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8.17第十一节 第一课时 导数与函数单调性


第十一节 导数的应用 结束 第十一节 导数的应用 1.函数的单调性 在(a,b)内可导函数f(x),f′(x)在(a,b)任意子区间 内都不恒等于0. f′(x)≥0?f(x)在(a,b)上为增函数 . f′(x)≤0?f(x)在(a,b)上为 减函数 . 数学 首页 上一页 下一页 末页 第十一节 导数的应用 结束 2.函数的极值 (1)函数的极

小值: 函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其它点的 函数值都小,f′(a)=0,而且在点x=a附近的左侧 f′(x)<0 ,右 侧 f′(x)>0 ,则点a叫做函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数y =f(x)的极小值. 数学 首页 上一页 下一页 末页 第十一节 导数的应用 结束 (2)函数的极大值: 函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近的 其他点的函数值都大,f′(b)=0,而且在点x=b附近的左 侧 f′(x)>0 ,右侧 f′(x)<0 ,则点b叫做函数y=f(x)的 极大值点,f(b)叫做函数y=f(x)的极大值. 极小值点,极大值点统称为极值点,极大值和极小值 统称为极值. 数学 首页 上一页 下一页 末页 第十一节 导数的应用 结束 3.函数的最值 (1)在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)在[a,b]上必有最 大值与最小值. (2)若函数f(x)在[a,b]上单调递增,则 f(a) 为函数的最 小值, f(b) 为函数的最大值;若函数f(x)在[a,b]上单调递 减,则 f(a) 为函数的最大值, f(b)为函数的最小值. 数学 首页 上一页 下一页 末页 第十一节 导数的应用 结束 1.求函数极值时,误把导数为 0 的点作为极值点;极 值点的导数也不一定为 0. 2. 易混极值与最值: 注意函数最值是个“整体”概念, 而极值是个“局部”概念. 数学 首页 上一页 下一页 末页 第十一节 导数的应用 结束 [试一试] 1.设函数 f(x)=xex,则 A.x=1 为 f(x)的极大值点 B.x=1 为 f(x)的极小值点 C.x=-1 为 f(x)的极大值点 D.x=-1 为 f(x)的极小值点 解析:求导得f′(x)=ex+xex=ex(x+1),令f′(x)=ex(x+1) ( ) =0,解得x=-1,易知x=-1是函数f(x)的极小值点,所以 选 D. 数学 首页 上一页 下一页 末页 第十一节 导数的应用 结束 1 2 2.函数 y= x -ln x 的单调递减区间为 2 A.(-1,1] C.[1,+∞) B.(0,1] D.(0,+∞) ( ) 1 2 解析:函数y= x -ln x的定义域为(0,+∞), 2 1 ?x-1??x+1? y′=x-x= ,令y′≤0,则可得0<x≤1. x 答案:B 数学 首页 上一页 下一页 末页 第十一节 导数的应用 结束 解决含参数问题及不等式问题中的两个转化 (1)利用导数解决含有参数的单调性问题可将问题转化 为不等式恒成立问题,要注意分类讨论和数形结合思想的 应用. (2)将不等式的证明、方程根的个数的判定转化为函数 的单调性、极值问题处理. 数学 首页 上一页 下一页 末页 第十一节 导数的应用 结束 [练一练] 1.函数 f(x)=x3+3ax2+3[(a+2)x+1]既有极大值又

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