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【天津市2013-2014学年高二寒假作业(2)数学 ]

时间:2015-03-26


【KS5U 首发】天津市 2013-2014 学年高二寒假作业(1)数学 Word 版含答案 第 I 卷(选择题) 请点击修改第 I 卷的文字说明 评卷人 得分

一、选择题(题型注释)

1.若 ?4 ? a ? 3 , 则过点 A(a, a ) 可作圆 x2 ? y 2 ? 2ax ? a2 ? 2a ? 3 ? 0 的两条切线的概率为 ( A. )

1 7

B.

3 7

C.

4 7

D.

3 14

2.甲、乙两人下棋,甲获胜的概率为 40%,甲不输的概率为 90%,则甲、乙两人下成和棋 的概率为( A.60% ). B.30% C.10% D.50%

3.采用系统抽样方法从 960 人中抽取 32 人做问卷调查,为此将他们随机编号为 1,2,,960,分组 后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为 9.抽到的 32 人中,编号落入区间 ?1, 450? 的人做问卷 A ,编号落入区间 ? 451,750? 的人做问卷 B ,其余的人做问卷 C .则抽到的人中,做 问卷 B 的人数为 ( C ) A.7 B.9 C.10 D.15

4.已知二面角 ? ? l ? ? 的大小为 60 , m, n 为异面直线,且 m ? ? , n ? ? ,则 m, n 所成的
0

角为( A. 30
0

) B. 60
0

C. 90

0

D. 120

0

5.设 a, b, c 是三条不同的直线, ? , ? 是两个不同的平面,则能使 a ? b 成立是( A. a ? c, b ? c C. a ? ? , b // ? B. ? ? ? , a ? ? , b ? ? D. a ? ? , b ? ?

)

6.已知一个球的内接正方体棱长为 1,则这个球的表面积为( A. ? B. 2? C. 3?

) D. 4?

7.下列说法中:①平行于同一条直线的两个平面平行;②平行于同一平面的两个平面平行; ③垂直于同一条直线的两条直线平行;④垂直于同一平面的两条直线平行.其中正确的说法 个数为( A. 1 ) B. 2 C. 3 D. 4

8.下列说法正确的是(

). B. 四边形确定一个平面 D. 圆心和圆上两点确定一个平面

A.两两相交的三条直线确定一个平面 C. 梯形可以确定一个平面

第 II 卷(非选择题) 请点击修改第 II 卷的文字说明 评卷人 得分

二、填空题(题型注释)

9.过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A, B 两点,点 O 是原点,若 AF ? 3 , 则 ?AOB 的面积为

10.已知条件“ x ? 1 ? 2 ” ;条件“ x ? a ” , p 是 q 的充分不必要条件,则实数 a 的取值范 围是_____________.

11.已知圆 x 2 ? y 2 ? 4 和圆 x 2 ? y 2 ? 4x ? 4 y ? 4 ? 0 关于直线 l 对称,则直线 l 的方程为 _____________。

12.一个几何体的三视图如右图所示(单位长度: cm ) , 则此几何体的体积是

cm3

13.已知等差数列 ?an ? 中,有

a11 ? a12 ? ??? ? a20 a1 ? a2 ? ???a30 ? ,则在等比数列 ?bn ? 中, 10 30

会有类似的结论______________________。

x2 y 2 0) 和 (0,b) , 直线 l 过点 (a, 点(1,0)到直线 l 的 ? ? 1(a ? 0,b ? 0) 的焦距为 2c , a 2 b2 4 , 0) 到 直 线 l 的 距 离 之 和 为 s ≥ c , 求 双 曲 线 的 离 心 率 e 的 取 值 范 距 离 与 点 ( ?1 5
14.双曲线 围 评卷人 得分 .

