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专题:利用放缩法证明数列不等式问题


2014 年 12 月 02 日的高中数学组卷
1. (2014?烟台一模)已知数列{an}前 n 项和为 Sn,首项为 a1,且 (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)数列满足 bn=(log2a2n+1)×(log2a2n+3) ,求证: . 成等差数列.

2. (2014?宁波模拟)已知数列{an}是公差不为零的等差数列,a10=15,且

a3、a4、a7 成等比数列. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设 ,数列{bn}的前 n 项和为 Tn,求证: .

2

3. (2014?东营一模)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=an+n ﹣1,数列{bn}满足 3 ?bn+1=(n+1)an+1﹣nan,且 b1=3. (Ⅰ)求 an,bn; (Ⅱ)设 Tn 为数列{bn}的前 n 项和,求 Tn,并求满足 Tn<7 时 n 的最大值.

2

n

3

4. (2014?成都一模)已知数列{an}满足 a1=1,点(an,an+1)在直线 y=2x+1 上. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{bn}满足 b1=a1, = +…+ (n≥2 且 n∈N ) ,求 bn+1an﹣(bn+1)an+1 的值; b1b2…bn(n∈N ) .
* *

(3)对于(2)中的数列{bn},求证: (1+b1) (1+b2)…(1+bn)<

4

5. (2014?广东二模)已知各项均为正数的数列{an}满足 an+1 =2an +anan+1,且 a2+a4=2a3+4,其中 n∈N . (1)求数列{an}的通项公式; (2)设数列{bn}满足 bn= ,是否存在正整数 m,n(1<m<n) ,使得 b1,bm,bn 成等比数列?若存在,

2

2

*

求出所有的 m、n 的值;若不存在,请说明理由. (3)令 cn= ,记数列{cn}的前 n 项和为 Sn(n∈N ) ,证明:
*

≤Sn< .

5

6. (2014?大港区二模)已知数列{an}中,a1=1,a2= ,且 an+1= 前 n 项和,且 4Sn=bnbn+1,b1=2(n=1,2,3,…) . (1)求数列{bn}的通项公式; (2)设 cn=bn?
*

(n=2,3,4,…) .Sn 为数列{bn}的

,求数列{cn}的前 n 项的和 Pn; < .

(3)证明对一切 n∈N ,有

6

7. (2014?唐山二模)在公差不为 0 的等差数列{an}中,a3+a10=15,且 a2,a5,a11 成等比数列. (Ⅰ)求{an}的通项公式; (Ⅱ)设 bn= + +…+ ,证明: ≤bn<1.

7

8. (2014?肇庆一模)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,对一切正整数 n,点 Pn(n,Sn)都在函数 f(x)=x +2x 的图 象上. (1)求 a1,a2; (2)求数列{an}的通项公式; (3)若 bn= ,求证数列{bn}的前 n 项和 Tn< .

2

8

9. (2014?济宁一模)在等比数列{an}中,已知 a1=2,且 a2,a1+a3,a4 成等差数列. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式 an; (Ⅱ)求数列{log2an﹣an}的前 n 项和为 Sn; (Ⅲ) 设 bn= ,求证: .

9

10. (2014?临沂一模)已知正项数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设数列 与的前 n 项和为 Tn,求证: .



10

11. (2014?海珠区一模)已知公差不为 0 的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S5=25,且 S1,S2,S4 成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)bn= (n∈N ) ,证明:对一切正整数 n,有 b1+b2+…+bn< .
*

11

12. (2014?马鞍山三模)已知数列{an}中,an+1=Sn﹣n+3,n∈N ,a1=2. (Ⅰ)求证:当 n≥2,n∈N 时,{an﹣1}是等比数列; (Ⅱ)求{an}的通项公式; (Ⅲ)利用错位相减法求出 Tn,即可证明不等式 ≤Tn (n∈N ) .
* *

*

12

13. (2014?韶关一模)已知{an}为公差不为零的等差数列,首项 a1=a,{an}的部分项 数列,且 k1=1,k2=5,k3=17. (1)求数列{an}的通项公式 an(用 a 表示) ; (2)设数列{kn}的前 n 项和为 Sn,求证: (n 是正整数) .



、…、

恰为等比

13

14. (2014?汕头一模)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a1=2, (1)求 a2 的值; (2)求数列{an}的通项公式; (3)证明:对一切正整数 n,有 .

,n∈N .

