nbhkdz.com冰点文库

2016年北京市高考数学试卷(理科)


2016 年北京市高考数学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一.选择题(共 8 小题) 1. (2016?北京)已知集合 A={x||x|<2},B={﹣1,0,1,2,3},则 A∩B=( ) A.{0,1} B.{0,1,2} C.{﹣1,0,1} D.{﹣1,0,1,2} 【考点】交集及其运算. 【专题】计算题;转化思想;综合法;集合. 【分

析】先求出集合 A 和 B,由此利用交集的定义能求出 A∩B. 【解答】解:∵集合 A={x||x|<2}={x|﹣2<x<2}, B={﹣1,0,1,2,3}, ∴A∩B={﹣1,0,1}. 故选:C. 【点评】本题考查交集的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意交集定义的合理运用.

2. (2016?北京)若 x,y 满足

,则 2x+y 的最大值为(



A.0 B.3 C.4 D.5 【考点】简单线性规划. 【专题】计算题;规律型;数形结合;函数思想;转化思想. 【分析】作出不等式组对应的平面区域,目标函数的几何意义是直线的纵截距,利用数形结 合即可求 z 的取值范围.

【解答】解:作出不等式组

对应的平面区域如图: (阴影部分) .

设 z=2x+y 得 y=﹣2x+z, 平移直线 y=﹣2x+z, 由图象可知当直线 y=﹣2x+z 经过点 A 时,直线 y=﹣2x+z 的截距最大, 此时 z 最大. 由 ,解得 ,即 A(1,2) ,

代入目标函数 z=2x+y 得 z=1×2+2=4. 即目标函数 z=2x+y 的最大值为 4. 故选:C.

第 1 页(共 15 页)

【点评】本题主要考查线性规划的应用,利用目标函数的几何意义,结合数形结合的数学思 想是解决此类问题的基本方法. 3. (2016?北京)执行如图所示的程序框图,若输入的 a 值为 1,则输出的 k 值为( )

A.1 B.2 C.3 D.4 【考点】程序框图. 【专题】计算题;操作型;算法和程序框图. 【分析】根据已知的程序框图可得,该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的值, 模拟程序的运行过程,可得答案. 【解答】解:输入的 a 值为 1,则 b=1, 第一次执行循环体后,a=﹣ ,不满足退出循环的条件,k=1; 第二次执行循环体后,a=﹣2,不满足退出循环的条件,k=2; 第三次执行循环体后,a=1,满足退出循环的条件, 故输出的 k 值为 2, 故选:B

第 2 页(共 15 页)

【点评】本题考查的知识点是程序框图,当循环次数不多,或有规律可循时,可采用模拟程 序法进行解答.

4. (2016?北京)设 , 是向量,则“| |=| |”是“| + |=| ﹣ |”的(



A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【考点】充要条件;向量的模. 【专题】转化思想;平面向量及应用;矩阵和变换. 【分析】根据向量模相等的几何意义,结合充要条件的定义,可得答案. 【解答】解:若“| |=| |”,则以 , 为邻边的平行四边形是菱形; 若“| + |=| ﹣ |”,则以 , 为邻边的平行四边形是矩形; 故“| |=| |”是“| + |=| ﹣ |”的既不充分也不必要条件; 故选:D. 【点评】本题考查的知识点是充要条件,向量的模,分析出“| |=| |”与“| + |=| ﹣ |”表示 的几何意义,是解答的关键. 5. (2016?北京)已知 x,y∈R,且 x>y>0,则(
x y



A. ﹣ >0 B.sinx﹣siny>0 C. ( ) ﹣( ) <0 D.lnx+lny>0 【考点】不等关系与不等式. 【专题】转化思想;函数的性质及应用;不等式. 【分析】x,y∈R,且 x>y>0,可得: ,sinx 与 siny 的大小关系不确定, <

,lnx+lny 与 0 的大小关系不确定,即可判断出结论. 【解答】解:∵x,y∈R,且 x>y>0,则 < ,即 ﹣ ,sinx 与 siny 的大小关系不确定,

<0,lnx+lny 与 0 的大小关系不确定.

