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山东省2016届高三3月模拟数学理试题分类汇编:圆锥曲线


山东省 2016 届高三 3 月模拟数学理试题分类汇编 圆锥曲线
一、选择、填空题 1、(滨州市 2016 高三 3 月模拟)已知椭圆 C1 :

x2 y 2 y2 2 ? ? 1 a ? b ? 0 C : x ? ?1有 与双曲线 ? ? 2 a 2 b2 4

相同的焦点, C2 的一条渐近线与以 C1 的长轴为直径的圆相

交于 A,B 两点,若 C1 恰好将线段 AB 三 等分,则 (A) a ?
2

13 2

(B) a ? 13
2

(C) b ?
2

1 2

(D) b ? 2
2

2、(德州市 2016 高三 3 月模拟)已知双曲线与椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的焦点重合,它们的离心率之和为 25 9

14 ,则双曲线的渐近线方程为 5
A、 y ? ?

3 x 3

B、 y ? ?

5 x 3

C、 y ? ?

3 x 5

D、 y ? ? 3x

3 、 ( 菏 泽 市 2016 高 三 3 月 模 拟 ) 点 A 是 抛 物 线 C1 : y2 ? 2 px( p ? 0) 于 双 曲 线

C2 :

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线的一个交点, 若点 A 到抛物线 C1 的焦点的距离为 p , 则 a 2 b2


双曲线 C2 的离心率等于( A.

6

B.

5

C.

3

D.

2
x2 y 2 ? ? 1 ,双曲线 C2 的方程 a 2 b2

4、(济宁市 2016 高三 3 月模拟)已知 a ? b ? 0 ,椭圆 C1 的方程为



y 2 x2 3 ? 2 ? 1, C1与C2 的离心率之积为 ,则 C2 的渐近线方程为 2 a b 2

A.

2x ? y ? 0 B. x ? 2 y ? 0
D. x ? 2 y ? 0

C. 2 x ? y ? 0

5、 (临沂市 2016 高三 3 月模拟)设双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两条渐近线分别 l1 , l2 ,右焦 a 2 b2

点 F 。若点 F 关于直线 l1 的对称点 M 在 l2 上则双曲线的离心率为

A.

3

B.

2

C.

3

D. 2

6、(青岛市 2016 高三 3 月模拟)已知点 F1,F2 为双曲线 C: 2 ?

x2 a

y2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的左,右焦 b2

o 点,点 P 在双曲线 C 的右支上,且满足 PF2 ? F 1F 2 , ?F 1F 2 P ? 120 ,则双曲线的离心率为

A.

3 ?1 2

B.

5 ?1 2

C.

3

D.

5
x2 y 2 ? ? 1 相交于 A,B 两点, a 2 16

7、 (日照市 2016 高三 3 月模拟)已知抛物线 y 2 ? 8x 的准线与双曲线 点 F 为抛物线的焦点, ?ABF 为直角三角形,则双曲线的离心率为 A.3 B.2 C.

6

D.

3

8、(泰安市 2016 高三 3 月模拟)已知点 Q ?2 2, 0 及抛物线 x2 ? ?4 y 上一动点 P ? x, y ? ,则

?

?

y ? PQ 的最小值是
A.

1 2

B.1

C.2

D.3

9、(潍坊市 2016 高三 3 月模拟)已知双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的左、右焦点与虚轴的 a 2 b2

一个端点构成一个角为 120°的三角形,则双曲线 C 的离心率为 A.

5 2

B.

6 2

C.

3

D.

5

x2 y 2 10、 (烟台市 2016 高三 3 月模拟) .已知双曲线 2 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的右焦点 F 是抛物线 y 2 ? 8x a b
的焦点,两曲线的一个公共交点为 P,且 PF ? 5 ,则该双曲线的离心率为

11、(枣庄市 2016 高三 3 月模拟)在平面直角坐标系 xoy 中,双曲线 C1 :

x2 y 2 ? ? 1 的渐近线与 a 2 b2

x2 y 2 椭圆 C2 : 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 交于第一、 二象限内的两点分别为 A, B ,若 ?OAB 的外接圆的圆 a b
心为 0, 2a ,则双曲线 C1 的离心率为

?