*

14

15. (2014?宝鸡二模)已知数列{an}的首项 a1=2,前 n 项和 Sn 满足 an+1=Sn+2(n∈N ) . (1)求数列{an}的通项公式 (2)若 bn=2log2an,对一切 n∈N ,
*

*

+

+

+ …+

<t 恒成立,求实数 t 的最小值.

15

16. (2013?广东)设各项均为正数的数列{an}的前 n 项和为 Sn,满足 4Sn=an+1 ﹣4n﹣1,n∈N ,且 a2,a5,a14 构成 等比数列. (1)证明:a2= ;

2

*

(2)求数列{an}的通项公式; (3)证明:对一切正整数 n,有 .

16

17. (2013?广东)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a1=1, (1)求 a2 的值; (2)求数列{an}的通项公式; (3)证明:对一切正整数 n,有 .

,n∈N .

*

17

18. (2013?宁波模拟)等差数列{an}中,2a1+3a2=11,2a3=a2+a6﹣4,其前 n 项和为 sn (Ⅰ)求数列{an}的通项公式. (Ⅱ)若数列{bn}满足 bn= ,其前 n 项和为 Tn,求证 Tn< .

18

19. (2013?深圳模拟) 设{an}是公比大于 1 的等比数列, Sn 为数列{an}的前 n 项和. 已知 S3=7, 且 3a2 是 a1+3 和 a3+4 和的等差中项. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 ,数列{bn}的前 n 项和为 Tn,求证: .

19

20. (2013?湛江二模)已知函数 f(x)=x ﹣2x+4,数列{an}是公差为 d 的等差数列,若 a1=f(d﹣1) ,a3=f(d+1) (1)求数列{an}的通项公式; (2)Sn 为{an}的前 n 项和,求证: .

2

20

参考答案与试题解析
1. (2014?烟台一模)已知数列{an}前 n 项和为 Sn,首项为 a1,且 (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)数列满足 bn=(log2a2n+1)×(log2a2n+3) ,求证: . 成等差数列.

考点: 数列与不等式的综合;等差数列的性质. 专题: 综合题;等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ)由题意可得 ,令 n=1 可求 a1,n≥2 时,
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,两式相减

可得递推式,由递推式可判断该数列为等比数列,从而可得 an; (Ⅱ)表示出 bn,进而可得 解答: 解: (Ⅰ)∵ 当 n=1 时, 当 n≥2 时, ,并拆项,利用裂项相消法可求和,由和可得结论; ,

成等差数列,∴ ,解得 , ; ,

两式相减得:an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣2an﹣1,∴ 所以数列{an}是首项为 ,公比为 2 的等比数列, (Ⅱ)bn=(log2a2n+1)×(log2a2n+3) = ×





=(2n﹣1) (2n+1) , , 则 = = .

点评: 本题考查数列与不等式的综合,考查裂项相消法对数列求和,考查等比数列的通项公式,属中档题. 2. (2014?宁波模拟)已知数列{an}是公差不为零的等差数列,a10=15,且 a3、a4、a7 成等比数列. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设 ,数列{bn}的前 n 项和为 Tn,求证: .

考点: 数列与不等式的综合;等差数列与等比数列的综合. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ)利用待定系数法,根据 a10=15,且 a3、a4、a7 成等比数列,建立方程组,可求首项与公差,从而可
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得数列{an}的通项公式; (Ⅱ)先利用错位相减法求出数列{bn}的前 n 项和为 Tn,再确定其单调性,即可证得结论. 解答: (Ⅰ)解:设数列{an}的公差为 d(d≠0) ,由已知得:

即:

﹣﹣﹣﹣﹣﹣(2 分)

解之得:

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(4 分)

所以 an=2n﹣5, (n≥1)﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(6 分) (Ⅱ)证明:∵ .



,①

.②

①﹣②得:

=



,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(10 分)





∴Tn<﹣1.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(12 分) ∵ ∴Tn<Tn+1(n≥2)﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(13 分) 而 T1>T2,所以 T2 最小 又 ,所以 .﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(14 分) ,

