 ,即 0 ? a ? 1时, g ( x) 在 x ? [1,6]上的最小值为 f1 (1) ? e2? 2 a …11 分 (ⅱ)当 h1 (1) ? h2 (1) ,得 | a ? 1|? 1 ,即 a ? 0 时, g ( x) 在 x ? [1, 6]上的最小值为 f 2 (1) ? e 2? a ………12 分

7 时,因为 2a-1>a,可知 2a ?1 ? 6 , 2 7 (ⅰ)当 h1 (6) ? 1,得 | 2a ? 7 |? 1 ,即 ? a ? 4 时, g ( x) 在 x ? [1,6]上的最小值为 f1 (6) ? e2 a ?7 …13 分 2 (ⅱ)当 h1 (6) ? 1 且 a ? 6 时,即 4 ? a ? 6 , g ( x) 在 x ? [1, 6]上的最小值为 f 2 (a ) ? e1 ? e ………14 分
③当 a ? (ⅲ)当 a ? 6 时,因为 h1 (6) ? 2a ? 7 ? a ? 5 ? h2 (6) ,所以 g ( x) 在 x ? [1,6]上的最小值 为 f 2 (6) ? e a ?5 ………………………………………………………………………………………… 15 分

? e2?a ? 2? 2 a ?e ? ? 1 ? 综上所述, 函数 g ( x) 在 x ? [1,6]上的最小值为 ? ?e 2 a ? 7 ? ?e ? ? e a ?5 ?

a?0 0 ? a ?1 1? a ? 7 2 ………………………………16 分 7 ?a?4 2 4?a?6 a?6

9 / 15

(天一) 省环保研究所对市中心每天环境放 射性污染情况进行调查研究后, 发现一天中环境综合放射性污 x 2 染指数 f ? x ? 与时刻 x (时)的关系为 f ? x ? ? 2 ? a ? 2a ? , x ? ? 0, 24? ,其中 a 是与气象有关的参数, x ?1 3 1 且 a ? [0, ] ,若用每天 f ? x ? 的最大值为当天的综合放射性污染指数,并记作 M ? a ? . 2 x (1)令 t ? 2 , x ? ? 0, 24? ,求 t 的取值 范围; x ?1 (2)省政府规定,每天的综合放射性污染指数不得超过 2,试问目前市中心的综合放射性 污染指数是否超标? 17. 解: (1)当 x ? 0 时,t=0;

1 , ? 2 (当 x ? 1 时取等号) x x 1 ? 1? ? ? ? 0, ? , ∴t ? 2 x ?1 x ? 1 ? 2 ? x ? 1? 即 t 的取值范围是 ? 0, ? . ……………………4 分 ? 2? 2 ? 1? (2)当 a ? ?0, ? 时,记 g ? t ? ? t ? a ? 2a ? 3 ? 2? 2 ? ? ?t ? 3a ? 3 , 0 ? t ? a ? 则 g ?t ? ? ? ……………………6 分 2 1 ? t ? a ? ,a ? t ? ? 3 2 ? ? 1? ∵ g ? t ? 在 ? 0, a ? 上单调递减,在 ? a, ? 上单调递增, ? 2? 2 ?1? 7 1? ?1? ? 且 g ? 0 ? ? 3a ? , g ? ? ? a ? , g ? 0 ? ? g ? ? ? 2 ? a ? ? . 3 ?2? 6 4? ?2? ? ? ?1? 1 ? 7 1 ?g ? 2 ? , 0 ? a ? 4 ? a ? 6 , 0 ? a ? 4 ? ? ? ? ?? 故 M ?a? ? ? . ……………………12 分 ? g ? 0 ? , 1 ? a ? 1 ?3a ? 2 , 1 ? a ? 1 ? 3 4 2 ? ? 4 2 ? 4 ∴当且仅当 a ? 时, M ? a ? ? 2 . 9 4 4 1 故当 0 ? a ? 时不超标,当 ? a ? 时超标. ……………………14 分 9 9 2
当 0 ? x ? 24 时, x ?

(南京三模)17. (本小题满分 14 分) 在某次水下考古活动中,需要潜水员潜入水深为 30 米的水底进行作业.其用氧量包含 3 个方面:①下潜时,平

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均速度为 v (米/单位时间),单位时间内用氧量为 cv ( c 为正常数);②在水底作业需 5 个单位时间,每个单位时 间用氧量为 0.4;③返回水面时,平均速度为 活动中,总用氧量为 y . (1)将 y 表示为 v 的函数; (2)设 0< v ≤5,试确定下潜速度 v ,使总的用氧量最少.

