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2012高一数学 2.1.2 指数函数及其性质 第二课时课件 新人教A版必修1

时间:2012-06-06


2.1.2
第二课时

指数函数及其性质
指数函数性质的应用

学习目标

1.理解指数函数的单调性与底数a的关系,能运
用指数函数的单调性解决一些问题. 2.理解指数函数的底数a对函数图象的影响.

课前自主学案

第二课时

>课堂互动讲练

知能优化训练

课前自主学案

温故夯基 a>1 1.指数函数y=ax(a>0且a≠1),当______时为 0<a<1 增函数;当________时为减函数.

(0,1) 2.指数函数y=ax(a>0且a≠1)恒过定点______, (0,+∞). 其值域为___________
3.函数f(x)=ax的图象经过点(2,4),则f(-3)的 1 值是 . 8

4.指数函数的图象变换: (1)将函数y=2x 的图象向左平移一个单位即可得到 y=2x+1 函数_________的图象. y轴 (2)函数y=2x 的图象与y=2 - x 的图象关于____对 x轴 称. 原点 (3)函数y=2x 的图象与y=-2x 的图象关于___对

称. (4)函数y=2x的图象与y=-2-x的图象关于______ 对称. 将上述函数y=2x中的底数2变为a(a>0,且a≠1)时, 结论仍然成立.

知新益能

指数函数的性质
(1)函数y=2x在定义域(-∞,+∞)上为增函数,

若x=f(t)在t∈[M,N]上为增函数,则函数y=
增函数 2f(t) 在 t ∈ [M , N] 上 为 _______ ; 若 x = f(t) 在 减函数 t∈[M,N]上为_______,则函数y=2f(t)在t∈[M, 减函数. N]上为_________

上面的y=2x改为y=ax(a>1),结论仍然成立.

上面的y=2x改为y=ax(0<a<1),其余不变,相关

结论为:若t∈[M,N],f(t)为________,则y= 增函数
减函数 af(t)在t∈[M,N]上为_______;若t∈[M,N],f(t) 增函数. t ∈ [M , N] 上 为

为减函数 , 则 y = af(t) 在 ______
________

a>1 (2)已知am>an(a>0,且a≠1),如果m>n,则a的

0<a<1 取值范围是_______;如果m<n,则a的取值范
围是_________.

问题探究

1.y=af(x)与y=f(x)的单调性有什么关系?

提示:当a>1时,y=af(x) 与y=f(x)的单调性相同;
当0<a<1时,y=af(x)与y=f(x)的单调性相反.

2a 2b 2.如何比较( ) 与( ) 的大小? 5 5 2x 提示:可看作指数函数 y=( ) ,当 x=a 与 x=b 5 2x 时,两个函数值的大小,因为 y=( ) 为减函数, 5 2a 2b 当 a>b 时,( ) <( ) ; 5 5 2a 2b 当 a=b 时,( ) =( ) ; 5 5

2a 2b 当 a<b 时,( ) >( ) . 5 5

课堂互动讲练

考点突破 有关指数型复合函数的单调性 形如y=af(x)的单调性,要根据y=au,u=f(x) 这两者的单调性来确定.
例1

求下列函数的单调区间:

(1)y=a-x2+3x+2 (a>1); (2)y=2|x-1|.

【思路点拨】

求复合函数y=af(x)的单调区间时,

要先求出函数u=f(x)的单调区间,再根据指数函 数的性质求原函数的单调区间.

3 2 17 【解】 (1)设 u=-x +3x+2=-(x- ) + ,易知 2 4 3 3 u 在(-∞, ]上是增函数,在[ ,+∞)上是减函数. 2 2
2

3 3 ∴a>1 时,y=a 在(-∞, ]上是增函数,在[ ,+∞) 2 2
u

上是减函数.

(2)当x∈[1,+∞)时,函数y=2x-1. 而t=x-1为增函数,y=2t为增函数. ∴x∈[1,+∞),y=2x-1为增函数; 当x∈(-∞,1]时,函数y=21-x. 而t=1-x为减函数,y=2t为增函数. ∴y=21-x为减函数. 故函数y=2|x-1| 在(-∞,1]上为减函数,在[1, +∞)上为增函数. 【名师点拨】 本题是利用复合函数的单调性 的判定方法,对此首先要知道复合函数的基本 函数是什么,再确定每个函数的单调性.

互动探究1 对于本例的(1)中去掉a>1,其单调 区间怎样? 解:讨论 a>1 与 0<a<1 的情况: 3 ①当 a>1 时,由本例(1)可知,在(-∞, ]上是增函 2 3 数,在[ ,+∞)上是减函数. 2 3 2 17 2 ②当 0<a<1 时, u=-x +3x+2=-(x- ) + , 设 2 4 3 u u 在(-∞, ]上为增函数,y=a 为减函数, 2
3 - + + ∴x∈(-∞, ]时,y=a x2 3x 2 为减函数. 2

3 u 在[ ,+∞)上为减函数,y=au 为减函数, 2 3 - + + ∴x∈[ ,+∞)时,y=a x2 3x 2 为增函数. 2 综上所述,当 a>1 时,y=a
-x2+ 3x+ 2

3 在(-∞, ] 2

3 上为增函数,在[ ,+∞)上是减函数; 2 当 0<a<1 时,y=a
-x2+ 3x+ 2

3 在(-∞, ]上为减函 2

3 数,在[ ,+∞)上为增函数. 2

利用指数函数单调性比较大小 比较幂值大小的方法: (1)单调性法:比较同底数幂的大小,构造指数函

数,利用指数函数的单调性比较大小.
(2)中间量法:比较不同底数幂的大小,常借助于 中间值“1”进行比较,判断指数幂和“1”的大 小.

