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一元一次不等式组应用题专题


一元一次不等式组

应用题专题

应用一元一次不等式组解决 实际问题的一般思路:
找出
实际问题 不等关系 列出 不等式

解 决 求 结合实际 因素 解

组 成

不等式组

类型(一)方案决策型

1、(2013

?广安)为了整治环境卫生,某地区需要一种 消毒药水3250瓶,药业公司接到通知后马上采购两种专 用包装箱,将药水包装后送往该地区.已知一个大包装 箱价格为5元,可装药水10瓶;一个小包装箱价格为3元, 可以装药水5瓶.该公司采购的大小包装箱共用了1700元, 刚好能装完所需药水. (1)求该药业公司采购的大小包装箱各是多少个? (2)药业公司准备派A、B两种型号的车共10辆运送该 批药水,已知A型车每辆最多可同时装运30大箱和10小箱 药水;B型车每辆最多可同时装运20大箱和40小箱消毒药 水,要求每辆车都必须同时装运大小包装箱的药水,求 出一次性运完这批药水的所有车型安排方案; (3)如果A型车比B型车省油,采用哪个方案最好?

?
?

解:(1)设公司采购了x个大包装箱,y个小包装箱.
根据题意得: (2分)解之得:

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

答:公司采购了250个大包装箱,150个小包装箱.(4分) (2)设公司派A种型号的车z辆,则B种型号的车为(10﹣z)辆. 根据题意得: (6分)

解之得: (7分) ∵z为正整数 ∴z取5、6、7、8(8分) ∴方案一:公司派A种型号的车5辆,B种型号的车5辆. 方案二:公司派A种型号的车6辆,B种型号的车4辆. 方案三:公司派A种型号的车7辆,B种型号的车3辆. 方案四:公司派A种型号的车8辆,B种型号的车2辆.(9分) (3)∵A种车省油, ∴应多用A型车, 因此最好安排A种车8辆,B种车2辆,即方案四.

? 2、(2008?佛山)某地为四川省汶川大地震灾区 进行募捐,共收到粮食100吨,副食品54吨.现 计划租用甲、乙两种货车共8辆将这批货物全部 运往汶川,已知一辆甲种货车同时可装粮食20吨、 副食品6吨,一辆乙种货车同时可装粮食8吨、副 食品8吨. ? (1)将这些货物一次性运到目的地,有几种租 用货车的方案? ? (2)若甲种货车每辆付运输费1300元,乙种货 车每辆付运输费1000元,要使运输总费用最少, 应选择哪种方案?

? 解:(1)设租用甲种货车x辆,则乙种货车为 (8﹣x)辆, ? 依题意得:

? 解不等式组得 3≤x≤5 ? 这样的方案有三种,甲种货车分别租3,4,5辆, 乙种货车分别租5,4,3辆. ? (2)总运费s=1300x+1000(8﹣x) =300x+8000 ? 因为s随着x增大而增大 ? 所以当x=3时,总运费s最少为8900元.

? 3、(2013?湛江)某工厂现有甲种原料280kg, 乙种原料190kg,计划用这两种原料生产A,B 两种产品50件,已知生产一件A产品需甲种原料 7kg、乙种原料3kg,可获利400元;生产一件B 产品需甲种原料3kg,乙种原料5kg,可获利350 元. ? (1)请问工厂有哪几种生产方案? ? (2)选择哪种方案可获利最大,最大利润是多 少?

? 解:(1)设生产A产品x件,生产B产品(50﹣x)件,则 ? 解得 30≤x≤32.5 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ∵x为正整数 ∴x可取30,31,32. 当x=30时,50﹣x=20, 当x=31时,50﹣x=19, 当x=32时,50﹣x=18, 所以工厂可有三种生产方案,分别为 方案一:生产A产品30件,生产B产品20件; 方案二:生产A产品31件,生产B产品19件; 方案三:生产A产品32件,生产B产品18件; (2)法一:方案一的利润为30×400+20×350=19000元; 方案二的利润为31×400+19×350=19050元; 方案三的利润为32×400+18×350=19100元. 因此选择方案三可获利最多,最大利润为19100元. 法二:设生产A产品x件,生产B产品(50﹣x)件,可获利共y元, ∴y=400x+350(50﹣x)=50x+17500, ∵此函数y随x的增大而增大, ∴当x=32时,可获利最多,最大利润为19100元.

? 类型(二)图表型
? 4、(2008?鄂州)为了更好治理洋澜湖水质,保护环境,市 治污公司决定购买10台污水处理设备.现有A,B两种型号的 设备,其中每台的价格,月处理污水量如下表:经调查:购 买一台A型设备比购买一台B型设备多2万元,购买2台A型设 备比购买3台B型设备少6万元.

? (1)求a,b的值; ? (2)经预算:市治污公司购买污水处理设备的资金不超过 105万元,你认为该公司有哪几种购买方案; ? (3)在(2)问的条件下,若每月要求处理洋澜湖的污水量 不低于2040吨,为了节约资金,请你为治污公司设计一种最 省钱的购买方案.

? 解:(1)根据题意得 解得 ? (2)设购买污水处理设备A型设备x台,B型设备(10﹣x) 台,根据题意得 ? 12x+10(10﹣x)≤105 ? ∴x≤2.5 ? ∵x取非负整数 ? ∴x=0,1,2 ? ∴有三种购买方案: ? ①A型设备0台,B型设备10台; ? ②A型设备1台,B型设备9台; ? ③A型设备2台,B型设备8台. ? (3)由题意:240x+180(10﹣x)≥2040 ? ∴x≥1 ? 又∵x≤2.5 ? ∴x为1,2. ? 当x=1时,购买资金为12×1+10×9=102(万元) ? 当x=2时,购买资金为12×2+10×8=104(万元) ? ∴为了节约资金,应选购A型设备1台,B型设备9台.