?

.

12、(淄博市 2016 高三 3 月模拟)已知双曲线

y 2 x2 ? ? 1 的一个焦点与抛物线 x 2 ? 12 y 的焦点相 5 m

同,则此双曲线的渐进线方程为 A. y ? ?

5 x 5

B. y ? ?

2 5 5 x C. y ? ? x 5 2

D. y ? ? 5x

13、(济南市 2016 高三 3 月模拟)过点(0,3b)的直线 l 与双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一条 a 2 b2

斜率为正值的渐近线平行,若双曲线 C 的右支上的点到直线 l 的距离恒大于 b,则双曲线 C 的离心 率的最大值是__

参考答案: 1、C 2、D 6、A 7、A 11、 6 ? 2

3、B 8、C 12、C

4、A 9、B 13、3

5、B 10、2

二、解答题 1、(滨州市 2016 高三 3 月模拟) 已知动圆 M 过定点 F ? 0, ?1? ,且与直线 y ? 1 相切,圆心 M 的 轨迹为曲线 C,设 P 为直线 l : x ? y ? 2 ? 0 上的点,过点 P 作曲线 C 的两条切线 PA,PB,其中 A,B 为切点. (Ⅰ)求曲线 C 的方程; (Ⅱ)当点 P ? x0 , y0 ? 为直线 l 上的定点时,求直线 AB 的方程; (Ⅲ)当点 P 在直线 l 上移动时,求 AF ?BF 的最小值.

2、(德州市 2016 高三 3 月模拟)已知抛物线 E: y ? 2 px( p ? 0) 的准线与 x 轴交于点 K,过点 K
2

作圆 ( x ? 5)2 ? y 2 ? 9 的两条切线,切点为 M,N,|MN|=3 3 (I)求抛物线 E 的方程;

OB ? (II)设 A,B 是抛物线 E 上分别位于 x 轴两侧的两个动点,且 OA?

??? ? ??? ?

9 (其中 O 为坐标原点)。 4

(1)求证:直线 AB 必过定点,并求出该定点 Q 的坐标; (2)过点 Q 作 AB 的垂线与抛物线交于 G,D 两点,求四边形 AGBD 面积的最小值。

x2 y 2 3、(菏泽市 2016 高三 3 月模拟)在平面直角坐标系 xoy 中,椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离 a b
心率为

3 4 10 ,直线 y ? x 被椭圆 C 截得的线段长为 . 2 5

(?) 求椭圆 C 的方程; (?? ) 过原点的直线与椭圆 C 交于 A、B 两点(A,B 不是椭圆 C 的顶点),点 D 在椭圆 C 上,且
AD ? AB ,直线 BD 与 x 轴 y 轴分别交于 M , N 两点。

(i) 设直线 BD, AM 斜率分别为 k1 , k2 ,证明存在常数 ? 使得 k1 ? ?k2 ,并求出 ? 的值; (ii ) 求 ? OMN 面积的最大值.
4、(济宁市 2016 高三 3 月模拟)已知曲线 E 上的任意点到点 F ?1,0 ? 的距离比它到直线 x ? ?2 的 距离小 1. (I)求曲线 E 的方程;

(II)点 D 的坐标为 ? 2, 0 ? ,若 P 为曲线 E 上的动点,求 PD ? PF 的最小值; (III) 设点 A 为 y 轴上异于原点的任意一点, 过点 A 作曲线 E 的切线 l, 直线 x ? 3 分别与直线 l 及x 轴交于点 M,N,以 MN 为直径作圆 C,过点 A 作圆 C 的切线,切点为 B.试探究:当点 A 在 y 轴上 运动(点 A 与原点不重合)时,线段 AB 的长度是否发生变化?请证明你的结论.

