2015年全国各地高考模拟数学试题汇编不等式选讲(理卷B)

专题 8 选修系列 第3讲 不等式选讲（B 卷）

1． (2015· 德州市高三二模 （4 月） 数学 （理） 试题· 5)已知关于 x 的不等式 x ?1 ? x ? a ? 8 的解集不是空集，则 a 的取值范围是（ ） A． a ? ? 9 C ． ?9 ? a ? 7 B． a ? 7 D． a ? ?9或a ? 7

2． （2015·武清区高三年级第三次模拟高考· 8）如果不等式 x 2 ?| x ? 1 | ?a 的解集是区间

(?3, 3) 的子集，则实数 a 的取值范围是（
（A） ( ?? , 7) （C） ( ?? , 5)

）

（B） ( ?? , 7] （D） ( ?? , 5]

3 、 (2015 · 山 东 省 滕 州 市 第 五 中 学 高 三 模 拟 考 试 · 8) 已 知 f ( x) ? 2 x ? 3( x ? R ) ， 若

f ( x) ? 1 ? a 的必要条件是 x ? 1 ? b(a, b ? 0) ，则 a, b 之间的关系是（
A． b ?

）

a 2

B． b ?

a 2

C． a ?

b 2

D． a ?

b 2

4.（2015·山西省太原市高三模拟试题二·16）

5. ( 2015`临沂市高三第二次模拟考试数学（理）试题·14)已知 f ? n ? ?

?

?

n 0

sin ? nx ? dx ，若对

于 ?? R, f ?1? ? f ? 2? ????? f ? n? ? x ? 3 ? x ?1 恒 成 立 ， 则 正 整 数 n 的 最 大 值 为 ___________. 6．(2015.菏泽市高三第二次模拟考试数学（理）试题·14)已知对于任意的 x ? R ，不等式
x ? 3 ? x ? a ? 5 恒成立，则实数 a 的取值范围是________．

7.(2015 · 盐 城 市 高 三 年 级 第 三 次 模 拟 考 试 · 21) 已 知 a, b, c 为 正 实 数 ， 求 证 ：

1 1 ? 2 ? 8ab ? 8 ，并求等号成立的条件． 2 a b

8.（2015·赣州市高三适用性考试·24）

9．(2015.江西省上饶市高三第三次模拟考试·23) (本题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| x ? 1| ? | x ? 1| ． (1)求不等式 f ( x) ? 3 的解集; (2)若关于 x 的不等式 f ( x) ? a ? x ? 2 x 在 R 上恒成立,求实数 a 的取值范围．
2 2

10.(2015.南通市高三第三次调研测试·21)已知实数 a，b，c，d 满足 a＞b＞c＞d，求证：
1 4 9 36 ． ? ? ≥ a ?b b?c c ?d a ?d

11 ． （ 2015 ·陕西省安康市高三教学质量调研考试· 24 ） （本小题满分 10 分）设函数

（1）若 a=l，解不等式 （2）若函数 f（x）有最小值，求实数 a 的取值范围， 12．(2015·陕西省西工大附中高三下学期模拟考试·24)（本小题满分 10 分） 已知函数 f ( x) ?| x ? 2 | ? | x ? 5 | ． （I）证明： ?3 ? f ( x) ? 3 ； （II）求不等式： f ( x) ? x2 ? 8x ? 14 的解集． 13.（2015·山西省太原市高三模拟试题二·24）

14.（2015·厦门市高三适应性考试·21） （本小题满分 7 分）选修 4-5：不等式选讲 已知 a ? 0, b ? 0, c ? 0 ， （Ⅰ）求 m 的值； （Ⅱ）解关于 x 的不等式 | x ? 1| ?2 x ? m . 15. （ 2015 · 漳 州 市 普 通 高 中 毕 业 班 适 应 性 考 试 ） （ 本 小 题 满 分 10 分 ） 设 函 数

1 1 1 ? ? ? 3abc 的最小值为 m . a 3 b3 c 3

1 | x ?3| 2 （1）求不等式 f ( x) ? 2 的解集； f ( x) ? x ? 1 ?
（2）若不等式 f ( x ) ? a ( x ? ) 的解集非空，求实数 a 的取值范围. 16. （2015·海南省高考模拟测试题·24） （本小题满分 10 分）选修 4—5：不等式选讲 设函数 f ( x) ?| 3x ? 1| ?ax ? 3. （1）若 a=1，解不等式 f ( x) ? 5 ； （2）若函数 f ( x) 有最小值，求实数 a 的取值范围.

1 2

专题 8 选修系列 第3讲 不等式选讲（B 卷）

参考答案与解析
1.【答案】D 【命题立意】本题旨在考查绝对值不等式． 【解析】解绝对值方程 x ?1 ? x ? a ? 8 有： x1 ? 7, x2 ? ?9 ，从而实数 a 的取值范围是

a ? ?9或a ? 7 ,故选：D
2.【答案】D 【命题立意】本题主要考查绝对值不等式的求解 【解析】等式 x2＜|x-1|+a 等价为 x2-|x-1|-a＜0， 设 f （ x ） =x2-|x-1|-a ， 若 不 等 式 x2 ＜ |x-1|+a 的 解 集 是 区 间 （ -3 ， 3 ） 的 子 集 ， 则?

