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2015届《智慧测评》高考数学(人教A版,理科)大一轮总复习课时训练:第2篇 第8节 函数与方程 Word版含解析

时间:2015-04-10


第二篇

第8节

一、选择题 1.(2014 山东青岛模拟)函数 f(x)=1-xlog2x 的零点所在区间是( 1 1 A. ( , ) 4 2 C.(1,2) 1 B. ( ,1) 2 D.(2,3) )

1 解析:因为 y= 与 y=log2x 的图象只有一个交点,所以 f(x)只有一个零点.又 f(1)=1, x f(2)=-1,故函数 f(x)=1-xlog2x 的零点所在的区间是(1,2).故选 C. 答案:C 2.函数 f(x)=ln x+ex 的零点所在的区间是( 1 A.0, e C.(1,e) )

1 B. ,1 e D.(e,+∞)

1 1 1 1 解析:f(x)=ln x+ex 在(0,+∞)上是增函数,且 f =ln +e =-1+e >0,结合选项 e e e e 知应选 A. 答案:A 3.(2013 年高考重庆卷)若 a<b<c,则函数 f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x- a)的两个零点分别位于区间( A.(a,b)和(b,c)内 C.(b,c)和(c,+∞)内 ) B.(-∞,a)和(a,b)内 D.(-∞,a)和(c,+∞)内

解析:∵a<b<c,∴f(a)=(a-b)(a-c)>0, f(b)=(b-c)(b-a)<0,f(c)=(c-a)(c-b)>0, ∴f(a)f(b)<0,f(b)f(c)<0,故选 A. 答案:A 4.已知关于 x 的方程 xln x=ax+1(a∈R),下列说法正确的是( A.有两不等根 C.无实数根 B.只有一正根 D.不能确定 )

1 1 解析:由 xln x=ax+1(a∈R)知 x>0,∴ln x=a+ ,作出函数 y1=ln x 与 y2=a+ 的图 x x 象, 易知选 B. 答案:B 5.对于函数 f(x)=x|x|+px+q,现给出四个命题,其中所有正确命题的序号是( )

①q=0 时,f(x)为奇函数;②y=f(x)的图象关于点(0,q)对称;③p=0,q>0 时,f(x)有 且只有一个零点;④f(x)至多有 2 个零点. A.①④ C.②③ B.①②③ D.①②③④

解析:当 q=0 时,f(x)=x(|x|+p),显然是奇函数,故①正确; 由于 g(x)=x(|x|+p)是奇函数,图象关于原点对称, q≠0 时,f(x)=g(x)+q 的图象由 g(x)的图象向上(或向下)平移|q|个单位得到, 所以 f(x)的图象关于点(0,q)对称,故②正确; 当 p=0,q>0 时,由 f(x)=x|x|+q=0 可得 x=- q,只有一个根,函数只有一个零点, 故③正确; 当 p<0,q=0 时,函数 f(x)=x|x|+px 有三个零点 0,p,-p,所以④错误.故选 B. 答案:B 6.(2014 山东济南模拟)f(x)=|2x-1|,f1(x)=f(x),f2(x)=f(f1(x)),…,fn(x)=f(fn-1(x)), 则函数 y=f3(x)的零点个数为( A.2 C.4 ) B.3 D.5

1 1 解析: f3(x)=|2f2(x)-1|的零点, 即 f2(x)= 的实根, 即|2f1(x)-1|= 的实根, 又 f1(x)=f(x). 所 2 2 3 1 以 f(x)= 或 f(x)= .而以上两方程各有两个实根,故共有 4 个实根.故选 C. 4 4 答案:C 二、填空题 7.函数 f(x)=3x-7+ln x 的零点位于区间(n,n+1)(n∈N)内,则 n=________. 解析:由于 f(1)=-4<0, f(2)=ln 2-1<0,f(3)=2+ln 3>0, 又 f(x)在(0,+∞)上为增函数, 所以零点在区间(2,3)内,故 n=2. 答案:2

x ? ?a ,x≥0, 8.已知 0<a<1,k≠0,函数 f(x)=? 若函数 g(x)=f(x)-k 有两个零点,则 ?kx+1,x<0, ?

