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江苏省宿迁市2015-2016学年高一数学下学期期末考试试题


宿迁市 2015-2016 学年高一下学期期末考试 数 学

(考试时间 120 分钟,试卷满分 160 分) 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上 . ........ 1.已知直线 l 经过点 A( ?2, 0) , B (?5,3) ,则直线 l 的倾斜角为 ▲ . 2.在 ?ABC 中,已知

AB ? 3 , AC ? 1 , A ? 30? ,则 ?ABC 的面积为 ▲ . 3.不等式 x(1 ? x) ? 0 的解集为 ▲ . 4.经过点 ( ?1 , 2) ,且与直线 2 x ? y ? 5 ? 0 平行的直线方程为 ▲ . 5.在 ?ABC 中,角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ,若 b ? c ? a ? bc ,则角 A
2 2 2

的大

小为 ▲ . 6.在数列 ?an ? 中,已知 a1 ? 1 ,且 an ?1 ? an ? n , n ? N* ,则 a9 的值为 ▲ . 7.已知正四棱锥底面边长为 2 ,侧棱长为 6 ,则此四棱锥的体积为 ▲ . 8.已知直线 l1 : ax ? (a ? 2) y ? 1 ? 0 , l2 : x ? ay ? 2 ? 0 ,若 l1 ? l 2 ,则实数 a 的值为 ▲ .
? y ≥ x, ? 9.若实数 x , y 满足条件 ? x ? y ≥ 4, ,则 z ? 2 x ? y 的最大值为 ? x ? 3 y ? 12 ≥ 0 ?

▲ .

10.在等比数列 ?an ? 中,已知 a2 ? 2 , a8 ? 32 ,则 a5 的值为 ▲ .

?1? 11.已知实数 x , y 满足 2 x ? y ? 4 ,则 4 ? ? ? 的最小值为 ▲ . ?2?
x

y

12. 已知 m , 则下列四个命题中, 所有正确命题的序号为 ▲ . n 表示两条不同的直线, ? 表示平面, ① 若 m ? ? , n ? ? ,则 m // n ; ③ 若 m ? ? , m ? n ,则 n // ? ; 13.设 Sn 为数列 ?an ? 的前 n 项和,已知 an ? ? ② 若 m ? ? , n ? ? ,则 m ? n ; ④ 若 m / /? , n / /? ,则 m // n .

?11 , n ? 1, S n ? N* ,则 n 的 最小值 为 ▲ . n ?n ? 1, n ≥ 2,

14.已知直线 l 的方程为 ax ? by ? c ? 0 ,其中 a , b , c 成等差数列,则原点 O 到直线 l 距离的最 大值为 ▲ . 二、解答题:本大题共 6 小题,15-17 题每小题 14 分,18-20 题每小题 16 分,共计 90 分.请在答 .

1

题卡指定区域内作答 ,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ......... F 分别是棱 BC , B1C1 的中点, E 是 15.如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,已知 AB ? AC , D , 棱 CC1 上的一点.求证: (1)直线 A1 F //平面 ADE ; (2)直线 A1 F ? 直线 DE . A1 B1 F E C1

A B D
(第 15 题)

C

1 ? π 3 16. 已知 ? , ? ? (0, ) , sin(? ? ) ? , tan ? ? . 2 4 5 2 sin ? (1) 求 的值; ? ? 2? ) 的值. (2) 求 tan(

17.已知直线 l 的方程为 x ? my ? 2m ? 1 ? 0 , m ? R 且 m ? 0 . (1) 若直线 l 在 x 轴, y 轴上的截距之和为 6 ,求实数 m 的值; (2) 设直线 l 与 x 轴, y 轴的正半轴分别交于 A , B 两点, O 为坐标原点,求 ?AOB 面积最小 时直线 l 的方程.

