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2015高中立体几何专项训练经典习题及答案

时间:2016-02-18


高中立体几何专题训练经典习题
一、选择题(每题 5 分,共 60 分) 1.在一个几何体的三视图中,正视图和俯视图如右图,则相应的侧视图可以为( )

2.将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如右图所示,则该几何体的左视图为(



3.(高考湖南卷文科 4)设图1是某几何体的三视图,则该 几何体的体积为(

) A. 9? ? 42 B. 36? ? 18 C. ? ? 12

3

9 2

D. ? ? 18

9 2

2 3

4.某几何体的三视图如图所示,则它的体积是( A) 8 ?



正视图

侧视图

2? 3

(B) 8 ?

(C) 8 ? 2?

? 3 2? (D) 3
俯视图 图1

5.一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等,体积为 2 3 ,它的三视图中的俯视图如右图所 示.左视图是一个矩形.则这个矩形的面积是( )

(A)4

(B) 2 3

(c)2

(D)

3

6. l1 , l2 , l3 是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是( (A) l1 ? l2 , l2 ? l3 ? l1 // l2 (C) l1 // l2 // l3 ? l1 , l2 , l3 共面

)

(B) l1 ? l2 , l1 // l3 ? l2 ? l3 (D) l1 , l2 , l3 共点 ? l1 , l2 , l3 共面 )

7.若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其侧面积 等于 ( ... A. 3 B.2 C. 2 3 D.6

8.在空间,下列命题正确的是( ) A.平行直线的平行投影重合 B.平行于同一直线的两个平面平行 C.垂直于同一平面的两个平面平行 D.垂直于同一平面的两条直线平行 9.一个几何体的三视图如图,该几何体的表面积是(

)

(A)372 (B)360 (C)292 (D)280 10.设长方体的长、 宽、 高分别为 2a、 a、 a,其顶点都在一个球面上, 则该球的表面积为( ) 2 2 (A)3 ? a (B)6 ? a 2 (C)12 ? a (D) 24 ? a2 11.设球的体积为 V1,它的内接正方体的体积为 V2,下列说法中最合适的是( ) A. V1 比 V2 大约多一半 B. V1 比 V2 大约多两倍半 C. V1 比 V2 大约多一倍 D. V1 比 V2 大约多一倍半 12.下图是长和宽分别相等的两个矩形.给定下列三个命题:①存在三棱柱,其正(主)视图、 俯视图如下图; ②存在四棱柱, 其正(主)视图、 俯视图如下图; ③存在圆柱,其正(主)视图、 俯视图如下图.其中真命题的个数是( )

(A)3 (B)2 (C)1 (D)0 二、填空题(每题 4 分,共 16 分) 13.如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=2,点 E 为 AD 的中点,点 F 在 CD 上,若 EF∥ 平面 AB1C,则线段 EF 的长度等于_____________. 14.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为 .

15 .已知四棱椎 P ? ABCD 的底面是边长为 6 的正方形,侧棱 PA ? 底面 ABCD ,且 PA ? 8 ,则该四棱椎的体积是 。 16.一个几何体的正视图为一个

三角形,则这个几何体可能是下列几何体中的_______ (填入所有可能的几何体前的编号). ①三棱锥 ②四棱锥 ③三棱柱 ④四棱柱 ⑤圆锥 ⑥圆柱 三、解答题(共 74 分) 17. (本小题满分 12 分)

ABCD ,底面 ABCD 是平行四边形, 如图,在四棱台 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, D 1 D ? 平面
AB=2AD , AD=A1B1 , ?BAD= 60°.

(Ⅰ)证明: AA1 ? BD ; (Ⅱ)证明: CC1∥平面A1BD . 18. (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,平面 PAD⊥平面 ABCD,AB=AD,∠BAD=60°,E、F 分别是 AP、AD 的中点.求证: (1)直线 EF∥平面 PCD; (2)平面 BEF⊥平面 PAD.

19. (本小题满分 12 分) 在如图所示的几何体中,四边形 ABCD 是正方形, MA ? 平面 ABCD , PD // MA , E 、 G 、 F 分别为 MB 、 PB 、 PC 的中点,且 AD ? PD ? 2 MA .(I)求证:平面 EFG ? 平面 PDC ; (II)求三棱锥 P ? MAB 与四棱锥 P ? ABCD 的体积

之比.

