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广东省湛江一中2011-2012学年高二数学上学期期末考试 理 新人教A版


广东省湛江一中 2011-2012 学年高二上学期期末考试(数学理)
考试时间:120 分钟 满分:150 分 一.选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.命题“若 a ? b ? 3 ,则 a ? 1或b ? 2 ”的逆否命题为( ) A. 若 a ? b ? 3 ,则 a ? 1且b ?

2 B. 若 a ? 1或b ? 2 ,则 a ? b ? 3 C. 若 a ? 1或b ? 2 ,则 a ? b ? 3 D. 若 a ? 1且b ? 2 ,则 a ? b ? 3 2.抛物线 y =4 x 的焦点坐标是( A. (1,0) B. (0,1)
2

) C. (0,

1 ) 16

D. (

1 ,0) 16
) 6 )

3.已知 a ? (?3,2,5) , b ? (1, x,?1) , a ? b ? 2 ,则 x 的值为( A. 3 B. 4 C. 5 D.

4.“ ? 3 ? m ? ?1 ”是方程

x2 y2 ? ? 1 表示双曲线的( 2 ? m m ?1
C.充要条件

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 5. 以下四个命题中正确的是 ( ) A.若 OP ?

D.既不充分也不必要条件

? ? 1 ??? 1 ??? OA ? OB ,则 P 、 A 、 B 三点共线; 2 3 ? ?? ? ? ? ?? ? B.若 {a, b, c} 为空间的一个基底,则 {a ? b, b ? c, c ? a}构成空间的另一个基底; ??? ??? ? ? ? ?? ? ? ? C. | (a ? b)c |?| a | ? | b | ? | c | ; D. ?ABC 为直角三角形的充要条件是 AB ? AC ? 0 .
6. 在棱长为 1 的正方体 ABCD? A1 B1C1 D1 中, M 和 N 分别为 A1 B1 和 BB1 的中点,那么直 线 AM 与 CN 所成角的余弦值是 A. ( C. )

??? ?

10 10

B. ?

2 5

3 5

D.

2 5

x2 y2 2 7.设双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线与抛物线 y ? x ? 1 有公共点,则双曲线 a b
的离心率 e 的取值范围是( A. ) C.

? 5,???

B. ?5,???

? 5 ? ,?? ? ? ? ? 2 ?

D. ? ,?? ? ?4 ?

?5

?

8.若椭圆或双曲线上存在点 P ,使得点 P 到两个焦点的距离之比为 2:1,则称此椭圆或双曲 线为“倍分曲线” ,则下列曲线中是“倍分曲线”的是( ) A.

x2 y2 ? ?1 16 15

B.

x2 y2 ? ?1 25 24

-1-

C.

x2 ?

y2 ?1 15

D.

x2 ? y2 ? 1

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.抛物线 y 2 ? 8x 上与焦点的距离等于 6 的点的坐标是 10.已知向量 a ? (2,?3,5), b ? (3, ? , . .

15 ), 且 a ∥ b ,则 ? = 2

11.点 P(4,1) 平分双曲线 x 2 ? 4 y 2 ? 4 的一条弦,则这条弦所在的直线方程是

12.过椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点作一条斜率为 2 的直线与椭圆交于 A、B 两点,O 为坐标原点, 5 4
? ? ? , ? s i , b,?1(2cos ? ,2sin ? ,1) , 则 b ? a 的 取 值 范 围 3 n )

则△OAB 的面积为______________

o 13. 已 知 a ? ( 3 c ? s
是 .

14.给出下列命题: ①椭圆

x2 y2 5 ? ? 1 的离心率 e ? , 长轴长为 2 3 ; ②抛物线 x ? 2y 2 3 2 3
5 y2 x2 ? ? ?1 的 渐 近 线 方 程 为 y ? ? x ; ④ 方 程 7 49 25

的准线方程为 x ? ? ; ③双曲线

1 8

2 x 2 ? 5x ? 2 ? 0 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率.
其中所有正确命题的序号是 .

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。 15. ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 在 平 行 六 面 体 ABCD? A1 B1C1 D1 中 , N 是 AD1 的 中 点 ,

AM ? 2 MB .
(1)化简: BN ? (2) 设

1 1 AD ? AA1 ; 2 2

AB ? a , AD ? b , AA ? c , 若 1

MN ? xa ? yb ? zc ,求 x ? y ? z .

-2-

16. (本小题满分 12 分)如图,设圆 C : ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1,过原点 O 作圆的任意弦 OM , 求所作弦 OM 的中点 P 的轨迹方程.

17. (本小题满分 14 分) 如图,正方体 ABCD? A1 B1C1 D1 的棱长为 a ,

E 为 DD1 的中点.
(1)求证: BD1 //平面 EAC ; (2)求点 D1 到平面 EAC 的距离.

18.(本小题满分 14 分)设椭圆方程

x2 y2 ? ? 1 ( 5 ? b ? 0 ) F 为椭圆右焦点, P 为椭 , 25 b 2

圆在短轴上的一个顶点, ?POF 的面积为 6,( O 为坐标原点) ; (1)求椭圆方程; (2) 在椭圆上是否存在一点 Q , QF 的中垂线过点 O ?若存在, 使 求出 Q 点坐标; 若不存在, 说明理由.