? f (?3) ? 5 ? a ? 0 ，解得 a≤5，故选 D. ? f (3) ? 7 ? a ? 0

3.【答案】A 【命题立意】本题主要考查绝对值不等式的解法，充分、必要条件 【解析】由 f ( x) ? 1 ? a 可得

?a ? 2 a?2 ?x? ，由 x ? 1 ? b 可得 ?b ? 1 ? x ? b ? 1 ，由 2 2

?a ? 2 ? ?b ? 1 ? ? a ? 2 题意可得 ? ，解得 b ? . 2 ?b ? 1 ? a ? 2 ? ? 2
4.【答案】 4 ? ln 3 【命题立意】本题考查不等式恒成立问题以及函数的单调性和最值问题，难度较大. 【解析】因为 |

1 3 1 1 x ? ax |? 1 ，所以 ?1 ? x 3 ? ax ? 1 ，又当 0 ? x ? 1 时， x 3 ? 1 ? ax 且 2 2 2 1 3 1 2 1 1 2 1 1 2 1 ax ? x ? 1 ，即 x ? ? a 且 a ? x ? ，记 f ( x ) ? x ? ，则 f ( x) 在 0 ? x ? 1 2 2 x 2 x 2 x 1 1 2 1 1 x3 ? 1 ?0， ， 记 g ( x) ? x ? ， 则 g ?( x) ? x ? 2 ? 2 2 x x x2

上为单调增函数， 所以 f ( x ) max ? ?

g ( x) min ?

3 1 3 ，所以 ? ? a ? . 2 2 2

5.【答案】3． 【命题立意】定积分计算，不等式恒成立条件． 【解析】 f ? n ? ?

?

?

n 0

sin ? nx ? dx =

2 ，要使得上述不等式恒成立，又 ? x ? 3 ? x ? 1 ?min ? 4 ， n

正整数 n 的最大值为 3 6.【答案】 （－∞，－2）∪（8，+∞） 【命题立意】本题旨在考查含有绝对值的不等式． 【解析】由于|x－3|+|x－a|≥|（x－3）－（x－a）|=|a－3|，又|x－3|+|x－a|>5 恒成立， 则有|a－3|>5，解得 a<－2 或 a>8． 7.【答案】略． 【命题立意】本题旨在考查基本不等式的证明及其应用． 【解析】

1 1 1 1 1 1 ? 2 ? 8ab ? 2 ? 2 ? 8ab ? 4 4 2 ? 2 ? 4ab ? 4ab ? 8 ． 2 a b a b a b
1 1 2 ? 2 ? 4ab 时等号成立，此时 a ? b ? ．………………10 分 2 a b 2

当且仅当

8.【答案】 （Ⅰ）4； （Ⅱ）略 【命题立意】本题主要考查不等式的求解以及不等式的证明，考查绝对值不等式的性质. 【解析】 （Ⅰ） f ( x) ? x ?1 ? x ? 3 ? 1 ? x ? x ? 3 ? (1 ? x) | ?( x ? 3) ? 4 …4 分 函数 f ( x) 的最小值为 4……………………………………………………………………5 分 （Ⅱ）若 (a ? b)(a ? b) ? 0 ，则 | a ? b | ? | a ? b |?| (a ? b) ? (a ? b) |? 2 | a |? 4 …………7 分 若 (a ? b)(a ? b) ? 0 ，则 | a ? b | ? | a ? b |?| (a ? b) ? (a ? b) |? 2 | b |? 4 …………………9 分 因此， | a ? b | ? | a ? b |? 4 而 f ( x) ? 4 ，故 | a ? b | ? | a ? b |? f ( x) ……………………………………………………10 分 【答案】(1) (??, ? ] ? [ , ??) ； （2） ( ?1,1) 9. 【命题立意】 本题重点考查了绝对值不等式的解法、 不等式恒成立问题的处理思路和方法，

3 2

3 2

属于中档题． 【解析】 （1）原不等式等价于

? x ? ?1 ?? 1 ? x ? 1 ? x ? 1 或? 或? ， ? ?2 x ? 3 ?? 2 x ? 3 ?2 ? 3
解得： x ? ?

3 3 或x ? ， 2 2 3 3 或 x ? } ． ……………………………5 分 2 2
2

∴不等式的解集为 {x | x ? ?

（2）令 g ( x) ?| x ? 1 | ? | x ? 1 | ? x ? 2 x ，

? x2 ? 4x ( x ? ?1) ? 2 则 g (x)＝ ? x ? 2 x ? 2 (?1 ? x ? 1) 2 ? x ( x ? 1) ?
当 x∈(－∞，1]时，g (x)单调递减，当 x∈[1，＋∞)时，g (x)单调递增， 所以当 x＝1 时，g (x)的最小值为 1． 因为不等式 f ( x) ? a ? x ? 2 x 在 R 上恒成立，
2 2
2 ∴ a ? 1 ，解得 ? 1 ? a ? 1 ，∴实数 a 的取值范围是 ? 1 ? a ? 1 ．…………………10 分

…………… ………8 分

10.【答案】详见解析 【命题立意】本题考查柯西不等式，意在考查转化能力，容易题. 【证明】因 a＞b＞c＞d，故 a?b＞0，b?c＞0，c?d＞0．
4 9 ? ? 1 2 ? ? 故 [(a ? b) ? (b ? c) ? (c ? d )] ? ? ≥ (1 ? 2 ? 3) ? 36 ， ?a?b b?c c?d ?