故选:C. 【点评】本题考查了不等式的性质、函数的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于中档 题. 6. (2016?北京)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为( )

第 3 页(共 15 页)

A.

B.

C.

D.1

【考点】由三视图求面积、体积. 【专题】计算题;空间位置关系与距离;立体几何. 【分析】 由已知中的三视图可得: 该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥, 进而可得答案. 【解答】解:由已知中的三视图可得:该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥, 棱锥的底面面积 S= ×1×1= , 高为 1, 故棱锥的体积 V= = ,

故选:A 【点评】本题考查的知识点是由三视图,求体积和表面积,根据已知的三视图,判断几何体 的形状是解答的关键.

7. (2016?北京)将函数 y=sin(2x﹣

)图象上的点 P(

,t)向左平移 s(s>0)个单 )

位长度得到点 P′,若 P′位于函数 y=sin2x 的图象上,则( A.t= ,s 的最小值为 C.t= ,s 的最小值为 B.t= D.t= ,s 的最小值为 ,s 的最小值为

【考点】函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 【专题】转化思想;转化法;三角函数的图像与性质. 【分析】将 x= 代入得:t= ,进而求出平移后 P′的坐标,进而得到 s 的最小值. 代入得:t=sin = ,

【解答】解:将 x= 将函数 y=sin(2x﹣ 得到 P′(

)图象上的点 P 向左平移 s 个单位,

﹣s, )点,

若 P′位于函数 y=sin2x 的图象上,
第 4 页(共 15 页)

则 sin( 则 2s= 则 s=

﹣2s)=cos2s= , +2kπ,k∈Z, +kπ,k∈Z, ,

由 s>0 得:当 k=0 时,s 的最小值为

故选:A. 【点评】本题考查的知识点是函数 y=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0)的图象和性质,难度中 档. 8. (2016?北京)袋中装有偶数个球,其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每 次从袋中任意取出两个球,将其中一个球放入甲盒,如果这个球是红球,就将另一个放入乙 盒,否则就放入丙盒.重复上述过程,直到袋中所有球都被放入盒中,则( ) A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 C.乙盒中红球不多于丙盒中红球 D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多 【考点】进行简单的演绎推理. 【专题】推理和证明. 【分析】分析理解题意:乙中放红球,则甲中也肯定是放红球;往丙中放球的前提是放入甲 中的不是红球,据此可以从乙中的红球个数为切入点进行分析. 【解答】解:取两个球共有 4 种情况: ①红+红,则乙盒中红球数加 1 个; ②黑+黑,则丙盒中黑球数加 1 个; ③红+黑(红球放入甲盒中) ,则乙盒中黑球数加 1 个; ④黑+红(黑球放入甲盒中) ,则丙盒中红球数加 1 个. 设一共有球 2a 个,则 a 个红球,a 个黑球,甲中球的总个数为 a,其中红球 x 个,黑球 y 个, x+y=a. 则乙中有 x 个球,其中 k 个红球,j 个黑球,k+j=x; 丙中有 y 个球,其中 l 个红球,i 个黑球,i+l=y; 黑球总数 a=y+i+j,又 x+y=a,故 x=i+j 由于 x=k+j,所以可得 i=k,即乙中的红球等于丙中的黑球. 故选 B. 【点评】该题考查了推理与证明,重点是找到切入点逐步进行分析,对学生的逻辑思维能力 有一定要求,中档题 二.填空题(共 6 小题) 9. (2016?北京)设 a∈R,若复数(1+i) (a+i)在复平面内对应的点位于实轴上,则 a= ﹣ 1 . 【考点】复数的代数表示法及其几何意义. 【专题】计算题;转化思想;转化法;数系的扩充和复数. 【分析】 (1+i) (a+i)=a﹣1+(a+1)i,则 a+1=0,解得答案.
第 5 页(共 15 页)

【解答】解: (1+i) (a+i)=a﹣1+(a+1)i, 若复数(1+i) (a+i)在复平面内对应的点位于实轴上, 则 a+1=0, 解得:a=﹣1, 故答案为:﹣1 【点评】本题考查的知识点是复数的代数表示法及其几何意义,难度不大,属于基础题. 10. (2016?北京)在(1﹣2x) 的展开式中,x 的系数为 60 . (用数字作答) 【考点】二项式定理的应用. 【专题】方程思想;转化思想;二项式定理. 【分析】利用二项式定理展开式的通项公式即可得出. 【解答】解: (1﹣2x) 的展开式中,通项公式 Tr+1= 令 r=2,则 x 的系数=
2 6 6 2

(﹣2x) =(﹣2)

r

r

x,

r

=60.