20.(本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,AB⊥AD,点 E 在线段 AD 上,且 CE∥AB。 (1) 求证:CE⊥平面 PAD;

(Ⅱ)若 PA=AB=1,AD=3,CD= 2 ,∠CDA=45° ,求四棱锥 P-ABCD 的体积

21.如图,在直四棱柱 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中,底面 ABCD 为等腰梯形,AB//CD,AB=4, D1 C1 BC=CD=2, AA 1 =2, E、E 1 分别是棱 AD、AA 1 的中点. A1 (Ⅰ)设 F 是 AB 的中点, 证明:直线 EE 1 //平面 FCC 1 ; E1 (Ⅱ)证明:平面 D1 AC ⊥平面 BB1C1C . A 22.如图,在多面体 ABCDEF 中,四边形 ABCD 是正方形,AB=2EF=2, EF∥AB,EF⊥FB,∠BFC=90° ,BF=FC,H 为 BC 的中点, (Ⅰ)求证:FH∥平面 EDB; (Ⅱ)求证:AC⊥平面 EDB; D (Ⅲ)求四面体 B—DEF 的体积; E F D C

B1

B

E

F

C

H

立体几何答案

A

B

一、选择题(每题 5 分,共 60 分) 1.D 2.D 3.D 4. A 5. B 6.B 7.D 【解析】由正视图知:三棱柱是以底面边长为 2,高为 1 的正三棱柱,所以底面积为

2?

3 ? 4 ? 2 3 ,侧面积为 3 ? 2 ?1 ? 6 ,选 D. 4

8.D 【解析】 由空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质定理可以很容易得出 答案。 9.B 【解析】 该几何体由两个长方体组合而成, 其表面积等于下面长方体的全面积加上面长方体 的 4 个侧面积之和。 10.B 【解析】根据题意球的半径 R 满足 (2R)2 ? 6a 2 ,所以 S球 =6? a .
2

S ? 2(10 ? 8 ? 10 ? 2 ? 8 ? 2) ? 2(6 ? 8 ? 8 ? 2) ? 360 .
11.D 【解析】设球半径为 R,其内接正方体棱长为 a,则 a2 ? a2 ? a2 ? 2R ,即 a ?

2 3R, 由 3

4 8 v1 ? ? R3 , v2 ? a3 ? 3R3 ,比较可得应选 D. 3 9 12.A【解析】对于①,可以是放倒的三棱柱;容易判断②③可以. 二、填空题(每题 4 分,共 16 分)
13. 2 【解析】 由于在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,AB=2,所以 AC= 2 2 .又 E 为 AD 中点, EF∥平 面 AB1C, EF ? 平面 ADC, 平面 ADC ? 平面 AB1C=AC, 所以 EF∥AC, 所以 F 为 DC 中点 , 所以 EF=

1 AC = 2 . 2

14.3 【解析】由三视图知,该几何体是一个底面为直角梯形的直棱柱,棱柱的高为 1,梯形的上 下

底面边长分别为 1、2,梯形的高为 2,所以这个几何体的体积为 15.96【解析】考查棱锥体积公式 V ? 16.①②③⑤. 三、解答题(共 74 分) 17. (本小题满分 12 分)

1 (1 ? 2) ? 2 ? 1 ? 3 . 2

1 ? 36 ? 8 ? 96 3

【解析】 (Ⅰ)证明:因为 AB=2AD ,所以设 AD=a, 则 AB=2a, 又 因 为 ?BAD= 60 ° , 所 以 在 ?ABD 中 , 由 余 弦 定 理 得 :

BD2 ? (2a)2 ? a2 ? 2a ? 2a ? cos60? ? 3a2 ,所以 BD= 3a ,所以 AD2 ? BD2 ? AB2 ,故 BD
⊥AD,又因为

D1D ? 平面 ABCD ,所以 D1D ? BD,又因为 AD ? D1D ? D , 所以 BD ? 平面 ADD1 A1 ,
故 AA1 ? BD .

ABCD 是平行四边形得:O 是 AC 的中点,由四 (2)连结 AC,设 AC ? BD=0, 连结 AO 1 ,由底面
棱台 ABCD? A 1 B 1 C 1 D 1 知 : 平面 ABCD ∥平面 A 1B 1 C1 D 1, 因为这两个平面同时都和平面
? ACAC 1 1 相交,交线分别为 AC、 AC 1 1 ,故 AC ? AC 1 1 ,又因为 AB=2a, BC=a, ?ABC=120 ,

所以可由余弦定理计算得 AC= 7a ,又因为 A1B1=2a, B1C1=

3 a , ?A1B1C1 =120? ,所以 2

可由余弦定理计算得 A1C1=

7 a ,所以 A1C1∥OC 且 A1C1=OC,故四边形 OCC1A1 是平行四边形, 2

所以 CC1∥A1O,又 CC1 ? 平面 A1BD,A1O ? 平面 A1BD,所以 CC1∥平面A1BD . 18. (本小题满分 12 分) 【解析】证明: (1)因为 E、F 分别是 AP、AD 的中点,

所以 EF∥PD,又因为 EF ? 平面 PCD,PD ? 平面 PCD,所以直线 EF∥平面 PCD; (2)设 AB=AD= 2 a ,则 AF= a ,又因为∠BAD=60°, 所以在 ?ABF 中,由余弦定理得:BF= 3a , 所以 AF ? BF ? 4a ? AB ,所以 BF⊥AF,
2 2 2 2