综上所述,

点评: 本题考查等差数列与等比数列的综合,考查数列的通项与求和,考查数列的单调性,正确求数列的通项与 求和是关键. 3. (2014?东营一模)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=an+n ﹣1,数列{bn}满足 3 ?bn+1=(n+1)an+1﹣nan,且 b1=3. (Ⅰ)求 an,bn; (Ⅱ)设 Tn 为数列{bn}的前 n 项和,求 Tn,并求满足 Tn<7 时 n 的最大值. 考点: 数列与不等式的综合. 专题: 点列、递归数列与数学归纳法.
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2

n

22

分析: (Ⅰ)在已知数列递推式中取 n=n﹣1 得另一递推式,两式作差后整理得到 an﹣1=2n﹣1,则数列{an}的通项 n 公式可求,把 an 代入 3 ?bn+1=(n+1)an+1﹣nan,整理后求得数列{bn}的通项公式; (Ⅱ)由错位相减法求得数列{bn}的前 n 项和 Tn,然后利用作差法说明{Tn}为递增数列,通过求解 T3,T4 的值得答案. 解答: 解: (Ⅰ)由 ,得 (n≥2) , 两式相减得,an=an﹣an﹣1+2n﹣1, ∴an﹣1=2n﹣1,则 an=2n+1. n 由 3 ?bn+1=(n+1)an+1﹣nan, n ∴3 ?bn+1=(n+1) (2n+3)﹣n(2n+1)=4n+3. ∴ .

∴当 n≥2 时, 由 b1=3 适合上式, ∴ ;



(Ⅱ)由(Ⅰ)知,





①.

②.

①﹣②得,

=







∵ ∴Tn<Tn+1,即{Tn}为递增数列. 又 ,





∴Tn<7 时,n 的最大值 3. 点评: 本题是数列与不等式的综合题,考查了数列递推式,训练了利用数列的前 n 项和求通项公式,考查了错位 相减法求数列的和,求解(Ⅱ)的关键是说明数列{Tn}为递增数列,是中高档题.
23

4. (2014?成都一模)已知数列{an}满足 a1=1,点(an,an+1)在直线 y=2x+1 上. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{bn}满足 b1=a1, = +…+ (n≥2 且 n∈N ) ,求 bn+1an﹣(bn+1)an+1 的值; b1b2…bn(n∈N ) .
* *

(3)对于(2)中的数列{bn},求证: (1+b1) (1+b2)…(1+bn)<

考点: 数列与不等式的综合;数列递推式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)利用点(an,an+1)在直线 y=2x+1 上,可得 an+1+1=2(an+1) ,从而可得{an+1}是以 2 为首项,2 为公 比的等比数列,由此可求数列的通项公式;
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(2)确定

=

+

,即可求 bn+1an﹣(bn+1)an+1 的值;

(3)由(2)可知,

(n≥2) ,b2=a2,证明





即可.

解答: (1)解:∵点(an,an+1)在直线 y=2x+1 上, ∴an+1+1=2(an+1) ∴{an+1}是以 2 为首项,2 为公比的等比数列 n ∴an=2 ﹣1; (2)解:



=

+

∴bn+1an﹣(bn+1)an+1=0 n=1 时,b2a1﹣(b1+1)a2=﹣3; (3)证明:由(2)可知, (n≥2) ,b2=a2





=



=

?

?…

=2

=2(

+…+



∵k≥2 时,



+…+

=

+…+

<1+2[(

)+…+(

)]=1+2



)<

24

∴ ∴



< .

点评: 本题考查数列的通项,考查不等式的证明.考查学生分析解决问题的能力,考查裂项求和法,综合性强. 5. (2014?广东二模)已知各项均为正数的数列{an}满足 an+1 =2an +anan+1,且 a2+a4=2a3+4,其中 n∈N . (1)求数列{an}的通项公式; (2)设数列{bn}满足 bn= ,是否存在正整数 m,n(1<m<n) ,使得 b1,bm,bn 成等比数列?若存
2 2 *

在,求出所有的 m、n 的值;若不存在,请说明理由. (3)令 cn= ,记数列{cn}的前 n 项和为 Sn(n∈N ) ,证明:
*

≤Sn< .

考点: 数列与不等式的综合;数列递推式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)由已知条件推导出数列{a }是公比为 2 的等比数列.由此能求出
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n

,n∈N .

*

(2)

=

,若 b1,bm,bn 成等比数列,则

.由此能求出当且仅当

m=2,n=12.使得 b1,bm,bn 成等比数列. (3) = [ ], 由此利用裂项求和法能证明 .