uuu r uuu r

5、(临沂市 2016 高三 3 月模拟)已知椭圆 C1 :

x2 y 2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,其短 2 a b 2

轴的下端点在抛物线 x2 ? 4 y 的准线上.
(?) 求椭圆 C1 的方程; (?? ) 设 O 为坐标原点,M 是直线 l : x ? 2 上的动点,F 为椭圆的右焦点, 过点 F 作 OM 的

垂线与以为 OM 直径的圆 C2 相交于 P, Q 两点,与椭圆 C1 相交于 A, B 两点,如图所示.
?若 PQ ? 6 ,求圆 C2 的方程; ?设 C2 与四边形 OAMB 的面积分别为 S1 , S2 , 若 S1 ? ? S2 , 求? 的 取值范围.

6、(青岛市 2016 高三 3 月模拟)已知椭圆 E :

x2 y 2 ? ? 1 ,A、B 分别是椭圆 E 的左、右顶点, 8 4

动点 M 在射线 l : x ? 4 2 ? y ? 0 ? 上运动,MA 交椭圆 E 于点 P,MB 交椭圆 E 于点 Q. (I)若 ?MAB 垂心的纵坐标为 ?4 7 ,求点 P 的坐标; (II)试问:直线 PQ 是否过定点?若过定点,求出定点坐标;若不过定点,请说明理由.

x2 y 2 7、 (日照市 2016 高三 3 月模拟) 已知椭圆 C: 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的上顶点 M 与左、 右焦点 F1 , F2 a b
构成三角形 MF1F2 面积为 3 ,又椭圆 C 的离心率为 (I)求椭圆 C 的方程; (II)直线 l 与椭圆 C 交于 A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? 两点,且 x1 ? x2 ? 2 ,又直线 l1 : y ? k1 x ? m 是线段 AB 的垂直平分线,求实数 m 的取值范围; (III)椭圆 C 的下顶点为 N,过点 T ? t , 2?? t ? 0? 的直线 TM,TN 分别与椭圆 C 交于 E,F 两点.若

3 . 2

?TMN 的面积是 ?TEF 的面积的 k 倍,求 k 的最大值.

8、 (泰安市 2016 高三 3 月模拟)如图:A,B,C 是椭圆

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的顶点,点 F ? c,0? 为 a 2 b2

椭圆的右焦点,原点 O 到直线 CF 的距离为

1 c ,且椭圆过点 2 3,1 . 2

?

?

(I)求椭圆的方程; (II)若 P 是椭圆上除顶点外的任意一点,直线 CP 交 x 轴于点 E,直线 BC 与 AP 相交于点 D,连 结 DE.设直线 AP 的斜率为 k,直线 DE 的斜率为 k1 ,问是否存在实数 ? ,使得 ? k1 ? k ? 若存在求出 ? 的值,若不存在,请说明理由.

1 成立, 2

9、(潍坊市 2016 高三 3 月模拟)已知椭圆 E :

x2 y 2 3 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的离心率 e ? ,过椭圆的 2 a b 2

左焦点 F 且倾斜角为 30°的直线与圆 x2 ? y 2 ? b2 相交所得弦的长度为 1. (I)求椭圆 E 的方程;

(II)若动直线 l 交椭圆 E 于不同两点 M ? x1 , y1 ? , N ? x2 , y2 ?,设OP = ? bx1 , ay1 ? , OQ ? ? bx2 , ay2 ? , O 为坐标原点.当以线段 PQ 为直径的圆恰好过点 O 时,求证: ?MON 的面积为定值,并求出该定 值.

uu u r

uuu r

x2 ? y 2 ? 1 ,点 M ? x0 , y0 ? 是椭圆 C 上一点,圆 10、(烟台市 2016 高三 3 月模拟)已知椭圆 C : 4
M : ? x ? x0 ? ? ? y ? y0 ? ? r 2 .
2 2

(1)若圆 M 与 x 轴相切于椭圆 C 的右焦点,求圆 M 的方程; (2)从原点 O 向圆 M : ? x ? x0 ? ? ? y ? y0 ? ?
2 2

4 作两条切线分别与椭 5

圆 C 交于 P,Q 两点 (P,Q 不在坐标轴上) , 设 OP, OQ 的斜率分别为 k1 , k2 . ①试问 k1k2 是否为定值?若是,求出这个定值;若不是,说明理由; ②求 OP ? OQ 的最大值.

