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1.4.3正切函数的性质与图象


正切函数的性质与图象
回顾探究
试根据研究正、余弦函数的图象与性质的 经验,以同样的方法研究正切函数的图象 与性质.

周期性
由诱导公式得 ? tan( x ? ?) ? tan x, x ? R,x ? ? k ?, k ? Z 2 所以,正切函数是周期函数,周期是 ? .

奇偶性
由诱导公式

得 ? tan(? x) ? ? tan x, x ? R,x ? ? k ?, k ? Z 2

所以正切函数式奇函数.

单调性
v
T

如图(1)(2),由正切线
v

的变换规律可得,正
x
A

x
O

A

u

O

u
T

? ?? 内 切函数在 ? ?? , ?

是增函数,又由正切 函数的周期性可知,

?

2 2?

(2)
v x
O
A

(1)
v x u
O

T
A

正切函数在开区间
u
? ? ? ? ? ? k ? , ? k ? ? ?, 2 ? 2 ?

T

(3)

(4)

k ? Z 内都是增函数.

v
O

值域

? ? A 如图(1) , 当x大于 ? 且无限接近 ? 时, x 2 2 u 正切线AT向Ov轴的负方向无限延伸; T

(1) v
T

x
O

A

u

? ? 如图(2) ,当x小于 且无限接近 时, 2 2 正切线AT向Ov轴的正方向无限延伸;

(2)

所以正切函数的值域是实数集R.

利用正切线画出一个周期内的正切函数图象 Y 作法如下:

?1.作直角坐标系,并在直角
坐标系y轴左侧作单位圆.

2.找横坐标(把 x 轴上 ? 到 这一 2 2 段分成8等份)
3.把单位圆右半圆中作出正 切线并平移.

?

?

3? ? ? O ? ? 3? ? ? ? 8 4 8 8 4 8

X

4.找交叉点,用平滑的曲线把 这些点连起来.

利用正切函数的周期性,把图象向左、右扩展,得到正 ? 切函数y ? tan x, x ? R且x ? ? k ?(k ? Z)的图象,并把它 2

叫做正切曲线.

y

?

3? 2

??

?

? 2

0

? 2

?

3? 2

x

从图中可以看出, 正切曲线是由被相互平行的直线 ? x ? ? k ?, k ? Z所隔开的无穷多支曲线组成的. 2

正切函数性质和图象 定义域 ? x ? R ,x ? ? k ?, k ? Z 2 值域
全体实数R

图象
y
? 3? 2

o

x

周期性
正切函数是周期函数
单调性

奇偶性
正切函数是奇函数,正 切曲线关于原点0对称

正切函数在开区间

? ? ? ? ? ? k ? , ? k ? ? ?, k ?Z 2 ? 2 ? 内都是增函数。

(1)正切函数在整个定义域内是增函 数吗?为什么?

(2)正切函数会不会在某一区间内是 减函数呢?为什么?

? ?? 例1 求函数 y ? tan ? 的定义域、周期和单调区间. ? x? ? 3? ?2 ? ? ? 解:函数的自变量 x应满足 x ? ? k ? ? , k ? Z, 2 3 2



? x ? 2k ? , k ? Z, 3

? ? ? 所以,函数的定义域是 ? x x ? 2k ? , k ? Z? . 3 ? ? ?? ? ?? ?? ? 由于 y ? tan ? x ? ? ? tan ? x ? ? ? ? 3? 3 ?2 ?2 ?
?? ?? ? tan ? ? x ? 2 ? ? ? ? f ( x ? 2), 3? ?2

因此函数的周期为2.



? ? ? ? k ? ? < x ? <k ? ? , k ? Z, 2 2 3 2 ? ? 2k ? <x<2k ? , k ? Z. 3 3

解得

因此,函数的单调递增区间是:
? ?? ? ? 2k ? ,2k ? ? , k ? Z. 3 3? ?

巩固与提高
1.观察正切曲线,写出满足下列条件的x的值的范围: (1)tan x>0; (2)tan x=0; (3)tan x<0. 2.求函数y=tan 2x的定义域. 3.求下列函数的周期:
(1) (2)
k? y ? tan( 2 x ? ), x ? ? (k ? Z ) 4 8 2

?

?

x ?? y ? 5 tan , x ? 2k? (k ? Z ). 2

4.不通过求值,比较下列各组中两个正切函数值的大小: 13 17 ? ? (1) t an138 与 t an143 ; ? )与 tan( ? ? ). (2) tan( ? 4 5


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