2

18.如图,洪泽湖湿地为拓展旅游业务,现准备在湿地内建造一个观景台 P ,已知射线 AB , AC 为湿地两边夹角为 120? 的公路(长度均超过 2 千米),在两条公路 AB , AC 上分别设立游 N, N 建造两条观光线路 PM , PN , 客接送点 M , 从观景台 P 到 M , 测得 AM ? 2 千米,AN ? 2 千米. (1) 求线段 MN 的长度; (2) 若 ?MPN ? 60? ,求两条观光线路 PM 与 PN 之和的最大值. P C N A
(第 18 题)

M

B

19.已知函数 f ( x) ? 2 x2 ? ax ? a 2 ? 4 , g ( x) ? x 2 ? x ? a 2 ? 8 , a ? R . (1) 当 a ? 1 时,解不等式 f ( x) ? 0 ; (3) 若对任意 x1 ? ?0,1?,总存在 x 2 ? ?0,1? ,使得不等式 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立,求实数 a 的取值 范围. (2) 若对任意 x ? 0 ,都有 f ( x) ? g ( x) 成立,求实数 a 的取值范围;

20.在等差数列 {an } 中,已知 a1 ? 1 ,公差 d ? 0 ,且 a1 , a 2 , a5 成等比数列,数列 {bn } 的 前 n 项和为 Sn , b1 ? 1 , b2 ? 2 ,且 Sn ? 2 ? 4Sn ? 3 , n ? N* . (1) 求 a n 和 bn ; (2) 设 cn ? an (bn ? 1) ,数列 {cn } 的前 n 项和为 Tn ,若 (?1)n ? ≤ n(Tn ? n2 ? 3) 对任意
n ? N* 恒成立,求实数 ? 的取值范围.

3

宿迁市 2015—2016 学年度第二学期高一年级期末调研测试 数 学 参考答案及评分标准 一、填空题 1.

3p 4

2.

3 4

3.(0,1) 9. 18 10. ± 8

4. 2 x ? y ? 0 11. 8

5.

p 3

6. 37 12. ① ②

7. 1 3.

8 3
23 4

8. a ? 0 或 a ? ?3 14. 5 二、解答题

F 分别是棱 BC, B1C1 上的中点, 15.(1)连结 DF ,因为三棱柱 ABC ? A1 B1C1 为直三棱柱, D ,
所以 DF // BB1 且 DF ? BB1 , AA 1 // BB 1 且 AA 1 ? BB 1. 所以 DF // AA 1 且 DF ? AA 1, 所以四边形 AA1 FD 为平行四边形, 所以 A1 F ∥ AD , 又因为 A1F ? 平面 ADF , AD ? 平面 ADF 所以直线 A1 F // 平面 ADE . (2)因为 AB ? AC , D 是棱 BC 的中点, 所以 AD ? BC .………………………………………8 分 又三棱柱 ABC ? A1 B1C1 为直三棱柱, 所以 BB1 ? 面 ABC . 又因为 AD ? 面 ABC , 所以 AD ? BB 1 . 因为 BC ,BB1 ? 面 BB1C1C ,且 BC ? BB1 =B 所以 AD ? 面 BB1C1C , ……………………………………………………………………12 分 又因为 DE ? 面 BB1C1C , 所以直线 AD ? 直线 DE . 16.(1)因为 ? ? (0, ) ,所以 ? ? ? (? , ) , ………………………………………14 分 A ………………………………………6 分 A1 B1 F E C1 …………………………………4 分

C

D B ………………………………………10 分

π 2

π 4

π π 4 4

π π 4 故 cos(? ? ) ? 1 ? sin 2 (? ? ) ? . 4 4 5

……………………………………2 分

轾 骣 π÷ π π π ? 所以 sina = sin 犏 a- ÷ + = sin(a - )cosa + cos(a - )sina ? ÷ 犏 ÷ ? 4 4 4 桫 4 臌

……………………5 分

4

=

3 2 4 2 7 2 . …………………………………………………………6 分 ? ? ? ? 5 2 5 2 10
π 2
2 .………………………………8 分 10 ………………………………………9 分

(2)因为 ? ? (0, ) ,由(1)知, cos ? ? 1 ? sin 2 ? ? 所以 tan ? ? 7

1 , 2 2 tan ? 1 4 所以 tan 2? ? ? ? . 2 1 1 ? tan ? 1 ? 3 4
因为 tan ? ?

………………………………………12 分

4 7? tan ? ? tan 2 ? 3 ? ?1 . ? 故 tan(? ? 2 ? ) ? 1 ? tan ? ? tan 2 ? 1 ? 7 ? 4 3
17.(1)令 x ? 0 ,得 y ? 2 ?