三、解答题(题型注释)

15.已知圆 O: x 2 ? y 2 ? 1 ,点 O 为坐标原点,一条直线 l : y ? kx ? b(b ? 0) 与圆 O 相切并

与椭圆

x2 ? y 2 ? 1 交于不同的两点 A、B 2

(1)设 b ? f (k ) ,求 f ( k ) 的表达式;

2 求直线 l 的方程; 3, 2 3 (3)若 OA ? OB ? m( ? m ? ) 求三角形 OAB 面积的取值范围. 3 4 ,
(2)若 OA ? OB ? 16.三棱柱 ABC ? A1B1C1 , ?BCA ? 90 , AC ? BC ? 2 ,

A1 在底面 ABC 上的射影恰为 AC 的中点 D ,又知 BA1 ? AC1 .
(1)求证: AC1 ? 平面 A 1BC ; (2)求二面角 A ? A 1 B ? C 的余弦值.

A
1

C B
1 1

A

D B

C

17.

18. 已知关于 x 的二次函数 f ( x) ? ax 2 ? 4bx ? 1 . (I)设集合 P={1,2,3}和 Q={-1,1,2,3,4}, 分别从集合 P 和 Q 中随机取一个数作为 a 和 b, 求函数 y ? f ( x) 在区间 [1, ??) 上是增函数的概率;
?x ? y ? 8 ? 0 ? (II)设点(a,b)是区域 ? x ? 0 内的一点,求函数 y ? f ( x) 在区间 [1, ??) 上是增函数的 ?y ? 0 ?

概率.

19.已知向量 m ? (2 3sin ,2) , n ? (cos ,cos2 ) .函数 f ( x) ? m ? n . (I)若 f ( x) ?

u r

x 4

r

x 4

x 4

u r r

1 ? ,求 cos( x ? ) 的值; 2 3

(II)在 V ABC 中,角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c ,且满足 (2a ? c)cos B ? b cos C , 求 f ( A) 的取值范围.

20.设 f ( x ) 是定义在 [?1,1] 上的奇函数,函数 g ( x) 与 f ( x ) 的图象关于 y 轴对称, 且当 x ? (0,1] 时, g ( x) ? ln x ? ax .
2

(I)求函数 f ( x ) 的解析式; (II)若对于区间 ? 0,1? 上任意的 x ,都有 | f ( x) |? 1 成立,求实数 a 的取值范围.

试卷答案
1.B 2.D 3.C 4.B 5.C 6.C 7.B 8.C

9. 10. 11.

12. 13.

14. 15.

16.解(I)如图,设 A1D ? t (? 0) ,取 AB 的中点 E , 则 DE // BC ,因为 BC ? AC , 所以 DE ? AC ,又 A1D ? 平面 ABC , 以 DE, DC, DA 1 为 x, y , z 轴建立空间坐标系, 则 A ? 0, ?1,0? , C ? 0,1,0? , B ? 2,1,0? ,

A1 ? 0,0, t ? , C1 ? 0, 2, t ? ,
? CB , AC1 ? ? 0,3, t ? , BA1 ? ? ?2, ?1, t ? , CB ? ? 2,0,0 ? ,由 AC 1 1 ? CB ? 0 ,知 AC
又 BA1 ? AC1 , BA 1 从而 AC1 ? 平面 A 1BC ; (II)由 AC1 ? BA 1 ? ?3 ? t ? 0 ,得 t ? 3 .
2

CB ? B
-------------------5 分 -------------------6 分

设平面 A 1 ? 0,1, 3 , AB ? ? 2, 2,0 ? ,所以 1 AB 的法向量为 n ? ? x, y, z ? , AA

?

?

? ?n ? AA1 ? y ? 3z ? 0 ,设 z ? 1 ,则 n ? ? n ? AB ? 2 x ? 2 y ? 0 ? ?

?

3, ? 3,1

?

------------------7 分

再设平面 A 1 ? 0, ?1, 3 , CB ? ? 2,0,0 ? , 1BC 的法向量为 m ? ? u , v, w ? , CA 所以 ?

?

?

? ?m ? CA1 ? ?v ? 3w ? 0 ? ? m ? CB ? 2u ? 0 m?n m?n ??

,设 w ? 1 ,则 m ? 0, 3,1 ,------------------8 分

?

?

故 cos ? m, n ??

7 , 7

因为二面角 A ? A 1 B ? C 为锐角, 所以可知二面角 A ? A 1 B ? C 的余弦值为 17.