故答案为:60. 【点评】本题考查了二项式定理的应用,考查了推理能力与计算能力,属于基础题. 11. (2016?北京) 在极坐标系中, 直线 ρcosθ﹣ ρsinθ﹣1=0 与圆 ρ=2cosθ 交于 A, B 两点, 则|AB|= 2 . 【考点】简单曲线的极坐标方程. 【专题】计算题;方程思想;综合法;直线与圆. 【分析】把圆与直线的极坐标方程化为直角坐标方程,利用圆心 C 在直线上可得|AB|. 【解答】解:直线 ρcosθ﹣ ρsinθ﹣1=0 化为 y 直线 x﹣ y﹣1=0. 2 2 2 2 2 圆 ρ=2cosθ 化为 ρ =2ρcosθ,∴x +y =2x,配方为(x﹣1) +y =1,可得圆心 C(1,0) ,半 径 r=1. 则圆心 C 在直线上,∴|AB|=2. 故答案为:2. 【点评】本题考查了把圆与直线的极坐标方程化为直角坐标方程,考查了计算能力,属于基 础题. 12. (2016?北京)已知{an}为等差数列,Sn 为其前 n 项和.若 a1=6,a3+a5=0,则 S6= 6 . 【考点】等差数列的前 n 项和. 【专题】计算题;转化思想;综合法;等差数列与等比数列. 【分析】 由已知条件利用等差数列的性质求出公差, 由此利用等差数列的前 n 项和公式能求 出 S6. 【解答】解:∵{an}为等差数列,Sn 为其前 n 项和. a1=6,a3+a5=0, ∴a1+2d+a1+4d=0, ∴12+6d=0, 解得 d=﹣2, ∴S6= 故答案为:6.
第 6 页(共 15 页)

=36﹣30=6.

【点评】本题考查等差数列的前 6 项和的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意等差数 列的性质的合理运用.

13. (2016?北京)双曲线



=1(a>0,b>0)的渐近线为正方形 OABC 的边 OA,OC

所在的直线,点 B 为该双曲线的焦点.若正方形 OABC 的边长为 2,则 a= 2 . 【考点】双曲线的简单性质. 【专题】转化思想;定义法;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】根据双曲线渐近线在正方形的两个边,得到双曲线的渐近线互相垂直,即双曲线是 等轴双曲线,结合等轴双曲线的性质进行求解即可. 【解答】解:∵双曲线的渐近线为正方形 OABC 的边 OA,OC 所在的直线, ∴渐近线互相垂直,则双曲线为等轴双曲线,即渐近线方程为 y=±x, 即 a=b, ∵正方形 OABC 的边长为 2, ∴OB=2 ,即 c=2 , 2 2 2 则 a +b =c =8, 2 即 2a =8, 2 则 a =4,a=2, 故答案为:2

【点评】 本题主要考查双曲线的性质的应用, 根据双曲线渐近线垂直关系得到双曲线是等轴 双曲线是解决本题的关键.

14. (2016?北京)设函数 f(x)=



①若 a=0,则 f(x)的最大值为 2 ; ②若 f(x)无最大值,则实数 a 的取值范围是 (﹣∞,﹣1) . 【考点】分段函数的应用. 【专题】转化思想;转化法;函数的性质及应用. 【分析】①将 a=0 代入,求出函数的导数,分析函数的单调性,可得当 x=﹣1 时,f(x) 的最大值为 2;

第 7 页(共 15 页)

②若 f(x)无最大值,则

,或

,解得答案.