解答: (1)解:∵an+12=2an2+anan+1,∴(an+1+an) (2an﹣an+1)=0, 又 an>0,∴2an﹣an+1=0,即 2an=an+1, ∴数列{an}是公比为 2 的等比数列. 由 a2+a4=2a3+4,得 2a1+8a1=8a1+4,解得 a1=2. ∴数列{an}的通项公式为 ,n∈N .
2 *

(2)解:

=

,若 b1,bm,bn 成等比数列,则(

)=








2

,得



∴﹣2m +4m+1>0,解得:1﹣
*



又 m∈N ,且 m>1,∴m=2,此时 n=12. 故当且仅当 m=2,n=12.使得 b1,bm,bn 成等比数列. (3)证明: =
25

= [

]

= [

],



[

]

=

= ∵( )
n+1

, ?
n+1

递减, ? ≤ ,∴ .

∴0<( ) ∴

点评: 本题考查数列的通项公式的求法,考查等比数列的成立的条件的求法,考查不等式的证明,解题时要认真审 题,注意裂项求和法的合理运用.

6. (2014?大港区二模)已知数列{an}中,a1=1,a2= ,且 an+1= 前 n 项和,且 4Sn=bnbn+1,b1=2(n=1,2,3,…) . (1)求数列{bn}的通项公式; (2)设 cn=bn?
*

(n=2,3,4,…) .Sn 为数列{bn}的

,求数列{cn}的前 n 项的和 Pn; < .

(3)证明对一切 n∈N ,有

考点: 数列与不等式的综合;数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)解:由已知条件推导出 b1=2,bn+1﹣bn﹣1=4, (n≥2) ,当 n 为奇数时,bn=2n;当 n 为偶数时,bn=2n.由 此能求出数列{an}的通项公式.
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(2)由已知,对 n≥2 有

,由此能求出数列{bn}的通项公式.

(3)当 k≥2,有





,由此能够证明对

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一切 n∈N ,有

*

< .

解答: (1)解:由已知 b1=2,4Sn=bnbn+1,得 b2=4, 4Sn﹣1=bn﹣1bn,n≥2,4bn=bn(bn+1﹣bn﹣1) , 由题意 bn≠0,即 bn+1﹣bn﹣1=4, (n≥2) , 当 n 为奇数时,bn=2n;当 n 为偶数时,bn=2n. * 所以数列{an}的通项公式为 bn=2n,n∈N .…(4 分) (2)解:由已知,对 n≥2 有 = = ,

两边同除以 n,得







于是,

=﹣

=﹣(1﹣

) ,





=﹣(1﹣

) ,n≥2,



=

﹣(1﹣

)=



∴ ∴
n

,n≥2,又 n=1 时也成立, ,n∈N .
n+2 *

∴cn=2n?2 ,Pn=4+(n﹣1)?2 (3)当 k≥2,有 ∴n≥2 时,有 =1+ =1+ ( 当 n=1 时,
*

.…(8 分) < < ,

<1+ [( )<1+ = . .

)+(

)+…+(

)]

故对一切 n∈N ,有

< .…(14 分)

点评: 本题考查数列的通项公式的求法,考查数列前 n 项和的求法,考查不等式的证明,解题时要认真审题,注 意裂项求和法的合理运用. 7. (2014?唐山二模)在公差不为 0 的等差数列{an}中,a3+a10=15,且 a2,a5,a11 成等比数列.
27

(Ⅰ)求{an}的通项公式; (Ⅱ)设 bn= + +…+ ,证明: ≤bn<1.

考点: 数列与不等式的综合;数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ)由已知条件,利用等差数列的通项公式和等比数列的性质,列出方程组,求出等差数列的首项和公 差,由此能求出{an}的通项公式.
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(Ⅱ)由(Ⅰ)知 bn= 明 ≤bn<1.

+

+…+

,所以 bn+1﹣bn=

>0,由此利用单调性和放缩法能证

解答: 解: (Ⅰ)设等差数列{an}的公差为 d,由已知得 , d≠0,解得 a1=2,d=1, ∴an=n+1. (Ⅱ)由(Ⅰ)知 bn= bn﹣1= ∵bn+1﹣bn= = ∴bn+1>bn.∴ ∵bn= ≤ + + +…+ +…+ = <1, + >0, = . ﹣ + +…+ , ,

∴ ≤bn<1. 点评: 本题考查数列的通项公式的求法,考查不等式的证明,解题时要认真审题,注意放缩法的合理运用. 8. (2014?肇庆一模)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,对一切正整数 n,点 Pn(n,Sn)都在函数 f(x)=x +2x 的图 象上. (1)求 a1,a2; (2)求数列{an}的通项公式; (3)若 bn= ,求证数列{bn}的前 n 项和 Tn< .
2