2

v (米/单位时间), 单位时间用氧量为 0.2.记该潜水员在此次考古 2

(南通三模)如图,矩形 ABCD 中,AB=3,AD=2,一质点从 AB 边上的点 P0 出发,沿与 AB 的夹角为 ? 的 方向射到边 BC 上点 P 后,依次反射(入射角与反射角相等)到边 1 CD、DA 和 AB 上的 P2 、 P3 、 P4 处。 (1)若 P4 与 P0 重合,求 tan ? 的值; (2)若 P4 落在 A、 P0 两点之间,且 AP0 ? 2 。设 tan ? ? t ,将五 边形 P PP2 P P4 的面积 S 表示为 t 的函数,并求 S 的最大值。 0 1 3 分 析 : 为 了 刻 画 点 P0 , P , P2 , P3 , P4 位 置 , 设 P0 B ? x0 , 通 过 四 个 相 似 的 直 角 三 角 形 结 合 角 ? 表 示 1 A P4 P0 D P3 P1 B P2 C

(第 18 题)

P1 B, P1C , P2 C , P2 D, P3 D, P3 A, P4 A ,再由题意分别推算 tan? ?

2 和多边形的面积, 在得出多边形面积时用 3
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矩形面积减去四个直角三角形的面积. 解 : (1)设 P0 B ? x0 ,则 PB ? x0 tan ? , PC ? 2 ? x0 tan ? . 1 1

P2C ?

PC 2 ? x0 tan ? 2 2 1 = . ? ? x0 , P2 D ? 3 ? x0 ? tan ? tan ? tan ? tan ?

P D ? (3 ? x0 ) tan ? ? 2 , P3 A ? 4 ? (3 ? x0 ) tan ? , 3

AP4 ?

4 4 2 ? (3 ? x0 ) .由于 P4 与 P0 重合, AP4 ? P0 B ? 3 ,所以 ? 6 ,即 tan ? ? . tan ? tan ? 3 4 ? 4. tan ? 2 2 ? tan ? ? 1,即 ? t ? 1 . 3 3

(2)由(1) ,可知 AP4 ?

因为 P4 落在 A、P0 两点之间,所以

S=S 四边形 ABCD ? S?P0 BP1 ?S?PCP2 ? S?P2 DP3 ? S?P3 AP4 1
1 1 2 ? 1 ? 2 ? 1? ? 4 ? ? 6 ? tan ? ? (2 ? tan ? ) ? ? 1? ? ? 4 ? ? 4? ? (4 tan ? ? 2) ? (4 ? 4 tan ? ) ? 2 2 tan ? ? 2 ? tan ? ? 2? ? tan ? ? 24 ? 12 ? ? ? ? 58 ? ? 34 tan ? ? ? 32 ? ?17t ? ? . ? tan ? ? t ? ? ?

由于

12 ? 12 2 ? =32 ? 4 51 . ? t ? 1 ,所以 32 ? ?17t ? ? ≤ 32 ? 2 17t ? t ? t 3 ?

故 S 的最大值为 32 ? 4 51 .

(南通一模)将 52 名志愿者分成 A,B 两组参加义务植树活动,A 组种植 150 捆白杨树苗,B 组种植 200 捆沙棘树苗.假定 A,B 两组同时开始种植. (1)根据历年统计,每名志愿者种植一捆白杨树苗用时 2 小时,种植一捆沙棘树苗用时 1 小时.应如 2 5 何分配 A,B 两组的人数,使植树活动持续时间最短? (2)在按(1)分配的人数种植 1 小时后发现,每名志愿者种植一捆白杨树苗用时仍为 2 小时, 5 而每名志愿者种植一捆沙棘树苗实际用时 2 小时,于是从 A 组抽调 6 名志愿者加入 B 组继 3 续种植,求植树活动所持续的时间. 解: (1)设 A 组人数为 x ,且 0 ? x ? 52 , x ? N* ,
150 ? 2 5 ? 60 ; 则 A 组活动所需时间 f ( x) ? x x 200 ? 1 2 ? 100 . B 组活动所需时间 g ( x) ? 52 ? x 52 ? x

