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一次函数典型例题剖析


一次函数典型例题剖析
一次函数是初中数学学习的重要内容,它是“数”与“形”的有机结合体,也是中考试 题的热点之一. 如何学好一次函数呢?下面对本章的一些典型例题进行剖析, 希望对大家的 学习有所帮助. 1 关于一次函数的有关概念 例 1 当 m 取什么值时,y=(m+2)x+m2-4 是正比例函数? 分析 由正比例函数意义可知,m+2≠0,且常数项 m2-4=0. 解由

m2-4=0 且 m+2≠0,得 m=+2 且 m≠-2. 所以当 m=2 时,函数 y=(m+2)x+m2-4 是正比例函数. 点评 形如 y=kx+b(k、b 是常数,k≠0)的函数,叫做一次函数.特别地,当 b=0 时, 即为正比例函数 y=kx.特别注意,k≠0 是函数存在的必要条件. 2 结合图像对实际问题中的函数关系进行分析 例 2 -列火车从南京站开出,加速行驶一段时间后开始匀速行驶,过了一段时间,火 车到达镇江站减速停车.下列图像中,大致刻画火车在这段时间速度随时间变化情况的是 ( ).

分析与解 火车开出时加速,速度随时间变化而增大,匀速行驶时,速度是保持不变, 减速时速度随时间变化而减小,最终为 0,图像 B 大致能反映这一变化情况,故选项为 B. 例 3 2008 年 5 月 12 日 14 时 28 分四川省汶川发生里氏 8.0 级地震.某市接到上级通 知,立即派出甲、乙两个抗震救灾小组乘车沿同一路线赶赴距出发点 480 km 的灾区,乙组 由于要携带一些救灾物资,比甲组迟出发 1.25 h(从甲组出发时 开始计时) .图 1 中的折线 ABD 和线段 EF 分别表示甲、乙两组所走 路程 y 甲(km)、y 乙(km)与时间 x(h)之间的函数关系对应的图像.请根 据图像所提供的信息,回答下列问题: (1)由于汽车发生故障,甲组在途中停留了_______h; (2)甲组的汽车排除故障后,立即提速赶往灾区.甲组的汽车在 排除故障时,距出发点的路程是多少千米? (3)为了保证及时联络,甲、乙两组在第一次相遇时约定此后两 车之间的距离不超过 25 km 请通过计算判断,按图像所表示的走法是否符合约定. 分析与解 (1) t=4.9-3=1.9(h). (2)确定甲距出发点的距离,也就是求点 A 或 B 的纵坐标.这就转化为求直线 BD 的关 系式.由图可知,可通过求点 C 的坐标加以解决.而求点 C 的坐标必须先求出直线 EF 的关 系式. 设直线 EF 的关系式为 y 乙=kx+b(k≠0).

?1.25k ? b ? 0 ?k ? 80 因为点 E(1.25,0)、F(7.25,480)在直线 EF 上,则得 ? ,解得 ? . ?7.25k ? b ? 480 ?b ? ?100
所以直线 EF 的关系式是 y 乙=80x-100. 因为点 C 在直线 EF 上,且点 C 的横坐标为 6,代入上式,得

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y=380,所以点 C 的坐标是(6,380). 设直线 BD 的关系式为 y 甲=mx+n(m≠0).

?6m ? n ? 380 ?m ? 100 因为点 C(6,380)、D(7,480)在直线 BD 上,所以 ? ,解得 ? . ?7m ? n ? 480 ?n ? ?220
所以直线 BD 的关系式是 y 甲=100x-220. 把点 B 的横坐标 4.9 代入 y 甲,得 B(4.9,270),所以甲组在排除故障时,距出发点的路 程是 270 km. (3)由图像可知甲、乙两组在 4.9 h 和 7h 时,两车相距最远. 在 4.9 h 时,y 乙-y 甲=80×4.9-100-(100×4.9-220)=22 km; 在 7h 时,y 甲-y 乙=100×7-220-(80×7-100)=20 km. 因为 22 km 和 20 km 都小于 25 km,所以按图像所表示的走法符合约定. 说明 解决函数图像问题的关键是在阅读文字语言的同时, 要能对图像进行观察、 分析, 以获取有效解题信息,从读图、识图到用图,增强运用函数图像的能力. 2 关于一次函数图像和性质 例 4 已知一次函数的图像经过点(3,-3) ,且与直线 y=4x-3 的交点在 x 轴上. (1)求这个一次函数的关系式; (2)此函数的图像经过哪几个象限? (3)求此函数的图像与坐标轴围成的三角形面积. 分析 (1)本题中一次函数的关系式有两个待定系数 k 和 b,题中给定了它过(3,-3) , 又由其与直线 y=4x-3 的交点在 x 轴上,可先求出该交点的坐标,然后由待定系数法求出 它的关系式;(2)依据 k 和 b 的值可确定直线经过的象限;(3)根据直线与坐标轴的交点确定 三角形的边长及这边上的高. 解 (1)由直线 y=4x-3,得 当 y=0 时,x=

3 . 4 3 ,0) . 4

所以它与 x 轴的交点为(

4 ? ?3k ? b ? ?3 3 ? ?k ? ? 所以直线 y=kx+b 经过点(3,-3)和点( ,0) ,可得 ? 3 ,解得 ? 3. 4 ?4 k ? b ? 0 ?b ? 1 ? ?
所以这个一次函数的关系式为 y=- (2)因为 k=-

4 x+1. 3

4 <0,b=1>0,所以此函数的图像经过第一、二、四象限. 3 3 (3)因为当 x=0 时,y=1;当 y=0 时,x= ,所以该一次函数的图像与坐标轴围成的 4 1 3 3 三角形面积为 S ? ? ?1 ? . 2 4 8 b 说明 一次函数 y=kx+b(k≠0)的图像是一条经过点(- ,0)和点(0,b)的直线, k
“k 值定增减,b 值定上下” ,即 k 值决定了一次函数的增减性,b 值决定了直线与 y 轴交点

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的位置. 3 关于一次函数的实际应用 例 5 某市粮食局为了保证库存粮食的安全,决定将甲、乙两个仓库的粮食,全部转移 到具有较强抗震功能的 A、B 两仓库.已知甲库有粮食 100 t,乙库有粮食 80 t,而 A 库的 容量为 70 t, 库的容量为 110 t. B 从甲、 乙两库到 A、 两库的路程和运费如下表 B (表中 “元 /t·km”表示每吨粮食运送 1 km 所需钱数) .

(1)若甲库运往 A 库粮食 x t,请写出将粮食运往 A、B 两库的总运费 y(元)与 x(吨) 的函数关系式; (2)当甲、乙两库各运往 A、B 两库多少吨粮食时,总运费最省,最省的总运费是多少? 分析本题可以通过列表格的方法将运往各仓库的粮食数量表示出来(如下表) ,结合题 目中的路程和运费表,帮助理解题意,建立函数关系式.

解(1)根据题意,得 y=12× 20x+10× (100-x)+12× 25 15(70-x)+8× [110-(100-x)] 20× =-30x+39 200(0≤x≤70). (2)上述一次函数中 k=-30<0,所以 y 随 x 的增大而减小.即当 x=70 t 时,总运费最 省. 最省的总运费为-30×70+39 200=37 100(元) ,即从甲库运往 A 库 70 t 粮食,往 B 库运送 30 t 粮食,从乙库运往 B 库 80 t 粮食时,总运费最省为 37 100 元. 说明 应用一次函数可以解决生产实践、 日常生活中的很多如行程、 面积等实际问题. 因此, 我们在学习过程中应注重应用的理解和学习,以达到学以致用的目的.

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