考点: 数列与不等式的综合;数列的求和. 专题: 点列、递归数列与数学归纳法. 分析: (1)把点 Pn(n,Sn)代入函数 f(x)=x2+2x,得到数列{an}的前 n 项和,分别取 n=1,2 求得 a1,a2; (2)直接由 an=Sn﹣Sn﹣1(n≥2)求出数列通项,验证 a1 后得答案;
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(3)把(2)中求得的数列的通项公式代入 bn=
2

,利用裂项相消法求和后证明不等式 Tn<



解答: (1)解:∵点 Pn(n,Sn)都在函数 f(x)=x +2x 的图象上, ∴ ∴a1=S1=3, 又 ∴a2=5; (2)解:由(1)知, 当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=2n+1. 由(1)知,a1=3=2×1+1 满足上式, ∴数列{an}的通项公式为 an=2n+1; (3)证明:由(2)得, , , ,

∴Tn=b1+b2+…+bn = = = .

点评: 本题是数列与不等式的综合题,考查了数列的函数特性,训练了利用数列的前 n 项和求通项公式,考查了 利用裂项相消法求数列的和,体现了放缩法证明不等式的解题思想,是中高档题. 9. (2014?济宁一模)在等比数列{an}中,已知 a1=2,且 a2,a1+a3,a4 成等差数列. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式 an; (Ⅱ)求数列{log2an﹣an}的前 n 项和为 Sn; (Ⅲ) 设 bn= ,求证: .

考点: 数列与不等式的综合;数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ)由已知条件推导出 a2+a4=2(a1+a3) ,从而求出 q=2.由此能求出数列{an}的通项公式. n (Ⅱ)由 log2an﹣an=n﹣2 ,利用分组求和法能求出数列{log2an﹣an}的前 n 项和 Sn.
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(Ⅲ)由 .

=

,利用裂项求和法求出 b1+b2+…+bn=1﹣

,由此能证明

解答: (Ⅰ)解:设等比数列{an}的公比为 q, ∵a1=2,且 a2,a1+a3,a4 成等差数列, ∴a2+a4=2(a1+a3) ,∴q(a1+a3)=2(a1+a3) , ∵ ∴数列{an}的通项公式是
n

,∴q=2. .

(Ⅱ)解:∵log2an﹣an=n﹣2 ,
29

∴ =(1+2+3+…+n)﹣(2+2 +2 +…+2 ) =
2 3 n

= (Ⅲ)证明:∵ ∴b1+b2+…+bn =(1﹣ )+( =1﹣ ∵{1﹣ ∴1﹣ ∴ ,

. = ,

)+…+(



}是增数列, ≥1﹣ = , .

点评: 本题考查数列的通项公式的求法,考查数列前 n 项和的求法,考查不等式的证明,解题时要注意分组求和 法和裂项求和法的合理运用. 10. (2014?临沂一模)已知正项数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设数列 与的前 n 项和为 Tn,求证: . .

考点: 数列与不等式的综合. 专题: 综合题;点列、递归数列与数学归纳法. 分析: (Ⅰ)由数列递推式结合给出的 a1 求得 a2,在数列递推式中取 n=n﹣1 得另一递推式,作差后得到 an+1﹣an ﹣1=4,然后分 n 为偶数和奇数求得数列的通项公式,结合一起得到数列{an}的通项公式;
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(Ⅱ)把(Ⅰ)中求得的 an 代入 解答: (Ⅰ)解:∵

,对

分别缩小和放大证明不等式两边.

①,

∴4a1=a1?a2, 又 a1=2, ∴a2=4. 当 n≥2 时,4Sn﹣1=an﹣1?an ②, ①﹣②得:4an=an?an+1﹣an﹣1?an, 由题意知 an≠0, ∴an+1﹣an﹣1=4, * 当 n=2k+1,k∈N 时,a2k+2﹣a2k=4, 即 a2,a4,…,a2k 是首项为 4,公差为 4 的等差数列,
30

∴a2k=4+4(k﹣1)=4k=2×2k; * 当 n=2k,k∈N 时,a2k+1﹣a2k﹣1=4, 即 a1,a3,…,a2k﹣1 是首项为 2,公差为 4 的等差数列, ∴a2k﹣1=2+4(k﹣1)=4k﹣2=2×(2k﹣1) . * 综上可知,an=2n,n∈N ; (Ⅱ)证明:∵ ,



= 又∵





= 即得,

. .