【解答】解:①若 a=0,则 f(x)=



则 f′(x)=



当 x<﹣1 时,f′(x)>0,此时函数为增函数, 当 x>﹣1 时,f′(x)<0,此时函数为减函数, 故当 x=﹣1 时,f(x)的最大值为 2; ②f′(x)= 令 f′(x)=0,则 x=±1, ,

若 f(x)无最大值,则

,或



解得:a∈(﹣∞,﹣1) . 故答案为:2, (﹣∞,﹣1) 【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用,函数的最值,分类讨论思想,难度中档. 三.解答题(共 6 小题) 2 2 2 15. (2016?北京)在△ ABC 中,a +c =b + ac. (Ⅰ)求∠B 的大小; (Ⅱ)求 cosA+cosC 的最大值. 【考点】解三角形的实际应用. 【专题】计算题;转化思想;转化法;解三角形. 【分析】 (Ⅰ)根据已知和余弦定理,可得 cosB= (Ⅱ)由(I)得:C= ,进而得到答案; cosA+cosC 的最大

﹣A,结合正弦型函数的图象和性质,可得

值. 2 2 2 【解答】解: (Ⅰ)∵在△ ABC 中,a +c =b + 2 2 2 ∴a +c ﹣b = ac. ∴cosB= ∴B= = = ,

ac.

第 8 页(共 15 页)

(Ⅱ)由(I)得:C= ∴ = = cosA+cosC= cosA﹣ cosA+

﹣A, ﹣A)

cosA+cos( sinA

cosA+ sinA ) . ) , ,π) ,

=sin(A+ ∵A∈(0, ∴A+ 故当 A+ ∈(

=

时,sin(A+

)取最大值 1,

即 cosA+cosC 的最大值为 1. 【点评】 本题考查的知识点是余弦定理, 和差角公式, 正弦型函数的图象和性质, 难度中档. 16. (2016?北京)A,B,C 三个班共有 100 名学生,为调查他们的体育锻炼情况,通过分 层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间,数据如表(单位:小时) : 6 6.5 7 7.5 8 A班 6 7 8 9 10 11 12 B班 3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5 C班 (Ⅰ)试估计 C 班的学生人数; (Ⅱ)从 A 班和 C 班抽出的学生中,各随机选取一个人,A 班选出的人记为甲,C 班选出 的人记为乙. 假设所有学生的锻炼时间相对独立, 求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的 概率; (Ⅲ)再从 A,B,C 三班中各随机抽取一名学生,他们该周锻炼时间分别是 7,9,8.25(单 位:小时) ,这 3 个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为 μ1,表格中数据的平 均数记为 μ0,试判断 μ0 和 μ1 的大小. (结论不要求证明) 【考点】古典概型及其概率计算公式;用样本的频率分布估计总体分布. 【专题】计算题;定义法;概率与统计. 【分析】 (I)由已知先计算出抽样比,进而可估计 C 班的学生人数; (Ⅱ)根据古典概型概率计算公式,可求出该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率; (Ⅲ)根据平均数的定义,可判断出 μ0>μ1. 【解答】解: (I)由题意得:三个班共抽取 20 个学生,其中 C 班抽取 8 个, 故抽样比 K= = ,

故 C 班有学生 8÷ =40 人, (Ⅱ)从从 A 班和 C 班抽出的学生中,各随机选取一个人, 共有 5×8=40 种情况, 而且这些情况是等可能发生的,
第 9 页(共 15 页)

当甲锻炼时间为 6 时,甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有 2 种情况; 当甲锻炼时间为 6.5 时,甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有 3 种情况; 当甲锻炼时间为 7 时,甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有 3 种情况; 当甲锻炼时间为 7.5 时,甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有 3 种情况; 当甲锻炼时间为 8 时,甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有 4 种情况; 故周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率 P= = ;

(Ⅲ)μ0>μ1. 【点评】本题考查的知识点是用样本的频率分布估计总体分布,古典概型,难度中档. 17. (2016?北京) 如图, 在四棱锥 P﹣ABCD 中, 平面 PAD⊥平面 ABCD, PA⊥PD, PA=PD, AB⊥AD,AB=1,AD=2,AC=CD= . (Ⅰ)求证:PD⊥平面 PAB; (Ⅱ)求直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值; (Ⅲ)在棱 PA 上是否存在点 M,使得 BM∥平面 PCD?若存在,求 说明理由. 的值,若不存在,