11、 (枣庄市 2016 高三 3 月模拟) 已知抛物线 C : y 2 ? 2 px ? p ? 0? 的焦点 F 在直线 2 x ? y ? 2 ? 0 上. (1)抛物线 C 的方程; (2)已知点 P 是抛物线 C 上异于坐标原点 O 的任意一点,抛物线在点 P 处的切线分别与 x 轴、 y 轴 交于点 B、E ,设 PE ? ? PB ,求证: ? 为定值; (3)在(2)的条件下,直线 PF 与抛物线 C 交于另一点 A ,请问: ? PAB 的面积是否存在最小值?若

??? ?

??? ?

存在,请求出最小值及此时点 P 的坐标;若不存在,请说明理由.

12、 (淄博市 2016 高三 3 月模拟) 如图所示的封闭曲线 C 由曲线 C1: 2 ?

x2 a

y2 ? 1? a ? b ? 0,y ? 0 ? b2

和曲线 C2:y ? nx2 ?1? y ? 0? 组成,已知曲线 C1 过点 ? 3, ? ,离心率为 为曲线 C 与 x 轴、 y 轴的一个交点 (Ⅰ)求曲线 C1 和 C2 的方程;

? ?

1? 2?

3 ,点 A,B 分别 2

(Ⅱ)若点 Q 是曲线 C2 上的任意点,求 ?QAB 面积的最大值及点 Q 的坐标; (Ⅲ)若点 F 为曲线 C1 的右焦点,直线 l : y ? kx ? m 与曲线 C1 相切于点 M,与直线 x ? 交与点 N,求证:以 MN 为直径的圆过点 F.

4 3 3

x2 y 2 13、(济南市 2016 高三 3 月模拟)设椭圆 C: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,定义椭圆 C 的“相关圆” a b
方程为 x ? y ?
2 2

a 2b 2 2 ,若抛物线 y ? 4 x 的焦点与椭圆 C 的一个焦点重合,且椭圆 C 短轴的一 2 b a ?b

个端点和其两个焦点构成直角三角形。

(I)求椭圆 C 的方程和“相关圆”E 的方程; (II)过“相关圆”E 上任意一点 P 作“相关圆”E 的切线 l 与椭圆 C 交于 A,B 两点,O 为坐标原 点。 (i)证明∠AOB 为定值; (ii)连接 PO 并延长交“相关圆”E 于点 Q,求△ABQ 面积的取值范围。

参考答案: 1、

2、

3、解:(1)? e ?

3 c 3 c2 3 a2 ? b2 3 ,? ? ,即 2 = , ? ,? a 2 ? 4b 2 ,?????????1 分 2 a 2 4 4 a a2

设直线与椭圆交于 p, q 两点.不妨设 p 点为直线和椭圆在第一象限的交点,
4 4 4 10 2 5 2 5 5 5 5 , ) ,∴ 2 ? 2 ? 1 ,可得 a 2 ? b2 ? a 2b2 , 又∵弦长为 ,∴ p ( 5 5 5 a b 4

解得 a 2 ? 4, b 2 ? 1,∴椭圆方程为

x2 ? y 2 ? 1 .????????????????4 分 4

(2)(i)设 A ? x1 , y1 ?? x1 y1 ? 0? , D ? x2 , y2 ? ,则 B ? ? x1 , ? y1 ? , 直线 AB 的斜率 k AB ?
y1 x1 ,又 AB ? AD ,故直线 AD 的斜率 k ? , x1 y1

