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2014届高考理科数学总复习(第1轮)全国版课件:2.1映射与函数(第2课时)


第二章

函数

第1讲
映射与函数 (第二课时)

1

?

题型四:函数的三要素

?
? ?

1. 试判断以下各组函数是否表示同一函数?
(1) (2)
f ( x) ? x2,g ( x)

? 3 x 3;
| x| f ( x) ? ,g ( x) ? 1( x ? 0) x ? 1( x ? 0)

2

f ( x) ?
?
? ?

2 n?1

x ? 1,g ( x) ? (
2n

2 n?1

x)

2 n?1

(n ? N*);

(3)
(4)

f ( x) ? x x ? 1,g x ? x ? x;
2

(5)f(x)=x2-2x-1,g(t)=t2-2t-1.

3

f ( x) ? x = x ,g ( x) ? x =x,
2 3 3

?

(1)由于 数;

故它们

的值域及对应法则都不相同,所以它们不是同一函
(2)由于函数

?

|x| f ( x) ? 的定义域为(-∞,0)∪(0, x
-1(x<0)的定义域为R,所以它们

+∞),而g(x)= 1(x≥0)
?

不是同一函数;

4

f ( x) ? x ? 1=x,g ( x) ? ( x ) ? x, ? (3)由于当n∈N*时,2n±1为奇数,所以
2n 2 n?1

2 n?1

2 n?1

它们 的定义域、值域及对应法则都相同,所以 它们是同一函数; f ( x) ? x x ? 1 ? (4)由于函数 的定义域为 2 {x|x≥0},而g ( x) ? x ? x 的定义域为{x|x≤ -1或x≥0},它们的定义域不同,所以它们不 是同一函数;
?
5

?

(5)函数的定义域、值域和对应法则都相同, 所以它们是同一函数. 点评:对于两个函数y=f(x)和y=g(x),当 第(5)小题易错判断成它们是不同的函数, 且仅当它们的定义域、值域、对应法则都相 原因是对函数的概念理解不透.要知道,在 同时,y=f(x)和y=g(x)才表示同一函数.对于 函数的定义域及对应法则f不变的条件下, 两个函数来讲,只要函数的三要素中有一要 自变量变换字母,这对于函数本身并无影 素不相同,则这两个函数就不可能是同一函 响 , 比 如 f(x)=x2+1 , f(t)=t2+1 , 数.若两个函数表示同一函数,则它们的图象 f(u+1)=(u+1)2+1都可视为同一函数. 完全相同,反之亦然.
6

?

下列四组函数中,表示同一函数的一组是 ( )
log 2
( x ?1 )

x ?1 ? A. y?2 和y ? 2 x ?1 x x ? B. y ? 和y ? log 3 3 xx ? 1 y?( )2 和y ? eln ( x?1) ? C. x ?1 loga x 2 ? D. y ? ( x ) 和y ? a (a>0且a ? 1)
2
7

?

选项C中,两个函数的定义 域均为x>-1,对应法则均为y= x+ 1, 故选C. 答案:C

8

题型五:分段函数问题 ? 2. 设函数 f ( x) ? log 2 ( x ? 1)( x ? 2)
?

?1? ? ? ? 1 ( x<2), ? 若f(x0)<1,求x0? ? 2 的取值范围.
? ? ? ?

x

(1)当 x0≥2时,log2(x0-1)<1 x0-1>0 x0-1<2 x0≥2? ? 2≤x <3.
0

9

(2)当x0<2时, ? ? -1<x0<2. ? x0>-1 ? x0<2? ? 综上所述,x0的取值范围为(-1,3). 点评:分段函数是在定义域的不同子集 上对应法则不同,需要用几个式子来表 示函数,解分段函数问题,必须分段处 理,最后进行综合.
?
10

1 x0 1 x0 ? 1 ? ( ) ? 1<1 ? ( ) <? ? 2 2 ?2?

?1

已知f(x)= x+3(x<0) ? x2+3(x≥0), 4 ? 则f[f(-2)]= .
? ?

?

因为f(-2)=-2+3=1,f(1)=4.故填4.

11

题型五:函数的解析式

3.求下列函数的解析式: (1)已知二次函数满足f(3x+1)=9x2-6x+5, 求f (x); (2)已知2f (x)+f (-x)=3x+2,求f (x).

12

13

14

15

?

点评:函数的解析式是函数与自变量之间的 一种对应关系,是函数与自变量之间建立的 桥梁.求函数的解析式是高考中的常见问题, 其特点是类型活,方法多.求函数的解析式 常有以下几种方法:①如果已知函数f[f(x)]的 表达式,可用换元法或配凑法求解;②如果 已知函数的结构,可用待定系数法求解;③ 1 如果所给式子含有f(x)、f( )或f(x)、f(-x)等形 x 式,可构造另一方程,通过解方程组求解.

16

设f(x)是定义在实数集R上的函数,满足 f(0)=1 , 且 对 任 意 实 数 a , b , 有 f(ab)=f(a)-b(2a-b+1).求f(x). ? 因 为 f(a-b)=f(a)-b(2a-b+1) (a , b∈R), ? 令a=b=x,则f(0)=f(x)-x(2x-x+1), ? 又f(0)=1,所以f(x)=x2+x+1.
?
17

参考题 ? 1.已知函数f(x)=2x-1,g(x)= x2 (x≥0) ? -1(x<0), ? 求f[g(x)]的解析式. ? 当x≥0,g(x)=x2时,f[g(x)]=2x2-1; ? 当x<0,g(x)=-1时,f[g(x)]=-2-1=-3. ? 所以f[g(x)]= 2x2-1(x≥0) ? -3 (x<0).

18

2. 对任意实数x,y,均满足f(x+y2)=f(x)+2 [f(y)]2且f(1)≠0,则f(2010)= . ? 对任意实数x,y有f(x+y2)=f(x)+2 [f(y)]2. ? 令x=y=0,得f(0+02)=f(0)+2[f(0)]2, ? 故f(0)=0. ? 令x=0,y=1,得f(0+12)=f(0)+2[f(1)]2.
?
19

因为f(1)≠0,所以 ? 令x=n,y=1,得 ? f(n+1)=f(n)+2[f(1)]2=f(n)+ 1 ? 即f(n+1)-f(n)= 2, n f ( n) ? , ?故 2 ? 得f(2010)=1005.
?

1 f ?1? ? . 2 1 2 ,

20

?

1. 深化对函数的概念的理解,能从函数 的三要素(定义域、值域与对应法则)整 体上去把握函数的概念.在函数的三要素 中,定义域是函数的灵魂,对应法则是 函数的核心,因值域可由定义域和对应 法则确定,所以两个函数当且仅当定义 域与对应法则均相同时才表示同一个函 数.
21

?

2. 求函数解析式有换元法、待定系数 法、变量替换法及赋值法,尤其是利 用赋值法解决函数的求值或求其解析 式较为方便.

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