-3-

19.(本题满分 14 分) 如图, PA ? 平面 ABCD ,四边形 ABCD 是矩形, PA ? AB ? 1 , PD 与平面 ABCD 所成角 是 30 ,点 F 是 PB 的中点,点 E 在矩形 ABCD 的边 BC 上移动. (1)证明:无论点 E 在边 BC 的何处,都有 PE ? AF ; (2)当 CE 等于何值时,二面角 P ? DE ? A 的大小为 45 .
? ?

20. (本题满分 14 分)已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 经过点 M (2,1) , O 为坐标原点,平行于 OM 的 8 2

直线 l 在 y 轴上的截距为 m (m ? 0) . (1)当 m ? 3 时,判断直线 l 与椭圆的位置关系(写出结论,不需证明) ; (2)当 m ? 3 时, P 为椭圆上的动点,求点 P 到直线

l 距离的最小值;

(3)如图,当 l 交椭圆于 A 、 B 两个不同点时,求证:直线 MA 、 MB 与 x 轴始终围成一个 等腰三角形.

-4-

湛江一中 2011——2012 学年度第一学期期末考试 高二级(理科)数学科试卷(参考)答案 一.选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1 D 2 C 3 C 4 B 10. ? 5 B 6 D 7 A 8 D

二、填空题 本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 ) 9. (4,4 2 ) 或 (4,?4 2 ) 12.

9 2

11. x ? y ? 3 ? 0 14. ②④

5 3

13.

?1,5?

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤,

16. (本小题满分 12 分) 解 : 设

P( x, y)



-------------------------------------------------------------------------------2分 ∵ 点

P





OM











M (2 x,2 y )

---------------------------------------------------4 分 ∵点 M 在圆 C: ( x ? 1) ? y ? 1上,
2 2



(2x ? 1) 2 ? (2 y) 2 ? 1
1 1 (x ? )2 ? y 2 ? 2 4



----------------------------------------------------------------------8 分 即 ,

----------------------------------------------------------------------10 分 由圆的范围知, 0 ? x ? 1 . 故 点

M













1 1 (x ? )2 ? y 2 ? 2 4
-5-



0 ? x ?1



.

-------------------------------12 分 (此题其它解法可酌情给分) 17.(本小题满分 14 分) 解 法 一 :( 1 ) 证 明 : 连 接 -------------------------------------2 分 因为 F 为正方形 ABCD 对角线的交点,

BD



AC



F

, 连

EF

.

(2)解:设 D1 到平面 EAC 的距离为 d . 在 ?EAC 中, EF ? AC ,且 AC ?

2a , EF ?

3 a, 2 1 6 2 EF ? AC ? a 2 4






S ?EAC ?

----------------------------------------------------9 分 于 是

1 6 2 VD1 ? EAC ? dS?EAC ? a d 3 12

.

----------------------------------------------------10 分 因 为 V A? ED1C ? 分 又

1 1 1 1 1 AD ? S ?ED1C ? a ? ? a ? a ? a 3 . --------------------------12 3 3 2 2 12

VD1 ?EAC ? VA?ED1C





6 2 1 a d ? a3 12 12



--------------------------------------------13 分 解得 d ?

6 a, 6





D1







EAC









6 a 6

.

-6-

----------------------------------------------------14 分

a ? ax ? z ? 0 ? 2 即? ,令 z ? 2 ,则 x ? y ? 1 a ?ay ? z ? 0 2 ?
∴ n ? (1,1,2) -----------------------------4 分 ------------------------6 分 ----------------------------7

∵ BD ? n ? (?a,?a, a) ? (1,1,2) ? 0 ,∴ BD1 ? n , 1 又∵ BD1 ? 平面 EAC ,所以 BD1 //平面 EAC . 分 ( 2 )

a ED1 ? (0,0, ) 2



---------------------------------------------------------------9 分

n ? (1,1,2) 是平面 EAC 的一个法向量.
∴ 点

D1
?







EAC







d?

n ? ED1 n

6 a .--------------------------------------14 分 6

18. (本小题满分 14 分) 解: (1)设 F (c,0) ∵ P 为椭圆在短轴上的一个顶点,且 ?POF 的面积为 6, ∴

1 bc ? 6 2

-7-

.

----------------------------------------------------------- 1 分 又

b 2 ? c 2 ? 25

----------------------------------------------------------2 分 ∴

?b ? 3 ? ?c ? 4



?b ? 4 ? ?c ? 3

---------------------------------------------------------4 分 ∴椭圆方程为 分 (2)假设存在点 Q ,使 QF 的中垂线过点 O .

x2 y2 x2 y2 ? ?1或 ? ?1 25 9 25 16

---------------------------------------6

若椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1 ,则 F (3,0) ,由题意, OQ ? OF ? 3 25 16

∴ Q 点的轨迹是以 O 为圆心,以 3 为半径的圆. 设

Q( x, y)

















x2 ? y2 ? 9

-------------------------------------------8 分

x2 y2 ? ? 1 无交点. 显然与椭圆 25 16
即 假 设 不 成 立 , 点

Q







.

