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2015亚太数学奥林匹克初选赛(含答案)


2015 年亞太數學奧林匹亞競賽, 初選考試試題 2014 年 12 月 14 日

說明: 本試題共一頁, 七題, 每題七分。 將答案標示在答案卡之 「解答欄」 所標示的列號處。 答錯不倒扣, 未完全答對者, 不給分。 答案卡填答注意事項: 答案的數字位數少於填答空格數時, 請適度地在前面填入 0. 一、 (7 分) 設 Mk = P1 ·P2

· · · Pk , 其中 P1 , P2 , · · · , Pk 是由小到大排列的質數: 2, 3, 5, · · · 中前 k 個質數。 若 s, t 是兩個正整數, 其中 t > s, 使 Mt ? Ms = 510300, 則 t + s 的值是 1 2 . 答: 11 二、 (7 分) 在凸四邊形 ABCD 中, ∠ABD = ∠CBD = ∠ADC = 45? , AB = a, a2 ? b2 之值的範圍, 即求 BC = b, CD = c, DA = d (a = b). 試問 2 c ? d2 a2 ? b2 √ 3 < < 4 c2 ? d 2
a2 ? b2 √ < 2 c2 ? d 2

答: 1 <

三、 (7 分) 在 1 到 100 的正整數中, 有 a2 ? b2 )。 答: 27

5 6

個無法寫成兩個正整數的平方差 (即形如

四、 (7 分) 如下圖, 在 2 × 7 的方格 (方格的編號為 1 ? 14) 中選取若干個格子塗成黑色 (也可以全部不選), 使得任兩個黑色的格子都不共邊的方法有 7 8 9 種。
1 8 2 3 4 9 10 11 5 6 7 12 13 14

答: 577 五、 (7 分) 已知點 O 是 △ABC 的外心, 點 H 是 △ABC 的垂心。 令 BC = a, CA = b, AB = c, △ABC 的外接圓半徑為 R. 試以 a, b, c, R 表示 OH 的長, 即
OH = αR2 + (βa2 + γb2 + δc2 ), 其中 α, β, γ, δ 為常數。
10 11

試求 α + β + γ + δ = 答: 6 (填 06)



1

六、 (7 分) 化簡 sin 12 sin 24 sin 36 sin 48 sin 60 sin 72 sin 84 =
? ? ? ? ? ? ?

12 13 14 15 16





(請寫成最簡根數) √ 15 128

答:

七、 (7 分) 考慮下面的河內塔問題。 有甲、 乙、 丙三根柱子, 一開始在甲柱由上到下疊了 1 號到 10 號的 10 個圓盤, 號碼愈大的圓盤其直徑愈大; 而乙、 丙兩根柱子上沒有圓 盤。 現在每次將一個圓盤由一根柱子搬到另一根柱子, 並且較大的圓盤不可放在較 小的圓盤上方。 如果最後的狀態是 1, 3, 5, 7, 9 號圓盤在乙柱、 2, 4, 6, 8, 10 號圓盤在 丙柱, 則移動次數最少為 17 18 19 。 答: 731

2


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