设直线 AD 的方程为 y ? kx ? m ,由题意知 k ? 0, m ? 0 . 由? ? x2
? y ? kx ? m ? ? y ?1 ?4
2

可得 ?1 ? 4k 2 ? x2 ? 8mkx ? 4m2 ? 4 ? 0 .
8mk 2m 因 y1 ? y2 ? k ? x1 ? x2 ? ? 2m ? . 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2
y1 ? y2 y 1 ?? ? 1 , --------------6分 x1 ? x2 4k 4 x1 y1 ? x ? x1 ? 4 x1 y1 , 2 x1

所以 x1 ? x2 ? ?

由题意知 x1 ? ? x2 所以 k1 ?

所以直线 BD 的方程为 y ? y1 ?

令 y=0,得 x ? 3x1 ,即M ? 3x1 ,0? ,可得 k 2 ? ?

1 1 1 所以 k1 ? ? k2 ,即? ? ? .因此存在常数 ? ? ? 使得结论成立.?????????9 分 2 2 2

(ii)直线 BD 的方程为 y ? y1 ?

y1 ? x ? x1 ? . 4 x1

3 3 ? 令 x=0 得 y ? ? y1 ,即 N ? ? 0, ? y1 ? , 4 4 ? ?

1 3 9 由(i)知 M ? 3x1 ,0 ? ,可得 ?OMN 的面积 S ? ? 3 x1 ? y1 ? x1 y1 .????11 分 2 4 8

因为 x1 ? y1 ?

x x12 2 时等号成立, ? y12 ? 1,当且仅当 1 ? y1 ? 4 2 2

9 9 此时 S 取得最大值 ,所以 ?OMN 的面积为最大 .????????????13 分 8 8

4、

5、

6、

7、解:(Ⅰ)椭圆离心率 e ? 又 bc ? 3 , a 2 ? b2 ? c 2 ,

c ? a

a2 ? b2 3 , ? a 2

解得 a ? 2, b ? 1, ? 椭圆方程:

x2 ? y 2 ? 1. 4

.???? 4 分

(Ⅱ)设 AB 的中点 D( x0 , y0 ) , A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , 则 x1 ? x2 ? 2 x0 ? 2 ,所以 x0 ? 1 ,

y1 ? y2 ? 2 y0 .( y0 ? 0 )

又 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) 在椭圆 C 上,所以

? x12 ? y12 ? 1,① ? ?4 ? 2 2 ? x2 ? y2 ? 1.② ? ?4
??????6 分

2 x2 ? x12 1 2 ? y2 ? y12 ? 0 ,即 kAB ? ? 由② - ①得 . 4 4 y0

即 k1 ? ?

1 kAB

? 4 y0 , l1 : y ? 4 y0 x ? m .当 x0 ? 1 时, y0 ? 4 y0 ? m ,所以 y0 ? ?
m m 1 m ) .又 D (1, ? ) 在椭圆 C 内部,所以 ? (? ) 2 ? 1 , 3 3 4 3

m . 3

所以 D 点的坐标为 (1, ? 解得 ?

3 3 3 3 ?m? 且m ? 0 . 2 2
1

??????9 分

(Ⅲ) 因为 S?TMN ? MN t = t , 2 错误!未找到引用源。 直线错误!未找到引用源。方程为: ,联立 错误!未找到引用源。 , 未找到引用源。 所以 到直线错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。的距离 错误!未找到引用源。 , 错误!未找到引用源。 直线错误!未找到引用源。方程为: ,联立 错误!未找到引用源。 , ,得 错误! ,得 错误!

错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。 未找到引用源。

, 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。| TF |错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。,

错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 所以 k ?

,

S?TMN (t ? 36)(t 2 ? 4) = , S?TEF (t 2 ? 12)2
2

2 令 t ? 12 ? n ? 12, 错误!未找到引用源。则 k ?