【考点】空间中直线与平面之间的位置关系. 【专题】综合题;转化思想;综合法;立体几何. 【分析】 (Ⅰ)由已知结合面面垂直的性质可得 AB⊥平面 PAD,进一步得到 AB⊥PD,再 由 PD⊥PA,由线面垂直的判定得到 PD⊥平面 PAB; (Ⅱ)取 AD 中点为 O,连接 CO,PO,由已知可得 CO⊥AD,PO⊥AD.以 O 为坐标原点, 建立空间直角坐标系,求得 P(0,0,1) ,B(1,1,0) ,D(0,﹣1,0) ,C(2,0,0) , 进一步求出向量 的坐标,再求出平面 PCD 的法向量 ,设 PB 与平面 PCD 的

夹角为 θ,由 正弦值; (Ⅲ)假设存在 M 点使得 BM∥平面 PCD,设 M(0,1﹣λ,λ) , ,由此列式求得当

求得直线 PB 与平面 PCD 所成角的

,M(0,y1,z1) ,由

可得

,由 BM∥平面 PCD,可得 时,M 点即为所求.
第 10 页(共 15 页)

【解答】 (Ⅰ)证明:∵平面 PAD⊥平面 ABCD,且平面 PAD∩平面 ABCD=AD, 且 AB⊥AD,AB?平面 ABCD, ∴AB⊥平面 PAD, ∵PD?平面 PAD, ∴AB⊥PD, 又 PD⊥PA,且 PA∩AB=A, ∴PD⊥平面 PAB; (Ⅱ)解:取 AD 中点为 O,连接 CO,PO, ∵CD=AC= , ∴CO⊥AD, 又∵PA=PD, ∴PO⊥AD. 以 O 为坐标原点,建立空间直角坐标系如图: 则 P(0,0,1) ,B(1,1,0) ,D(0,﹣1,0) ,C(2,0,0) , 则 , 设 为平面 PCD 的法向量, ,

则由

,得

,则



设 PB 与平面 PCD 的夹角为 θ,则

=



(Ⅲ)解:假设存在 M 点使得 BM∥平面 PCD,设 由(Ⅱ)知,A(0,1,0) ,P(0,0,1) , , 则有 ∴ ∵BM∥平面 PCD, ∴ ,即 ,解得 ,可得 M(0,1﹣λ,λ) , ,

,M(0,y1,z1) , ,B(1,1,0) ,

为平面 PCD 的法向量, .

综上,存在点 M,即当

时,M 点即为所求.
第 11 页(共 15 页)

【点评】本题考查线面垂直的判定,考查了直线与平面所成的角,训练了存在性问题的求解 方法,建系利用空间向量求解降低了问题的难度,属中档题. 18. (2016?北京)设函数 f(x)=xe +bx,曲线 y=f(x)在点(2,f(2) )处的切线方程 为 y=(e﹣1)x+4, (Ⅰ)求 a,b 的值; (Ⅱ)求 f(x)的单调区间. 【考点】利用导数研究函数的单调性. 【专题】函数思想;转化思想;转化法;导数的概念及应用. 【分析】 (Ⅰ)求函数的导数,根据导数的几何意义求出函数的切线斜率以及 f(2) ,建立 方程组关系即可求 a,b 的值; (Ⅱ)求函数的导数,利用函数单调性和导数之间的关系即可求 f(x)的单调区间. 【解答】解: (Ⅰ)∵y=f(x)在点(2,f(2) )处的切线方程为 y=(e﹣1)x+4, ∴当 x=2 时,y=2(e﹣1)+4=2e+2,即 f(2)=2e+2, 同时 f′(2)=e﹣1, ∵f(x)=xe +bx, a﹣x a﹣x ∴f′(x)=e ﹣xe +b, 则 即 a=2,b=e; (Ⅱ)∵a=2,b=e; ∴f(x)=xe +ex, 2﹣x 2﹣x 2﹣x ∴f′(x)=e ﹣xe +e=(1﹣x)e +e, 2﹣x 2﹣x 2﹣x f″(x)=﹣e ﹣(1﹣x)e =(x﹣2)e , 由 f″(x)>0 得 x>2,由 f″(x)<0 得 x<2, 即当 x=2 时,f′(x)取得极小值 f′(2)=(1﹣2)e +e=e﹣1>0, ∴f′(x)>0 恒成立, 即函数 f(x)是增函数, 即 f(x)的单调区间是(﹣∞,+∞) . 【点评】本题主要考查导数的应用,根据导数的几何意义,结合切线斜率建立方程关系以及 利用函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键.综合性较强.
2﹣2 2﹣x a﹣x a﹣x



