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导数运算综合练习题

时间:2013-03-05


(1)-(4)导数的概念及运算
1.平均变化率:函数 f ( x) 在 [ x1 , x2 ] 上的平均变化率为 若 ?x ? x2 ? x1 , ?y ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ,则平均变化率可表示为 2.导数的概念: 比值
x ? x0 处的

, .

设函数 y ? f ( x) 在区间 (a,

b) 上有定义, x0 ? (a, b) ,当 ?x 无限接近于 0 时, 无限趋近于一个常数 A , 则称 f ( x) 在点 x ? x0 处可导, 并称常数 A 为函数 f ( x) 在 ,记作 .

3.导数的几何意义: 函数 f ( x) 在 x0 处的导数 f ?( x0 ) 的几何意义就是曲线 y ? f ( x) 在点 4.导数的物理意义: 处的 . ;

一般地,设 s ? s(t ) 是物体的位移函数,那么 s '(t ) 的物理意义是 .

设 v ? v(t ) 是物体的速度函数,那么 v '(t ) 的物理意义是 5.常见函数的导数:
C? ?

( C 为常数); ( xn )? ? ; (e x )? ?

; (sin x)? ? ; (loga x)? ?

; (cos x)? ? ; (ln x)? ?

; .

(a x )? ?

6.导数的运算法则:
[ f ( x) ? g ( x)]? ? [ f ( x) ? g ( x)]? ?

, [Cf ( x)]? ? ,[
f ( x) ]? ? g ( x)

(其中 C 为常数); ( g ( x) ? 0 ).

? 复合函数的导数:复合函数 y ? f ? g ( x) ? 的导数(函数 y ? f (u ) 和 u ? g ( x) )则有

? yx ?

? ; y x ? [ f ( g ( x)) ]? ?



典型习题:
1.函数 f ( x) ? ln x 在 ? e, e 2 ? 的平均变化率为 ? ?

2.在 R 内可导函数 f ( x) 满足 f '(2) ? 3 ,当 k 无限趋近零时,

f ( x ? k ) ? f ( x) 无限趋近于 3k



3.利用导数的定义,求下列函数的导函数: (1) f ( x) ?
1 x

(2) f ( x) ? x

4.求下列函数的导数, (1) f ( x) ? ? sin (1 ? 2cos2 ) ;
x 2 x 4

(2) h( x) ?

ln x ; x2 ? 1

(3) f ( x) ? sin? ? x3 ? 2x2 ? 2? .

? 5.曲线 f ( x) ? tan x ,在点 ( ,1) 处切线方程为 4

.

6.曲线 f ( x) ? e x ? x 切线的倾斜角的范围为

.

7.若物体位移 s(t ) ? 3t 2 ? 2t ,(单位:米)则当 t ? 3 秒时,该物体的速度为

米/秒.

? 8. f ( x) ? x cos x ,则 f '( ) ? 3

.

9.设 f ( x) ? x ln x ,若 f ?( x0 ) ? 2 ,则 x0 ?

.

10.已知函数 f ( x) ? ln x ,若 4 f ?( x) ? x ? a 4f ' (x)+x ? a 恒成立,求实数 a 的取值范围。

11.已知函数 f ( x) 的导数是 f '( x) ,则函数 ? f ( x ) ? 的导数为
2



12.函数 y ? e2x 的导数 y ' ?

13.函数 f ( x) 的导函数 f '( x) 是一次函数,且 f ( x) 是偶函数, f '(1) ? 2 , f (1) ? ?2 ,求 f ( x) 的解析式

14.已知曲线 f ( x) ? ax ?

1 (a, b ? Z ) ,在点 (2, f (2)) 处的切线方程为 y ? 3 .求 f ( x) 的解析式. x?b

15.已知曲线 f ( x) ? x3 ? x
( 处的切线方程; (1)求曲线在 1,0) ( 的切线方程. (2)求曲线过点 1,0)

16.过点 (1,0) 的直线与 y ? x3 和 y ? ax 2 ?
15.1

15 x ? 9 都相切,求实数 a 的值。 4

思考题: 1.在 R 内可导函数 f ( x) 满足 f '(2) ? 3 ,当 k 无限趋近零时,
f ( x ? k ) ? f ( x ? 2k ) 无限趋近于 k

.

2.汽车作加速直线运动,若 t s 时的速度为 v(t ) ? t 2 ? 3 ,则汽车开出

s 后加速度为 12.

3.设 f ( x) ? 2 x2 ? 2 f '(1) x ,则 f '(1) ?

.

4.设对于任意的 x ,都有 f (? x) ? ? f ( x), f ?(? x0 ) ? ?k ? 0 ,则 f ?( x0 ) ?

? 5. f0 ( x) ? sin x, f1 ( x) ? f0?( x), f 2 ( x) ? f1?( x),?,f n ?1 ( x) ? f n?( x) , (n ? N ) 则 f 2009 ( x) ?

6.已知直线 l 与曲线 y ? x2 和 y ? ? x2 ? 4x ? 4 都相切,求直线 l 的方程。
15.1


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