点评: 本题考查了数列与不等式的综合,考查了等差数列通项公式的求法,体现了分类讨论的数学思想方法,对 于(Ⅱ)的证明,关键在于对数列的项的放缩,是中高档题. 11. (2014?海珠区一模)已知公差不为 0 的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S5=25,且 S1,S2,S4 成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)bn= (n∈N ) ,证明:对一切正整数 n,有 b1+b2+…+bn< .
*

考点: 数列与不等式的综合;等比数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列;不等式的解法及应用. 分析: (1)设等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d,由题意列方程组求得首项和公差,则数列{an}的通项公式可 求;
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(2)求出等差数列的前 n 项和,代入 bn=

,放缩后列项相消求和,则结论可证.

解答: (1)解:设等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d, 由 S5=25,且 S1,S2,S4 成等比数列,得

,解得:





∵d≠0, ∴ ,

则 an=1+2(n﹣1)=2n﹣1;
31

(2)证明:若 an=5,则 b1+b2+…+bn= . 若 an=2n﹣1,则 . ∴b1+b2+…+bn= = .





<1+ +(

)+(

)+…+(



点评: 本题考查了等差数列的通项公式,考查了放缩法证明数列不等式,是中档题. 12. (2014?马鞍山三模)已知数列{an}中,an+1=Sn﹣n+3,n∈N ,a1=2. * (Ⅰ)求证:当 n≥2,n∈N 时,{an﹣1}是等比数列; (Ⅱ)求{an}的通项公式; (Ⅲ)利用错位相减法求出 Tn,即可证明不等式 ≤Tn (n∈N ) .
* *

考点: 数列与不等式的综合;数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列. * 分析: (Ⅰ)根据等比数列的定义即可证明:当 n≥2,n∈N 时,{an﹣1}是等比数列; (Ⅱ)利用{an﹣1}是等比数列,即可求{an}的通项公式;
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(Ⅲ)设 bn= 解答: 解: (Ⅰ)∵

(n∈N )的前 n 项和为 Tn,求证: ≤Tn

*

(n∈N ) .

*



∴an+1﹣an=an﹣1?an+1﹣1=2(an﹣1) , ∴{an﹣1}从第二项起为公比等于 2 的等比数列. (Ⅱ)∵{an﹣1}从第二项起为公比等于 2 的等比数列. ∴a2=S1﹣1+3=4,a1=2a2﹣1≠2(a1﹣1) , ∴ (Ⅲ)由(Ⅱ)知 则 , 两式相减得 = , . ,



32

即 ∵ ∴ .

, ,

点评: 本题主要考查等比数列的应用,以及考查数列求通项、错位相减法求和,考查学生的计算能力. 13. (2014?韶关一模)已知{an}为公差不为零的等差数列,首项 a1=a,{an}的部分项 数列,且 k1=1,k2=5,k3=17. (1)求数列{an}的通项公式 an(用 a 表示) ; (2)设数列{kn}的前 n 项和为 Sn,求证: (n 是正整数) . 、 、…、 恰为等比

考点: 数列与不等式的综合;数学归纳法. 专题: 综合题;等差数列与等比数列. 分析: (1)由已知得 a1=a,a5=a+4d,a17=a+16d 成等比数列,可得 d,从而可求数列{an}的通项公式 an;
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(2)确定 式定理,可得

=a?3

n﹣1

,可得

,从而可得数列{kn}的前 n 项和为 Sn,利用二项

(n≥2) ,利用等比数列的求和公式,即可得出结论.

解答: (1)解:设数列{an}的公差为 d(d≠0) , 由已知得 a1=a,a5=a+4d,a17=a+16d 成等比数列, 2 ∴(a+4d) =a(a+16d) ,且 a≠0…(2 分) 得 d=0 或 ∵已知{an}为公差不为零 ∴ ,…(3 分) .…(4 分) ,∴ …(5 分) .

∴an=a1+(n﹣1)d= (2)证明:由(1)知 而等比数列 的公比

∴ 因此 ∵a≠0 ∴ =a?3
n﹣1

…(6 分) ,

…(7 分)
n



=
33

=3 ﹣n﹣1…(9 分)

∵当 n>1 时,

=2 +2n+1>2 +n+1 n n ∴3 ﹣n﹣1>2 , ∴ (n≥2)…(11 分)

n

n

∴当 n=1 时,

,不等式成立;

当 n≥2 时,

=

综上得不等式

成立.…(14 分)

点评: 本题考查数列与不等式的综合,考查数列的通项,考查等比数列的求和,考查小时分析解决问题的能力, 综合性强. ,n∈N .
*

14. (2014?汕头一模)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a1=2, (1)求 a2 的值; (2)求数列{an}的通项公式; (3)证明:对一切正整数 n,有 .