( n ? 8)( n ? 24) 16 192 4 ? 2 ? , =1 ? 2 n n n 3

当且仅当 n ? 24 错误!未找到引用源。,即 t ? ?2 3 等号成立, 所以 k 的最大值为 8、

4 .???????????????????????14 分 3

9、

10、

p 11、(1)由题意,抛物线 C 的焦点 F ( ,0) 在 x 轴上.??????????????1 分 2
在方程 2 x ? y ? 2 ? 0 中,令 y ? 0 ,得 x ? 1. ???????????????2 分 于是,

p ? 1 .解得 p ? 2. 2

所以,抛物线 C 的方程为 y 2 ? 4 x. ????????????????????3 分

t2 (2)由点 P 是 C 上异于坐标原点 O 的任意一点,设 P( , t )(t ? 0). 4
设切线 BP 的斜率为 k ,则切线 BP 的方程为 y ? t ? k ( x ?
? t2 ? y ? t ? k ( x ? ), 由? 4 消去 x 并整理得 ? y2 ? 4x ?

t2 ). 4

ky 2 ? 4 y ? kt 2 ? 4t ? 0. ????????4 分

由 k ? 0 ,考虑到判别式 ? ? 16 ? 4k (?kt 2 ? 4t ) ? 0.

2 可得 4(kt ? 2)2 ? 0. 所以 kt ? 2 ? 0. 故切线 BP 的斜率 k ? . ????????5 分 t 2 t 2 t2 切线 BP 的方程为 y ? t ? ( x ? ) ,即 y ? x ? . t 2 t 4 2 t t t 在 y ? x ? 中,令 x ? 0 ,得 y ? . 所以点 E 的坐标为 (0, ) ; t 2 2 2 2 t t2 t2 x ? 中,令 y ? 0 ,得 x ? ? . 所以点 B 的坐标为 (? ,0) .?????7 分 t 2 4 4 2 2 2 ??? ? ??? ? t t t t t t2 t2 所以 PE ? (0, ) ? ( , t ) ? (? , ? ) , PB ? (? ,0) ? ( , t ) ? (? , ?t ). 2 4 4 2 4 4 2 ??? ? 1 ??? ? 1 所以 PE ? PB. 故 ? ? ,为定值.?????8 分 2 2
在y? (3)由直线 FP 过点 F (1,0) ,设直线 FP 的方程为 x ? my ? 1.
? x ? my ? 1, y2 由? 2 消去 x 得 ? my ? 1 ? 0. 4 ? y ? 4x

由韦达定理,得 y A yP ? ?4. 所以 y A ? ?

4 4 ? ? . ?????????????9 分 yP t

1 1 t2 4 于是 S△PAB ? ? | BF | ? | yA ? yP |? ? (1 ? )? | ? ? t | 2 2 4 t 1 4 ? ? (4 ? t 2 )? | ? t | ???????????10 分 8 t
1 4 令 f (t ) ? (4 ? t 2 )? | ? t | (t ? 0) ,显然 f (t ) 为偶函数,只需研究函数 f (t ) 在 t ? 0 时的最小值即可. 8 t 1 4 1 16 当 t ? 0 时, f (t ) ? (4 ? t 2 ) ? ( ? t ) ? (t 3 ? 8t ? ) , 8 t 8 t 1 16 1 1 f ?(t ) ? (3t 2 ? 8 ? 2 ) ? 2 (3t 4 ? 8t 2 ? 16) ? 2 (3t 2 ? 4)(t 2 ? 4). 8 t 8t 8t 2 当0?t ? 时, f ?(t ) ? 0 , f (t ) 为减函数; 3 2 当t ? 时, f ?(t ) ? 0 , f (t ) 为增函数.??????????????????11 分 3

所以,当 t ? 0 时,函数 f (t ) 在 t ?

2 3

时取最小值 f (

2 3

)?

16 3 . 9 2 3 )? 16 3 . ?12 分 9

因为 f (t ) 为偶函数,当 t ? 0 时,函数 f (t ) 在 t ? ? 当t ?
2

2 3

时取最小值 f (?