? 5、(2008?黄石)某公司有A型产品40件,B型产品60件,分配 给下属甲、乙两个商店销售,其中70件给甲店,30件给乙店,且 都能卖完.两商店销售这两种产品每件的利润(元)如下表

? (1)设分配给甲店A型产品x件,这家公司卖出这100件产品的总 利润为W(元),求W关于x的函数关系式,并求出x的取值范围; ? (2)若公司要求总利润不低于17560元,说明有多少种不同分配 方案,并将各种方案设计出来; ? (3)为了促销,公司决定仅对甲店A型产品让利销售,每件让利 a元,但让利后A型产品的每件利润仍高于甲店B型产品的每件利 润.甲店的B型产品以及乙店的A,B型产品的每件利润不变,问 该公司又如何设计分配方案,使总利润达到最大?

? ? ? ? ?

解:依题意,甲店B型产品有(70﹣x)件,乙店A型有(40﹣x)件,B型有(x﹣10)件,则 (1)W=200x+170(70﹣x)+160(40﹣x)+150(x﹣10)=20x+16800. 解 得10≤x≤40.(2分) 由

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

(2)由W=20x+16800≥17560, ∴x≥38 . ∵ 10≤x≤40 ∴38≤x≤40,x=38,39,40. ∴有三种不同的分配方案. ①x=38时,甲店A型38件,B型32件,乙店A型2件,B型28件; ②x=39时,甲店A型39件,B型31件,乙店A型1件,B型29件; ③x=40时,甲店A型40件,B型30件,乙店A型0件,B型30件. (3)依题意:W=(200﹣a)x+170(70﹣x)+160(40﹣x)+150(x﹣10)=(20﹣a) x+16800. ①当0<a<20时,x=40,即甲店A型40件,B型30件,乙店A型0件,B型30件,能使总利润达 到最大; ②当a=20时,10≤x≤40,符合题意的各种方案,使总利润都一样; ③当20<a<30时,x=10,即甲店A型10件,B型60件,乙店A型30件,B型0件,能使总利润达 到最大.(8分)

? 6、2008?湘潭)我市某镇组织20辆汽车装运完A、B、 C三种脐橙共100吨到外地销售.按计划,20辆汽车都 要装运,每辆汽车只能装运同一种脐橙,且必须装 满.根据下表提供的信息,解答以下问题

? (1)设装运A种脐橙的车辆数为x,装运B种脐橙的车 辆数为y,求y与x之间的函数关系式; ? (2)如果装运每种脐橙的车辆数都不少于4辆,那么车 辆的安排方案有几种?并写出每种安排方案; ? (3)若要使此次销售获利最大,应采用哪种安排方案? 并求出最大利润的值

? ? ? ? ?

解:(1)根据题意,装运A种脐橙的车辆数为x,装运B种脐橙的车辆数为y, 那么装运C种脐橙的车辆数为(20﹣x﹣y), 则有:6x+5y+4(20﹣x﹣y)=100 整理得:y=﹣2x+20; (2)由(1)知,装运A、B、C三种脐橙的车辆数分别为x,﹣2x+20,x.

?
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由题意得:

解得:4≤x≤8

因为x为整数, 所以x的值为4,5,6,7,8,所以安排方案共有5种. 方案一:装运A种脐橙4车,B种脐橙12车,C种脐橙4车; 方案二:装运A种脐橙5车,B种脐橙10车,C种脐橙5车, 方案三:装运A种脐橙6车,B种脐橙8车,C种脐橙6车, 方案四:装运A种脐橙7车,B种脐橙6车,C种脐橙7车, 方案五:装运A种脐橙8车,B种脐橙4车,C种脐橙8车; (3)设利润为W(百元)则:W=6x×12+5(﹣2x+20)×16+4x×10=﹣48x+1600 ∵k=﹣48<0 ∴W的值随x的增大而减小. 要使利润W最大,则x=4, 故选方案一W最大=﹣48×4+1600=1408(百元)=14.08(万元) 答:当装运A种脐橙4车,B种脐橙12车,C种脐橙4车时,获利最大,最大利润为 14.08万元.

? 7、(2007?河北)一手机经销商计划购进某品牌的A型、 B型、C型三款手机共60部,每款手机至少要购进8部, 且恰好用完购机款61000元.设购进A型手机x部,B型 手机y部.三款手机的进价和预售价如下表

? (1)用含x,y的式子表示购进C型手机的部数; ? (2)求出y与x之间的函数关系式; ? (3)假设所购进手机全部售出,综合考虑各种因素, 该手机经销商在购销这批手机过程中需另外支出各种费 用共1500元. ? ①求出预估利润P(元)与x(部)的函数关系式; (注:预估利润P=预售总额﹣购机款﹣各种费用) ? ②求出预估利润的最大值,并写出此时购进三款手机各 多少部.

? ? ? ?

解:(1)60﹣x﹣y; (2)由题意,得900x+1200y+1100(60﹣x﹣y)=61000, 整理得y=2x﹣50. (3)①由题意,得P=1200x+1600y+1300(60﹣x﹣y) ﹣61000﹣1500, ? 整理得P=500x+500. ? ②购进C型手机部数为:60﹣x﹣y=110﹣3x.根据题意列不等
? 式组,得 ? ? ? ? ?

解得29≤x≤34.

∴x范围为29≤x≤34,且x为整数. ∵P是x的一次函数,k=500>0,∴P随x的增大而增大. ∴当x取最大值34时,P有最大值,最大值为17500元. 此时购进A型手机34部,B型手机18部,C型手机8部.


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