令 f ( x) ? g ( x) ,即 60 ? 100 ,解得 x ? 39 . 2 x 52 ? x
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所以两组同时开始的植树活动所需时间
? 60 , x≤19,x ? N*, ?x F ( x) ? ? ? 100 ,x≥20,x ? N* . ? 52 ? x

而 F (19) ? 60 , (20) ? 25 , 故 F (19) ? F (20) . F 19 8 所以当 A、B 两组人数分别为 20, 时,使植树活动持续时间最短. 32
150 ? 2 ? 20 ? 1 5 ? 3 6 (小时) (2)A 组所需时间为 1+ 20 ? 6 7 200 ? 2 ? 32 ? 1 3 ? 3 2 (小时) B 组所需时间为 1 ? , 32 ? 6 3

(南京一模)

对于函数 f ( x) ,若存在实数对( a, b ),使得等式 f (a ? x) ? f (a ? x) ? b 对定义域中的每

一个 x 都成立,则称函数 f ( x) 是“( a, b )型函数”. (1)判断函数 f ( x) ? 4 x 是否为“( a, b )型函数” ,并说明理由; (2)已知函数 g ( x) 是“(1,4)型函数”, 当 x ? [0, 2] 时,都有 1 ? g ( x) ? 3 成立,且当 x ? [0,1] 时,

g ( x) ? x 2 ?m( x ? 1) ? 1 (m ? 0) ,若,试求 m 的取值范围.
19.解: (1)函数 f ( x) ? 4 x 是“( a, b )型函数” 因为由 f (a ? x) ? f (a ? x) ? b ,得 16 ? b ,所以存在这样的实数对,如 a ? 1, b ? 16
a

4 ,其中 2 ? x ?[0,1] , g (2 ? x) m 2 2 而 x ? [0,1] 时, g ( x) ? x ? m(1 ? x) ? 1 ? x ? mx ? m ? 1 ? 0 ,且其对称轴方程为 x ? , 2 m ① 当 ? 1 ,即 m ? 2 时, g ( x) 在 [0,1] 上的值域为 [ g (1), g (0)] ,即 [2, m ? 1] ,则 g ( x) 在 [0, 2] 上的值 2 ?m ? 1 ? 3 4 4 ? 域为 [2, m ? 1] ? [ ,此时无解 , 2] ? [ , m ? 1] ,由题意得 ? 4 m ?1 m ?1 ?1 ? m ?1 ? 1 m m m2 ②当 ? ? 1 ,即 1 ? m ? 2 时, g ( x) 的值域为 [ g ( ), g (0)] ,即 [m ? 1 ? , m ? 1] ,所以则 g ( x) 在 4 2 2 2 4 ? ?3 2 ? m 4 4 m2 ? [0, 2] 上 的 值 域 为 [m ? 1 ? , m ? 1] ? [ , ] , 则 由 题 意 得 ? m ?1? 且 m2 4 4 m ?1 ? m ?1? ? 4 ? m ?1 ? 3
(2) 由题意得, g (1 ? x) g (1 ? x) ? 4 ,所以当 x ? [1, 2] 时, g ( x) ?

? m2 ?1 ?m ? 1 ? ? 4 ,解得 1 ? m ? 2 ? 4 ? ?1 ? m ?1 ?

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③ 当0?

m 1 m m2 ? ,即 0 ? m ? 1 时, g ( x) 的值域为 [ g ( ), g (1)] ,即 [m ? 1 ? , 2] ,则 g ( x) 在 [0, 2] 上 4 2 2 2 m2 4 m2 4 的值域为 [m ? 1 ? , 2] ? [2, ] = [m ? 1 ? , ], 2 m m2 4 4 m ?1? m ?1? 4 4 2 ? m ?1 ? m ?1? 4 ? 2 6 则? ,解得 2 ? ? m ?1. 4 3 ?3 2 ? m ? m ?1? ? 4 2 6 综上所述,所求 m 的取值范围是 2 ? ?m?2 3

(苏州期末)已知函数 f ( x) ?| x ? m | 和函数 g ( x) ? x | x ? m | ? m ? 7m .
2

(1) 若方程 f ( x) ?| m | 在 [4, ??) 上有两个不同的解,求实数 m 的取值范围; (2) 若对任意 x1 ? (??, 4] ,均存在 x2 ? [3, ??) ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立,求实数 m 的取值范围.

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