1 2 2 1 2 时,点 P 的坐标为 ( , ) ;当 t ? ? 时,点 P 的坐标为 ( , ? ) . 3 3 3 3 3 3 1 2 1 2 16 3 ,此时点 P 的坐标为 ( , ) 或 ( , ? ). ?13 分 3 3 3 9 3

综上, △PAB 的面积存在最小值

y A

B

O F E P

x

12、

13、解:(Ⅰ)因为若抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点为 ?1,0 ? 与椭圆 C 的一个焦点重合,所以 c ? 1 ??? 1分 又因为椭圆 C 短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形,所以 b ? c ? 1

x2 ? y 2 ? 1, 故椭圆 C 的方程为 2
2 2 “相关圆” E 的方程为 x ? y ?

?????3 分

2 3

?????4 分

(Ⅱ)(i)当直线 l 的斜率不存在时,不妨设直线 AB 方程为 x ?

6 , 3
?????5 分

则 A?

? 6 6? ? 6 6? ? , , B , ? 所以 ?AOB ? ? ? ? ? 3 3 ? ? 3 ? 2 3 ? ? ? ?

当直线 l 的斜率存在时,设其方程设为 y ? kx ? m ,设 A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ?

? y ? kx ? m ? 联立方程组 ? x 2 得 x2 ? 2(kx ? m)2 ? 2 , 即 (1 ? 2k 2 ) x2 ? 4kmx ? 2m2 ? 2 ? 0 , ???? 6 2 ? ? y ?1 ?2


△= 16k 2 m2 ? 4(1 ? 2k 2 )(2m2 ? 2) ? 8(2k 2 ? m2 ? 1) ? 0 ,即 2k 2 ? m2 ? 1 ? 0

(*)

4km ? x1 ? x2 ? ? ? ? 1 ? 2k 2 ? 2 ? x x ? 2m ? 2 1 2 ? 1 ? 2k 2 ?
因为直线与相关圆相切,所以 d ?

?????7 分

m 1? k 2

?

m2 2 ? 3m2 ? 2 ? 2k 2 ? 2 1? k 3

?????8 分

(1 ? k 2 )(2m2 ? 2) 4k 2 m2 ? x1 x2 ? y1 y2 ? (1 ? k ) x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m ? ? ? m2 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k
2 2

?


3m2 ? 2k 2 ? 2 ?0 1 ? 2k 2

??? ? ??? ? ?O A? O B
?????9 分

??AOB ?

?
2





(ii)由于 PQ 是“相关圆”的直径,所以 S?ABQ ? 取值范围,只需求弦长 AB 的取值范围 当直线 AB 的斜率不存在时,由(i)知 AB ?

1 6 AB PQ ? AB ,所以要求 ?ABQ 面积的 2 3

2 6 3

?????10 分

因为 | AB |? (1 ? k 2 )( x1 ? x2 ) 2 ? (1 ? k 2 )

8(2k 2 ? m2 ? 1) (1 ? 2k 2 )2

?????11 分

?

8 4k 4 ? 5k 2 ? 1 8 k2 ? 4 ? [1 ? ], 3 4k ? 4k 2 ? 1 3 4k 4 ? 4k 2 ? 1

① k ? 0 时 | AB |?

8 1 1 1 1 [1 ? ] 为 4k 2 ? 2 ? 4 ? 8 所以 0 ? ? , 1 1 k 3 4k 2 ? 2 ? 4 4k 2 ? 2 ? 4 8 k k

所以

2 8 8 1 6 ?| AB |? 3 ? [1 ? ] ? 3 ,所以 1 3 3 3 2 4k ? 2 ? 4 k

当且仅当 k ? ?

2 时取”=” 2

?????12 分

②当 k ? 0 时, | AB |?

2 2 6 6 ?| AB |? 3 .|AB |的取值范围为 3 3

?????13 分

?4 ? ??ABQ 面积的取值范围是 ? , 2 ? ?3 ?

?????14 分


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