考点: 数列与不等式的综合;数列递推式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)由已知条件推导出

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,S1=a1=2,由此能求出 a2.

(2)由



两式相减得数列

是首项为﹣2,公比为﹣2 的等比数列,由此能求出数列{an}的通项公式. (3)当 m∈N 时,
*

,由此进行分类讨论,

能证明对一切正整数 n,有 解答: (1)解:∵a1=2, ∴ ,

. ,n∈N .
*

又∵S1=a1=2,∴a2=20.…(3 分) (2)解:当 n≥2 时, 两式相减得 , …(5 分)

34

整理得









,…(6 分)

又∵

,且





,…(7 分)

∴数列

是首项为

,公比为﹣2 的等比数列,



,∴

.…(9 分)

(3)证明:∵当 m∈N 时,

*

=

=

.…(10 分)

①当 n=1 时,

,…(11 分)
*

②当 n≥3 且 n 为奇数时,令 n=2m+1(m∈N ) ,

.…(12 分)

③当 n 为偶数时,令 n=2m(m∈N ) , 此时 综上,对一切正整数 n,有 …(13 分) .…(14 分)
35

*

点评: 本题考查数列的通项公式的求法,考查不等式的证明,解题时要注意构造法和放缩法的合理运用. 15. (2014?宝鸡二模)已知数列{an}的首项 a1=2,前 n 项和 Sn 满足 an+1=Sn+2(n∈N ) . (1)求数列{an}的通项公式 (2)若 bn=2log2an,对一切 n∈N ,
* *

+

+

+ …+

<t 恒成立,求实数 t 的最小值.

考点: 数列与不等式的综合. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)根据数列的递推关系,建立方程组即可求出求数列{an}的通项公式.
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(2)求出 bn=2log2an 的通项公式,利用裂项法求出数列{ 解答: 解: (1)由 an+1=Sn+2,得到 an=Sn﹣1+2,n≥2, 相减得:an+1=2an, 又 a1=2,a2=4,有 a2=2a1, 所以数列{an}是首项 a1=2,公比为 2 的等比数列, n 故 an=2 . n (2)由 bn=2log2an=2log22 =2n, 得到: 故, ∴要使, 则 t≥ , 故 t 的最小值为 . + + = + + +…+ +…+ = [1﹣ = +…

}的前 n 项和 Sn,解不等式即可得到结论.

, ]= (1 )< ,

<t 恒成立,

点评: 本题主要考查数列的通项公式和数列前 n 项和 Sn 的计算,以及数列与不等式的综合应用,利用裂项法是解 决本题的关键. 16. (2013?广东)设各项均为正数的数列{an}的前 n 项和为 Sn,满足 4Sn=an+1 ﹣4n﹣1,n∈N ,且 a2,a5,a14 构成 等比数列. (1)证明:a2= ;
2 *

(2)求数列{an}的通项公式; (3)证明:对一切正整数 n,有 .

考点: 数列与不等式的综合;等差数列与等比数列的综合. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)对于 ,令 n=1 即可证明;
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(2)利用 通项公式. (3)由(2)可得

,且

, (n≥2) ,两式相减即可求出

=

.利用“裂项求和”即可证明.

36

解答: 解: (1)当 n=1 时, ∵ (2)当 n≥2 时,满足 ∴ ∴ , ,



,且



∵an>0,∴an+1=an+2, ∴当 n≥2 时,{an}是公差 d=2 的等差数列. ∵a2,a5,a14 构成等比数列,∴ 由(1)可知, , ,解得 a2=3,

,∴a1=1∵a2﹣a1=3﹣1=2,

∴{an}是首项 a1=1,公差 d=2 的等差数列. ∴数列{an}的通项公式 an=2n﹣1. (3)由(2)可得式 ∴ = .

点评: 熟练掌握等差数列与等比数列的通项公式、“裂项求和”、通项与前 n 项和的关系 an=Sn﹣Sn﹣1(n≥2)是解题 的关键.
*

17. (2013?广东)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a1=1, (1)求 a2 的值; (2)求数列{an}的通项公式; (3)证明:对一切正整数 n,有 .

,n∈N .