7 -------------------10 分 7

2b 2 2 18.(1)∵函数 f(x)=ax -4bx+1 的图象的对称轴为直线 x= ,要使 f(x)=ax -4bx+1

a

2b 在区间[1,+∞)上为增函数,当且仅当 a>0 且 ≤1,即 2b≤a.(2 分)

a

若 a=1,则 b=-1;若 a=2,则 b=-1 或 1;若 a=3,则 b=-1 或 1. ∴事件包含基本事件的个数是 1+2+2=5.(5 分) 5 1 ∴所求事件的概率为 = .(6 分) 15 3 (2)由(1),知当且仅当 2b≤a 且 a>0 时,函数 f(x)=ax -4bx+1 在区间[1,+∞)上为增 函数,(8 分)
2

? ? 依条件可知事件的全部结果所构成的区域为 ? ? ?

a,b

a+b-8≤0, ?? ? ??a>0, ?b>0 ??

? ? ?,构 ? ?

a+b-8=0, ? ? 成所求事件的区域为三角形部分.由? a b= , ? ? 2
1 8 ×8× 2 3 1 ∴所求事件的概率为 P= = .(12 分) 1 3 ×8×8 2

?16 8? 得交点坐标为? , ?,(10 分) ? 3 3?

19.解: (1)由题意, f ( x) ? 2 3 sin cos ? 2cos2 ? 3 sin ? cos ? 1 ? 2sin( ? ) ? 1 .4 分
6

x 4

x 4

x 4

x 2

x 2

x 2

?

由 f ( x ) ? 2 得 sin( ? ) ? ? ,因此 cos( x ? ) ? 1 ? 2sin 2 ( ? ) ? .
6 3 6

x 2

?

1 4

?

x 4

?

7 8

6分

(2)由正弦定理, 2sin Acos B ? sinC cos B ? sin BcosC ,即 2sin A cos B ? sin( B ? C ) ? sin A . 由于 sin A ? 0 ,所以 cos B ? , B ? 于是 0 ? A ?
1 2

?
3



10 分 12 分

2? ? A ? ? 1 A ? , ? ? ? , ? sin( ? ) ? 1 ,从而 2 ? f ( A) ? 3 . 3 6 2 6 2 2 2 6

20.解: (1) ∵ g ( x) 的图象与 f ( x ) 的图象关于 y 轴对称, ∴ f ( x) 的图象上任意一点 P( x, y ) 关于 y 轴对称的对称点 Q(? x, y) 在 g ( x) 的图象上. 当 x ? [?1, 0) 时, ? x ? (0,1] ,则 f ( x) ? g (? x) ? ln(? x) ? ax2 . ∵ f ( x) 为 [?1,1] 上的奇函数,则 f (0) ? 0 . 当 x ? (0,1] 时, ? x ? [?1,0) , f ( x) ? ? f (? x) ? ? ln x ? ax2 .
?ln(? x) ? ax 2 (?1 ≤ x ? 0), ? ∴ f ( x) ? ?0( x ? 0), ? 2 ?? ln x ? ax (0 ? x ≤ 1).
1 (1)由已知, f ?( x) ? ? ? 2ax . x 1 1 ①若 f ?( x) ≤ 0 在 ? 0,1? 恒成立,则 ? ? 2ax ≤ 0 ? a ≤ 2 . x 2x 1 此时, a ≤ , f ( x) 在 (0,1] 上单调递减, f ( x)min ? f (1) ? a , 2

2分 3分 5分

6分

∴ f ( x) 的值域为 [a, ??) 与 | f ( x) |? 1 矛盾. ②当 a ?
1 1 1 ? (0,1] , 时,令 f ( x) ? ? ? 2ax ? 0 ? x ? x 2a 2
1 ) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递减, 2a

8分

∴ 当 x ? (0, 当 x?(

1 ,1] 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递增, 2a 1 1 1 2 1 1 ) ? ? ln( ) ? a( ) ? ln(2a) ? . 2a 2a 2a 2 2

∴ f ( x)min ? f (

10 分

1 1 e 由 | f ( x) |≥ 1 ,得 ln(2a) ? ≥1 ? a ≥ . 2 2 2 e 综上所述,实数 a 的取值范围为 a ≥ . 2

12 分


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