-----------------------------------------------9 分 若椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1, 25 9

则 F (4,0) , OQ ? OF ? 4 ∴ Q 点的轨迹是以 O 为圆心,以 4 为半径的圆. 则 其 轨 迹 方 程 为

x 2 ? y 2 ? 16

-----------------------------------------1 1 分



? x 2 ? y 2 ? 16 ? 2 y2 ?x ? ? 25 9 ? 1 ?





x??

5 7 4



y??

9 -------------------------------------------- 13 分 4

故满足题意的 Q 点坐标分别为 (

5 7 9 5 7 9 5 7 9 5 7 9 , ),( ,? ) , ( ? ,? ) , (? , ) 4 4 4 4 4 4 4 4

-8-

--------------------------------------------------------- 14 分

(2)过 A 作 AG ? DE 于 G ,连 PG ,又∵ DE ? PA , 则 DE ? 平面 PAG , 则 ?PGA 是二面角 P ? DE ? A 的平面角, ∴

?PGA ? 45?

-------------------------------------------------------------------------- 9 分 ∵ PD 与平面 ABCD 所成角是 30 , ?PDA ? 30 , ∴ -------------------------------- 10
? ?

分 ∴ AD ? 3 , PA ? AB ? 1 . ∴ AG ? 1 , DG ? 2 , 分 设 BE ? x ,则 GE ? x , CE ? 3 ? x , 在 Rt ?DCE 中, -------------------------- 11

?

2?x

? ??
2

3 ? x ? 12 ,
------------------ 14 分

?

2

z P
F
A

得 BE ? x ? 3 ? 2 .故 CE ? 2 。

法二:(1)建立如图所示空间直角坐标系,则 P ? 0,0,1? , ∵ PD 与平面 ABCD 所成角是 30 ,∴ ?PDA ? 30 ,
? ?

B y E

D

∴ AD ? 3 ,

x

C

? 1 1? B ? 0,1,0? , F ? 0, , ? , D ? 2 2?

?

3, 0, 0 .

?

-------------------------------- 3 分

-9-

设 BE ? x ,则 E ? x,1,0?

1 1 PE ? AF ? ( x,1,?1) ? (0, , ) ? 0 2 2
--------------------------------6 分

? AF ? PE

.







A

D



E









AP ? (0,0,1) ,---------------------------------------------- 9 分
∵二面角 P ? DE ? A 的大小是 45 ,
?

所以 cos 45 =

?

2 | m ? AP | ? , 2 | m || AP |



1 1 ? x ? ? ?1 ? ? ?1 3 ? 3?
2

?

1 , 2

------------------- 11 分

得 BE ? x ? 3 ? 2 或 BE ? x ? 3 ? 2 (舍). ∴ BE ? 3 ? 2 , 故 CE ? 2 。 分 20. 解: (1)当 m ? 3 时,直线 l 与椭圆相离. (2)可知直线 l 的斜率为 --------------------------------- 14

??2 分

1 2
--------------------------------- 3 分

设直线 a 与直线 l 平行,且直线 a 与椭圆相切, 设直线 a 的方程为 y ?

1 x?b 2

1 ? ?y ? 2 x ? b ? 2 2 联立 ? 2 ,得 x ? 2bx ? 2b ? 4 ? 0 --------------------------------- 4 分 x y2 ? ? ?1 ?8 2 ? --------------------------------- 5 ? ? ? (2b) 2 ? 4(2b 2 ? 4) ? 0 ,解得 b ? ?2


- 10 -

? 直线 a 的方程为 y ?

1 x?2. 2 1 x ? 2 的距离 2

所求点 P 到直线 l 的最小距离等于直线 l 到直线 y ?

d?

3? 2 1 1 ? ( )2 2
2

?

2 5 . 5

------------------------------ 7 分

而 k1 ? k 2 ?

y1 ? 1 y 2 ? 1 ( y1 ? 1)(x2 ? 2) ? ( y 2 ? 1)(x1 ? 2) ? ? x1 ? 2 x2 ? 2 ( x1 ? 2)(x2 ? 2) 1 1 ( x1 ? m ? 1)(x 2 ? 2) ? ( x 2 ? m ? 1)(x1 ? 2) 2 ? 2 ( x1 ? 2)(x 2 ? 2)
? x1 x2 ? (m ? 2)(x1 ? x2 ) ? 4(m ? 1) ( x1 ? 2)(x2 ? 2)

-----------

10



----------- 12 分

?

2m 2 ? 4 ? (m ? 2)(?2m) ? 4(m ? 1) ( x1 ? 2)(x2 ? 2)

2m 2 ? 4 ? 2m 2 ? 4m ? 4m ? 4 ?0 ( x1 ? 2)(x2 ? 2) ∴ k1 + k2 ? 0 直 线 MA 、 MB 与 x 轴 始 终 围 成 一 个 等 腰 三 角 形 ?
---------------------------------------14 分

- 11 -


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【数学】广东省湛江一中2011-2012学年高二上学期期末考试(理)

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