考 数列与不等式的综合;等差数列与等比数列的综合. 点: 专 等差数列与等比数列. 题: 分 * (1)利用已知 a1=1, ,n∈N .令 n=1 即可求出; 析:
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(2)利用 an=Sn﹣Sn﹣1(n≥2)即可得到 nan+1=(n+1)an+n(n+1) ,可化为 利用等差数列的通项公式即可得出; (3)利用(2) ,通过放缩法 解 解: (1)当 n=1 时, 答: ,解得 a2=4
37



.再

(n≥2)即可证明.

(2) 当 n≥2 时, ①﹣②得 整理得 nan+1=(n+1)an+n(n+1) ,即 当 n=1 时, 所以数列{ 所以

① ②



}是以 1 为首项,1 为公差的等差数列 ,即 ,n∈N
*

所以数列{an}的通项公式为 (3)因为 所以

(n≥2)

= . 当 n=1,2 时,也成立. 点 熟练掌握等差数列的定义及通项公式、通项与前 n 项和的关系 an=Sn﹣Sn﹣1(n≥2) 、裂项求和及其放缩法等是解 评:题的关键. 18. (2013?宁波模拟)等差数列{an}中,2a1+3a2=11,2a3=a2+a6﹣4,其前 n 项和为 sn (Ⅰ)求数列{an}的通项公式. (Ⅱ)若数列{bn}满足 bn= ,其前 n 项和为 Tn,求证 Tn< .

考点: 数列与不等式的综合;等差数列的通项公式. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ)由 2a1+3a2=11,2a3=a2+a6﹣4,利用等差数列的通项公式求出 a1=1,d=2,由此能求出 an.
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(Ⅱ)由 a1=1,d=2,知 Sn=n .从而得到 bn= 解答: 解: (Ⅰ)等差数列{an}中, ∵2a1+3a2=11,2a3=a2+a6﹣4, ∴ 解得 a1=1,d=2, ∴an=1+2(n﹣1)=2n﹣1. (Ⅱ)∵a1=1,d=2, ∴Sn=n+ ×2=n .
38
2

2

= (

) ,由此利用裂项求和法证明 Tn< .



∴bn=

=

=

=

= (

) ,

∴Tn= [(1﹣ )+( = (1+ ﹣ = ﹣ ﹣ )

)+(

)+…+(

)+(

)]

< .

点评: 本题考查数列的通项公式的求法,考查不等式的证明,解题时要认真审题,注意裂项求和法的合理运用. 19. (2013?深圳模拟) 设{an}是公比大于 1 的等比数列, Sn 为数列{an}的前 n 项和. 已知 S3=7, 且 3a2 是 a1+3 和 a3+4 和的等差中项. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 ,数列{bn}的前 n 项和为 Tn,求证: .

考 数列与不等式的综合;等差数列的性质;等比数列的性质. 点: 专 等差数列与等比数列. 题: 分 (1)利用条件建立方程组,求出首项与公比,即可求得数列{an}的通项公式; 析: (2)利用裂项法求数列的和,即可证得结论. 解 答: (1)解:由已知,得 …(3 分)
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解得 a2=2. 设数列{an}的公比为 q,则 a1q=2, ∴ 由 S3=7,可知 ∴2q ﹣5q+2=0,解得 由题意,得 q>1,∴q=2. ∴a1=1. 故数列{an}的通项为 .
2

. , . …(5 分) …(7 分)

(2)证明:∵ ∴Sn= = .…(14 分)

=

=

,…(11 分) =

点 本题考查了等差数列、等比数列的概念及其性质,考查了数列求和的“裂项相消法”;考查了学生的运算能力和 评: 思维能力,属于中档题.
39

20. (2013?湛江二模)已知函数 f(x)=x ﹣2x+4,数列{an}是公差为 d 的等差数列,若 a1=f(d﹣1) ,a3=f(d+1) (1)求数列{an}的通项公式; (2)Sn 为{an}的前 n 项和,求证: .

2

考点: 数列与不等式的综合;数列的函数特性;等差数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)利用函数解析式,确定 a1,a3,即可求数列{an}的通项公式; (2)确定{an}的前 n 项和,再利用裂项法求数列的和,即可证得结论. 2 2 解答: (1)解:a1=f(d﹣1)=d ﹣4d+7,a3=f(d+1)=d +3, 又由 a3=a1+2d,可得 d=2,所以 a1=3,an=2n+1
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(2)证明:由题意,Sn= 所以, 所以, = ≥ =



点评: 本题考查等差数列的通项,考查裂项法求和,考查不等式的证明,属于中档题.

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