所以，

1 4 9 36 ． ? ? ≥ a ?b b?c c ?d a ?d

11.【答案】 （1） [0, ] ； （2） ? ?3,3? 【命题立意】本题重点考查了绝对值不等式、不等式的基本性质等知识． 【解析】

1 2

12.【答案】 （1）略； （2） [3, 4 ? 5] ． 【命题立意】本题旨在考查绝对值不等式的应用与求解． 【解析】 （I） | f ( x) |? | x ? 2 | ? | x ? 5| ? ( x ? 2) ? ( x ? 5) ? 3 ∴ ?3 ? f ( x) ? 3
2 2 （II）①当 x ? 2 时， f ( x) ? ?3 ，而 x ? 8x ? 14 ? ( x ? 4) ? 2 ? ?2

∴ f ( x) ? x ? 8x ? 14 无解
2

②当 2 ? x ? 5 时， f ( x) ? 2 x ? 7 ，原不等式等价于：

?2 x ? 7 ? x 2 ? 8x ? 14 ? 3? x ?5 ? 2 ? x ? 5 ?
③当 x ? 5 时， f ( x) ? 3 ，原不等式等价于： ? 综上，不等式的解集为 [3, 4 ? 5] ． 13.【答案】 （1） l : x ? y ?1 ? 0

? x2 ? 8x ? 14 ? 3 ?x ? 5

?5? x ? 4? 5

C : y 2 ? 2ax （2） a ?

1 4

【命题立意】 本题主要考查绝对值不等式的解法和性质以及利用基本不等式求最值， 难度中 等. 【解析】

14.【答案】(I)6;(II) (?

7 , ??) 3

【命题立意】本题旨在考查利用二元和三元基本不等式求最值、绝对值不等式的解法

1 1 1 3 【解析】 （Ⅰ）? a, b, c ? R? ，? 13 ? 13 ? 1 ? 33 3 ? 3 ? 3 ? a b c3 a b c abc
? 1 1 1 3 ? 3 ? 3 ? 3abc ? ? 3abc 3 a b c abc
3 ?6 abc

① 而 3 ? 3abc ? 2 3 ? 3abc ? 6 abc abc

②

? a 3 ? b3 ? c3 ?

③

当且仅当 a ? b ? c 时， ①式等号成立；当且仅当 3 ? 3abc 时，②式等号成立； abc
3 3 3 则当且仅当 a ? b ? c ? 1 时，③式等号成立，即 a ? b ? c ?

3 取得最小值 m ? 6 . abc

(Ⅱ)由（Ⅰ）知 m ? 6 ，则 | x ? 1| ?2 x ? 6 ，即 | x ? 1|? 6 ? 2 x ，

??6 ? 2 x ? x ? 1 ? 6 ? 2 x ，
??6 ? 2 x ? x ? 1 ?? ?x ?1 ? 6 ? 2x
7 ? x?? 解得 ? 3 ? ? ? x ? ?5

? 原不等式的解集为 (? , ??) .
15.【答案】 （1） {x | x ?

7 3

1 3 4 或x ? 3} ； （2） a ? ? 或a ? . 3 2 7

【命题立意】 本题主要考查绝对值不等式的解法以及利用数形结合法求解不等式， 难度中等. 【解析】

16.【答案】 （1） {x | ?

1 3 ≤ x ≤ }. ； （2） ?3 ≤ a ≤ 3 ． 2 4

【命题立意】本题旨在考查含有绝对值的不等式的求解，分段函数及其应用． 【解析】 （Ⅰ） a ? 1 时， f ( x) ?| 3x ? 1| ? x ? 3 .

当 x≥

1 3 1 时， f ( x) ≤ 5 可化为 3x ? 1 ? x ? 3 ≤ 5 ，解之得 ≤ x ≤ ； 3 4 3

当x?

1 1 1 时， f ( x) ≤ 5 可化为 ?3x ? 1 ? x ? 3 ≤ 5 ，解之得 ? ≤ x ? . 2 3 3 1 3 ≤ x ≤ }. ……………………………………5 分 2 4

综上可得，原不等式的解集为 {x | ?

1 ? (3 ? a) x ? 2, ( x ≥ ) ? ? 3 （Ⅱ） f ( x) ?| 3 x ? 1| ? ax ? 3 ? ? ?(a ? 3) x ? 4.( x ? 1 ) ? 3 ?
函数 f ( x) 有最小值的充要条件为 ?

?3 ? a ≥ 0, 即 ?3 ≤ a ≤ 3 ……………………10 分 a ? 3 ≤ 0, ?