………………………………14 分

1 . m 令 y ? 0 ,得 x ? 2m ? 1 .
由题意知, 2m ? 1 ? 2 ? 即 2m ? 3m ? 1 ? 0 ,
2

…………………………………2 分

1 ? 6 .………………………………………………………4 分 m

解得 m ? (2)方法一:

1 或 m ? 1. 2

………………………………………6 分

由(1)得 A(2m ? 1,0), B(0,2 ?

1 ), m

? 2m ? 1 ? 0, ? 由? 解得 m ? 0 .………………………………………………………………8 分 1 2 ? ? 0. ? m ?

S ?ABC ?

1 1 1 1 1 AO ? BO ? 2m ? 1 ? 2 ? ? (2m ? 1)(2 ? ) 2 2 m 2 m

…………………10 分

1 1 ? (m ? )( 2 ? ) 2 m
? 2 ? 2m ?
当且仅当 2m ?

1 ≥ 2 ? 2 ? 4 , ………………………………………………………12 分 2m
………………………………………13 分 ……………………………14 分

1 1 ,即 m ? 时,取等号. 2m 2

此时直线 l 的方程为 2 x ? y ? 4 ? 0 . 方法二: 由 x ? my ? 2m ? 1 ? 0 ,得 ( x ? 1) ? m( y ? 2) ? 0 .

5

?x ?1 ? 0 ?x ? 1 所以 ? ,解得 ? . ?y ? 2 ? 0 ?y ? 2
所以直线 l 过定点 P(1,2) .…………………………………… ………………………………8 分 设 A(a,0), B(0, b)(a ? 0, b ? 0) ,则直线 l 的方程为: 将点 (1,2) 代人直线方程,得

x y ? ? 1(a ? 0, b ? 0) . a b

1 2 ? ? 1 .…………………………………………………10 分 a b

由基本不等式得

1 2 2 ? ≥2 , ab ≥ 8 .………………………………………………12 分 a b ab

当且仅当

1 2 ? ,即 a ? 2, b ? 4 时,取等号.…………………………………………13 分 a b
1 ab ≥ 4 , 2

所以 S?ABC ?

当 ?AOB 面积最小时,直线 l 的方程为 2 x ? y ? 4 ? 0 .………………………………14 分 18.(1)在 ?AMN 中,由余 弦定理得, MN 2 ? AM 2 ? AN 2 ? 2 AM ? AN cos120? ……………………………………………… ……2 分 = 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? ( ? ) ? 12 ,
2 2

1 2

所以 MN ? 2 3 千米.

………………………………4 分

(2)设 ?PMN ? ? ,因为 ?MPN ? 60? ,所以 ?PNM ? 120? ? ? 在 ?PMN 中,由正弦定理得,

MN PM PN ? ? .………………………………………………………6 分 sin ?MPN sin(1200 ? ? ) sin ?
因为

2 3 MN ? ? 4, 0 sin ?MPN sin 60
0

所以 PM ? 4 sin(120 ? ? ), PN ? 4 sin ?
0

……………………………………8 分

因此 PM ? PN ? 4 sin(120 ? ? ) ? 4 sin ? ………………………………………10 分

= 4(

3 1 cos? ? sin ? ) ? 4 sin ? 2 2
……………………………13 分

= 6 sin ? ? 2 3 cos? = 4 3 sin(? ? 300 ) 因为 0? ? ? ? 120? ,所以 30? ? ? ? 30? ? 150? .

0 0 0 所以当 ? ? 30 ? 90 ,即 ? ? 60 时, PM ? PN 取到最大值 4 3 .………15 分

6

答:两条观光线路距离之和的最大值为 4 3 千米. 19.(1)当 a ? 1 时, f ( x) ? 2 x 2 ? x ? 3 ? 0

………………………………16 分

所以 (2 x ? 3)( x ? 1) ? 0 ,…………………………………………………………………2 分 解得 ?1 ? x ?

3 . 2

………………………………………………3 分

所以当 a ? 1 时,不等式 f ( x) ? 0 的解集为 ? x | ?1 ? x ?
2 2 2 2

? ?

3? ?. 2?

……………4 分

(2)由 f ( x) ? g ( x) ,得 2 x ? ax ? a ? 4 ? x ? x ? a ? 8 , 即 x2 ? (a ? 1) x ? 4 ? 0 . 所以 (a ? 1) x ? x2 ? 4 ,因为 x ? 0 ,所以 a ? 1 ? x ? 因为 x ?