实数 k 的取值范围是________.

解析:函数 g(x)=f(x)-k 有两个零点,即 f(x)-k=0 有两个解,即 y=f(x)与 y=k 的图 象有两个交点.分 k>0 和 k<0 作出函数 f(x)的图象.当 0<k<1 时,函数 y=f(x)与 y=k 的图 象有两个交点;当 k=1 时,有一个交点;当 k>1 或 k<0 时,没有交点,故当 0<k<1 时满足 题意. 答案:{k|0<k<1} 9.(2014 安徽安庆三模)若 x1,x2 是函数 f(x)=x2+mx-2(m∈R)的两个零点,且 x1<x2, 则 x2-x1 的最小值是________. 解析: 由于 Δ=m2+8>0, 故函数 f(x)一定有两个不同的零点, 且两个零点异号, 故 x2>0, x1<0,所以 x2-x1= ?x2+x1?2-4x1x2= m2+8≥2 2. 答案:2 2 1 ? ?2+x2+2x,x<0, 10.(2014 河北邯郸一模)已知 f(x)=? ?f?x-1?,x≥0, ? 且函数 y=f(x)+ax 恰有 3 个不同的零点,则实数 a 的取值范围是________. 1 解析:当 x<0 时,f(x)=(x+1)2- ,把函数 f(x)在[-1,0)上的图象向右平移一个单位即 2 得函数 y=f(x)在[0,1)上的图象,继续右移可得函数 f(x)在[0,+∞)上的图象.如果函数 y= f(x)+ax 恰有 3 个不同的零点,即函数 y=f(x),y=-ax 的图象有三个不同的公共点,实数 a 1 1 应满足-a<- ,即 a> . 2 2

1 答案: ,+∞ 2 三、解答题 11.是否存在这样的实数 a,使函数 f(x)=x2+(3a-2)x+a-1 在区间[-1,3]上与 x 轴有 且只有一个交点.若存在,求出 a 的范围;若不存在,说明理由.

8?2 8 解:∵Δ=(3a-2)2-4(a-1)=9? ?a-9? +9>0, ∴若存在实数 a 满足条件,则只需 f(-1)· f(3)≤0 即可. f(-1)· f(3)=(1-3a+2+a-1)· (9+9a-6+a-1)=4(1-a)(5a+1)≤0, 1 ∴a≤- 或 a≥1. 5 检验:①当 f(-1)=0 时,a=1, ∴f(x)=x2+x. 令 f(x)=0,即 x2+x=0,∴x=0 或 x=-1. 方程在[-1,3]上有两个根,不合题意,故 a≠1. 1 ②当 f(3)=0 时,a=- , 5 13 6 此时 f(x)=x2- x- . 5 5 13 6 令 f(x)=0,即 x2- x- =0, 5 5 2 解得 x=- 或 x=3. 5 1 方程在[-1,3]上有两根,不合题意,故 a≠- . 5 1 综上所述,a<- 或 a>1. 5 12.设 f(x)=3ax2+2bx+c,若 a+b+c=0,f(0)>0,f(1)>0,求证: b (1)a>0 且-2< <-1; a (2)函数 y=f(x)在(0,1)内有两个零点. 证明:(1)因为 f(0)>0,f(1)>0, 所以 c>0,3a+2b+c>0. 由条件 a+b+c=0,消去 b,得 a>c>0; 由条件 a+b+c=0,消去 c,得 a+b<0, b 2a+b>0,故-2< <-1. a b (2)抛物线 f(x)=3ax2+2bx+c 的对称轴为 x=- , 3a b 1 在-2< <-1 的两边乘以- , a 3 1 b 2 得 <- < . 3 3a 3 又因为 f(0)>0,f(1)>0,

f- =

2 b 3ac-b = 3a 3a

3ac-a2-2ac-c2 3a

a2-ac+c2 =- 3a c 3 a- 2+ c2 2 4 =- <0, 3a b b 所以方程 f(x)=0 在区间 0,- 与- ,1 内分别有一实根. 3a 3a 故函数 y=f(x)在(0,1)内有两个零点.


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