第 12 页(共 15 页)

19. (2016?北京)已知椭圆 C:

+

=1(a>0,b>0)的离心率为

,A(a,0) ,B(0,

b) ,O(0,0) ,△ OAB 的面积为 1. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设 P 是椭圆 C 上一点,直线 PA 与 y 轴交于点 M,直线 PB 与 x 轴交于点 N.求证: |AN|?|BM|为定值. 【考点】直线与椭圆的位置关系. 【专题】方程思想;分析法;直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】 (Ⅰ)运用椭圆的离心率公式和三角形的面积公式,结合 a,b,c 的关系,解方程 可得 a=2,b=1,进而得到椭圆方程; (Ⅱ)方法一、设椭圆上点 P(x0,y0) ,可得 x0 +4y0 =4,求出直线 PA 的方程,令 x=0, 求得 y,|BM|;求出直线 PB 的方程,令 y=0,可得 x,|AN|,化简整理,即可得到|AN|?|BM| 为定值 4. 方法二、设 P(2cosθ,sinθ) , (0≤θ<2π) ,求出直线 PA 的方程,令 x=0,求得 y,|BM|; 求出直线 PB 的方程,令 y=0,可得 x,|AN|,运用同角的平方关系,化简整理,即可得到 |AN|?|BM|为定值 4. 【解答】解: (Ⅰ)由题意可得 e= = 又△ OAB 的面积为 1,可得 ab=1, 且 a ﹣b =c , 解得 a=2,b=1,c= 可得椭圆 C 的方程为
2 2 2 2 2



, +y =1;
2

(Ⅱ)证法一:设椭圆上点 P(x0,y0) , 2 2 可得 x0 +4y0 =4, 直线 PA:y= (x﹣2) ,令 x=0,可得 y=﹣ ,

则|BM|=|1+

|;

直线 PB:y=

x+1,令 y=0,可得 x=﹣



则|AN|=|2+

|.

可得|AN|?|BM|=|2+

|?|1+

|

第 13 页(共 15 页)

=|

|=|

|

=|

|=4,

即有|AN|?|BM|为定值 4. 证法二:设 P(2cosθ,sinθ) , (0≤θ<2π) , 直线 PA:y= 则|BM|=| 直线 PB:y= 则|AN|=| 即有|AN|?|BM|=| (x﹣2) ,令 x=0,可得 y=﹣ |; x+1,令 y=0,可得 x=﹣ |. |?| | , ,

=2| =2| |=4.