例2 比较下列各组数的大小.

3 -1.8 3 - 2 (1)( ) 与( ) ; 4 4 4 -2 -2 (2)0.6 与( ) 3; 3 1 0.3 - 0.2 (3)( ) 与 3 . 3

【思路点拨】

3x (1)直接利用函数 y=( ) 的单调性进 4

行比较; (2)中引入中间数; (3)化为同底后进行比较.

【解】 减函数.

3 3x (1)∵0< <1,∴y=( ) 在定义域 R 内是 4 4

3 -1.8 3 - 2 又∵-1.8>-2,∴( ) <( ) . 4 4 4 -2 4 0 -2 (2)∵0.6 >0.60=1,( ) 3<( ) =1, 3 3 4 -2 -2 ∴0.6 >( ) 3. 3 1 0.3 - 0.3 (3)∵( ) =3 ,-0.3<-0.2, 3 ∴3
- 0.3

<3

-0.2

1 0.3 - ,∴( ) <3 0.2. 3

【名师点拨】

在进行数的大小比较时,①若底

数相同,则可根据指数函数的图象及性质得出结 果;②若底数不同,先变同底,若不能变为同底, 通过插入中间量进行转化比较.

自我挑战 2 把下列四个数: 3 -1.8 3 - 2 4 -2 -2 ( ) 、( ) 、0.6 、( ) 3由小到大排列. 4 4 3 3 -1.8 3 - 2 4 -2 -2 解:由例 2 可知( ) <( ) ;0.6 >( ) 3, 4 4 3 4 -2 3 2 2 而( ) 3=( ) 3, >-1.8, 3 4 3 3 2 3 -1.8 ∴( )3<( ) . 4 4 3 -2 5 2 -2 0.6 =( ) =( ) , 5 3

3 -2 4 2 ( ) =( ) , 4 3

5x 4x 52 根据 y=( ) 与 y=( ) 的关系,可得( ) 3 3 3 42 3 -2 -2 >( ) ,即 0.6 >( ) . 3 4 4 -2 3 - 1.8 3 - 2 - 综上可知,( ) 3<( ) <( ) <0.6 2. 3 4 4

简单的指数不等式

对于形如af(x) >ag(x)(a>0且a≠1)的不等式, 要根据单调性转化为一般的代数不等式. 例3 如果a -5x >ax+7(a>0,且a≠1),求x 的取值范围. 【思路点拨】 讨论a的取值,确定y=ax的 单调性.

【解】 ①当 a>1 时,∵a 5x>ax 7, 7 ∴-5x>x+7,解得 x<- . 6 - 5x x +7 ②当 0<a<1 时,∵a >a , 7 ∴-5x<x+7 解得 x>- . 6 综上所述,x 的取值范围是:当 a>1 时, 7 7 x<- ;当 0<a<1 时,x>- . 6 6





【 名师点拨 】 以上 不等式为 同底型: a > g(x) a (a>0,且 a≠1)形式,解此种不等式的依据 是指数函数的单调性, 要养成判断底数取值范围 的习惯,若不确定,就需进行讨论,即 a >a
f(x) g(x)

f(x)

?f?x?>g?x?,a>1. ? ?? ? ?f?x?<g?x?,0<a<1.

互动探究3 本例中,若将“a-5x>ax+7(a>0, 且a≠1)”改为“(a2+a+2)-5x>(a2+a+2)x+7”, 如何求解? 12 7 2 解:∵a +a+2=(a+ ) + >1, 2 4 2 x ∴y=(a +a+2) 在 R 上是增函数. 7 ∴-5x>x+7,即 x<- , 6
7 ∴x 的取值范围是{x|x<- }. 6

方法感悟
方法技巧 1.比较指数幂的大小,可以按如下步骤进行比较: (1)与“0”比较,区分出正负数;(2)与“1”比较, 区分出比1大的数和比1小的数;(3)利用指数函数 的性质比较大小;(4)寻找中间数,利用单调性比 较大小;(5)用作差法或作商法比较大小.(如例2) 2.解指数不等式问题,需注意三点: (1)形如ax>ay的不等式,借助y=ax的单调性求解, 如果a的取值不确定,需分a>1与0<a<1两种情 况讨论;

(2)形如ax >b的不等式,注意将b化为以a为底的 指数幂的形式,再借助y=ax的单调性求解; (3)形如ax>bx的形式,利用图象求解.(如例3) 3.y=f(u),u=g(x),函数y=f[g(x)]的单调性有 如下特点: u=g(x) 增 增 减 减 y=f(u) 增 减 增 减 y=f[g(x)] 增 减 减 增

失误防范 1.求函数y=af(x)的单调区间时,要注意a的 取值(a>1,0<a<1)及定义域. 2.利用图象解不等式ax>bx时,要注意图 象的交叉变化.


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