4 .……………………………6 分 x

4 4 ≥ 4 ,当且仅当 x ? ,即 x ? 2 时,取等号. x x
…………………………………………8 分 ………………………………………10 分

所以 a ? 5 , 所以实数 a 的取值范围为 (??,5) . (3)由题意知, f ( x) min ? g ( x) min . 因为 g ( x) ? ( x ? ) ? a ?
2 2

33 , 4 1 33 2 当 x ? ?0,1? 时, g ( x) min ? g ( ) ? a ? . ………………………………12 分 2 4 a 2 7 2 又因为 f ( x) ? 2 x2 ? ax ? a2 ? 4 ? 2( x ? ) ? a ? 4 4 8 33 2 2 2 当 a ? 0 时, f ( x) min ? f (0) ? a ? 4 ,因为 a ? 4 ? a ? 成立, 4
所以 a ? 0 时, f ( x) min ? g ( x) min …………………………………………13 分

1 2

当 0 ≤ a ≤ 4 时, f ( x)min ? f ( ) ? a2 ? 4 , 由

a 4

7 8

7 2 33 a ? 4 ? a 2 ? ,解得 a ? 34 . 8 4
………………………………………………14 分

因此 0 ≤ a ≤ 4 .

2 当 a ? 4 时, f ( x) min ? f (1) ? a ? a ? 2 ,

33 25 25 ,解得 a ? ,所以 4 ? a ? …………………15 分 4 4 4 25 综上, a 的取值范围为 ( ?? , ) . ………………………………………………16 分 4
因为 a ? a ? 2 ? a ?
2 2

7

20. (1)设数列 {an } 的公差为 d,由题设可得 (1 ? d )2 ? 1? (1 ? 4d ) . 解得 d=0(舍)或 d=2,所以 an ? 2n ? 1. 由S
n?2

………………………………………2 分 ………………………………………4 分

? 4Sn ? 3 ,可得 Sn?2 ? 1 ? 4(Sn ? 1)

又因为 b1 ? 1 , b2 ? 2 ,所以 S1 ? 1 ? 2 , S2 ? 1 ? 4 . 当 n 为奇数时, Sn ? 1 ? 2 ;
n

当 n 为偶数时, Sn ? 1 ? 2 .
n

所以 Sn ? 1 ? 2 , n ? N
n

?

………………………………………6 分
n?1

当 n ≥ 2 时, bn ? Sn ? Sn?1 ? 2 所以 bn ? 2
n?1

, ………………………………………8 分

, n ? N? .
n?1

(2)因为 cn ? (2n ?1)(2
0 1

?1) ? (2n ?1) ? 2n?1 ? (2n ?1) ,
2 n ?2

则 Tn ? 1? 2 ? 3? 2 ? 5 ? 2 ? ?? (2n ? 3)2
0 1 2

? (2n ?1)2n?1 ? n2 . ? (2n ?1)2n?1

设 M n ? 1? 2 ? 3? 2 ? 5 ? 2 ? ?? (2n ? 3)2 则 2M n ? 1? 2 ? 3? 2 ? ? ? (2n ? 3)2
1 2 2 3 n?1

n ?2

? (2n ?1)2n
n n

两式相减,得 ?M n ? 1 ? 2 ? 2 ? ?? 2 ? (2n ?1)2 ? ?(2n ? 3)2 ? 3
n

所以 M n ? (2n ? 3)2 ? 3 .
n

所以 Tn ? (2n ? 3)2 ? n ? 3
n 2

………………………………………12 分
n

令 en ? n(Tn ? n ? 3) ? n(2n ? 3)2 ,
2

由 en ? en ?1 ,得 n(2n ? 3)2 n ? ( n ?1)(2 n ?1)2 n?1 即 n(2n ? 3) ? 2(n ? 1)(2n ? 1) ,解得对任意 n ? N* 成立,即数列 ?en ? 为单调递增数列.…14 分 当 n 为奇数时, ?? ≤ e1 ? ?2 ,所以 ? ≥ 2 ; 当 n 为偶数时, ? ≤ e2 ? 8 , 所以 2 ≤ ? ≤ 8 . ………………………………………16 分

8


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