|

则|AN|?|BM|为定值 4. 【点评】本题考查椭圆的方程的求法,注意运用椭圆的离心率和基本量的关系,考查线段积 的定值的求法,注意运用直线方程和点满足椭圆方程,考查化解在合理的运算能力,属于中 档题. 20. (2016?北京)设数列 A:a1,a2,…,aN (N≥2) .如果对小于 n(2≤n≤N)的每个正整 数 k 都有 ak<an,则称 n 是数列 A 的一个“G 时刻”,记 G(A)是数列 A 的所有“G 时刻”组 成的集合. (Ⅰ)对数列 A:﹣2,2,﹣1,1,3,写出 G(A)的所有元素; (Ⅱ)证明:若数列 A 中存在 an 使得 an>a1,则 G(A)≠?; (Ⅲ)证明:若数列 A 满足 an﹣an﹣1≤1(n=2,3,…,N) ,则 G(A)的元素个数不小于 aN ﹣a1. 【考点】数列与函数的综合;数学归纳法. 【专题】新定义;点列、递归数列与数学归纳法. 【分析】 (Ⅰ)结合“G 时刻”的定义进行分析; (Ⅱ)可以采用假设法和递推法进行分析; (Ⅲ)可以采用假设法和列举法进行分析. 【解答】解: (Ⅰ)根据题干可得,a1=﹣2,a2=2,a3=﹣1,a4=1,a5=3,a1<a2 满足条件, 2 满足条件,a2>a3 不满足条件,3 不满足条件, a2>a4 不满足条件,4 不满足条件,a1,a2,a3,a4,均小于 a5,因此 5 满足条件,因此 G (A)={2,5}.
第 14 页(共 15 页)

(Ⅱ)因为存在 an>a1,设数列 A 中第一个大于 a1 的项为 ak,则 ak>a1≥ai,其中 2≤i≤k﹣1, 所以 k∈G(A) ,G(A)≠?; (Ⅲ)设 A 数列的所有“G 时刻”为 i1<i2<L<ik, 对于第一个“G 时刻”i1,有 ﹣ai≤ ﹣ ≤1. > ≥ai(i=2,3,L,i1﹣1) ,则 >a1≥ai(i=2,3,L,i1﹣1) ,则

对于第二个“G 时刻”i1,有 ﹣ 类似的 ≤ ﹣ ﹣ ≤1,…, ﹣

≤1. ﹣ ≤ 1. ﹣ )+L+( ﹣ )+( ﹣a1)= ﹣

于是,k≥( a1.

)+(

对于 aN,若 N∈G(A) ,则 若 N?G(A) ,则 aN≤ 个“G 时刻”矛盾. 从而 k≥ ﹣a1≥aN﹣a1.

=aN. , ,L,aN,中存在“G 时刻”与只有 k

,否则由(2)知

【点评】本题属于新定义题型,重点在于对“G 时刻”定义的把握,难度较大.

第 15 页(共 15 页)


2016年北京市高考数学试卷(理科)

2016 年北京市高考数学试卷(理科)一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目 要求的一项. 1. (5 分) (2016...

2016年北京市高考数学试卷 理科 解析

2016 年北京市高考数学试卷(理科)一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目 要求的一项. 1. (5 分) (2016...

2016年北京理数高考试题(含答案)

2016年北京理数高考试题(含答案)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2016年北京理数高考试题(含答案) 学好数学的唯一办法就是做数学 李龙飞老师 18210538958 2016 ...

2016年北京理科数学高考试题及答案

2016年北京理科数学高考试题及答案_高考_高中教育_教育专区。2016 年普通高等学校招生全国统一考试 数学(理) (北京卷)试卷共 5 页,150 分.考试时长 120 分钟...

2016年北京高考数学理科试题(Word版)

2016年北京高考数学理科试题(Word版)_高考_高中教育_教育专区。2016 年普通高等学校招生全国统一考试 数学(理) (北京卷)第一部分(选择题共 40 分) 一、选择题...

2016年北京高考数学(理)试卷

2016年北京高考数学(理)试卷_高考_高中教育_教育专区。2016 年普通高等学校招生全国统一考试 数学(理) (北京卷)试卷共 5 页,150 分.考试时长 120 分钟。...

2016年高考真题-理科数学(北京卷)及答案

2016年高考真题-理科数学(北京卷)及答案_高考_高中教育_教育专区。2016年北京高考数学卷(理科),1财富值 ? 2016 年高考北京数学卷(理科) 单选题 本大题共 8 ...

2016年高考真题——理科数学(北京卷)正式版 Word版含解析

2016年高考真题——理科数学(北京卷)正式版 Word版含解析_高考_高中教育_教育专区。本试卷共 5 页,150 分.考试时长 120 分钟.考生务必将答案答在答题卡上,在...

2016年北京市高考数学试卷(理科)

2016 年北京市高考数学试卷(理科)一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要 求的一项. 1.(★★★)已知集...