BF ? 平面 ABCD, 因为平面 PAD⊥平面 ABCD, 交线为 AD, 所以 BF⊥平面 PAD, 因为 BF ? 平面 BEF,所以平面 BEF⊥平面 PAD. 19. (本小题满分 12 分)

【解析】 (I)证明:由已知 MA ? 平面 ABCD,PD ∥MA, 所以 PD ? 平面 ABCD 又 BC ? 平面 ABCD, 因为 四边形 ABCD 为正方形, 所以 PD⊥ BC 又 PD∩DC=D, 因此 BC⊥平面 PDC 在△PBC 中,因为 G 平分为 PC 的中点, 所以 GF∥BC 因此 GF⊥平面 PDC 又 GF 平 ? 面 EFG,

所以 平面 EFG⊥平面 PDC. (Ⅱ )解:因为 PD⊥平面 ABCD,四边形 ABCD 为正方形,不妨设 MA=1, 则 PD=AD=2,ABCD 所以 Vp-ABCD=1/3S 正方形 ABCD,PD=8/3 由于 DA⊥面 MAB 的距离 所以 DA 即为点 P 到平面 MAB 的距离, 三棱锥 Vp-MAB=1/3×1/2×1×2×2=2/3,所以 Vp-MAB:Vp-ABCD=1:4。 20.(本小题满分 12 分)

【解析】(1)证明:因为 PA⊥平面 ABCD,CE ? 平面 ABCD,所以 PA⊥CE, 因为 AB⊥AD,CE∥AB,所以 CE⊥AD,又 PA ? AD=A,所以 CE⊥平面 PAD. (2)解:由(1)可知 CE⊥AD,在直角三角形 ECD 中,DE=CD ? cos 45 ? 1 ,CE=CD ? sin 45 ? 1 .
? ?

又因为 AB=CE=1,AB∥CE,所以四边形 ABCE 为矩形,所以

1 1 5 S ABCD ? S ABCE ? S?BCD = AB ? AE ? CE ? DE = 1? 2 ? ? 1? 1 ? , 又 PA ⊥ 平 面 2 2 2
ABCD,PA=1, 所以四棱锥 P-ABCD 的体积等于 S ABCD ? PA ?

1 3

1 5 5 ? ?1 ? . 3 2 6

21. 【解析】 (Ⅰ) (1)在直四棱柱 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中, 取 A1B1 的中点 F1,连结 FF1 , C1F1 ,

由于 FF1 ∥ BB1 ∥ CC1 ,所以 F1 ? 平面 FCC1 , 因此平面 FCC1 即为平面 C1CFF 1 ,连结 A1D,CF1, // // 由于 CDA1F1= D1C1 =CD,

所以四边形 A1F1CD 为平行四边形,因此 CF1//A1D, 又因为 E、E 1 分别是棱 AD、AA 1 的中点,所以 EE1//A1D, 所以 CF1//EE1,又因为 EE1 ? 平面 FCC 1 , CF1 ? 平面 FCC 1 ,

所以直线 EE 1 //平面 FCC 1 . (Ⅱ)证明:连结 AC,在 VFBC 中,FC=BC=FB, 又 F 为 AB 的中点,所以 AF=FC=FB, 所以 AC⊥BC,又 AC⊥ CC1 ,且 CC1 ? BC ? C , 所以 AC⊥平面 BB1C1C ,又 AC ? 平面 D1 AC ,
A B D E F

C

H

故平面

D1 AC ⊥平面 BB1C1C .

22.【解析】 (1)设底面对角线交点为 G,则可以通过证明 EG∥FH,得 FH ∥平面 EDB ; (2)利用线线、线面的平行与垂直关系,证明 FH⊥平面 ABCD,得 FH⊥BC,FH⊥AC, 进而得 EG⊥AC, AC ? 平面 EDB ; (3)证明 BF⊥平面 CDEF,得 BF 为四面体 B-DEF 的高,进而求体

(1)证:设AC与BD交于点G,则G为AC的中点,连EG , GH,由于H 为BC的中点,故 1 GH / / AB, 2 1 又EF / / AB,?四边形EFGH 为平行四边形 2 ? EG / / FH,而EG ? 平面EDB, ? FH / / 平面EDB

(?)证:由四边形ABCD为正方形,有AB ? BC。 又EF//AB, ? EF ? BC。而EF ? FB, ? EF ? 平面BFG,? EF ? FH ? AB ? FH .又BF ? FG, H 为BC的中点, ? FH ? BC。 ? FH ? 平面ABCD. ? FH ? AC.又FH / / EG, ? AC ? EG, 又AC ? BD,EG ? BD ? G ? AC ? 平面EDB (Ⅲ)解: ? EF ? FB, ?BFC ? 900 ,? BF ? 平面CDEF . ? BF为四面体B ? DEF的高,又BC ? AB ? 2,? BF ? FC ? 2 1 1 1 VB ? DEF ? * *1* 2 * 2 ? . 3 2 3


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