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【一本通】2014届高考数学一轮复习 第15章 定积分与微积分基本定理 理


2014 届高考数学(理)一轮复习 15 定积分与微积分基本定理
一、选择题
1 x 1. ∫0(e +2x)dx 等于(

) B.e-1 D.e+1

A.1 C.e
x

解析:∵被积函数 e +2x 的原函数为 e +x , ∫1(ex+2x)dx=(ex+x2)|0 =(e1+1)

-(e0+0)=e. 0
1

x

2

答案:C 2.自由落体的运动速度 v=gt(g 为常数),则当 t∈[1,2]时,物体下落的距离为( 1 A. g 2 3 C. g 2 B.g D.2g )

1 2 2 3 2 解析:距离 S=∫1gtdt= gt |1 = g. 2 2 答案:C 3.设 函数 f(x)=ax +b(a≠0),若∫0f(x)dx=3f(x0),则 x0=( A.±1 C.± 3 B. 2 D.2
2 3

)

3 3 2 3 解析:∫0f(x)dx=∫0(ax +b)dx=( x +bx)|0 =9a+3b=3f(x0). 3 3

a

∴f(x0)=3a+b=ax0+b,∴x0=3,∴x0=± 3. 答案:C 4.设函数 f(x)=x +ax 的导函数 f′(x)=2x+1,则∫1f(-x)dx 的值等于( A. C. 5 6 2 3
m m
2

2

2

)

B. D.

1 2 1 6
2 2 2 2

解析:由于 f(x)=x +ax 的导函数为 f′(x)=2x+1,所以 f(x)=x +x,于是∫1f(-x)dx=∫1(x 1 3 1 2 2 5 -x)d x=( x - x )|1 = . 3 2 6 答案:A π π 5.由直线 x=- ,x= ,y=0 与曲线 y=cos x 所围成的封闭图形的面积为( 3 3 A. 1 2 B.1 )

1

C.

3 2

D. 3

解析:结合函数图象可得所求的面积是定积分 sin x 答案:D = 3 3 -(- )= 3. 2 2

cos xdx=

1 9 21 2 9 a 6.若(x - ) (a∈R)展开式中 x 的系数是- ,则∫0sin xdx 等于( ax 2 A.1-cos 2 C.cos 2-1 解析:由题意得 Tr+1=C9(x ) =(-1) C9x
r r 18-3r r
2 9-r

)

B.2-cos 1 D.1+cos 2
r 1 r (-1) ( )

ax

1

ar

,令 18-3r=9 得 r=3,

21 31 所以-C9 3=- ,解得 a=2, a 2
2 2 所以∫0sin xdx=(-cos x) |0=-cos 2+cos 0=1-cos 2.

答案:A 二、填空题 π a 7.已知 a∈[0, ],则当∫0(cos x-sin x)dx 取最大值时,a=________. 2
a 解析:∫0(cos x-sin x)dx=(sin x+cos x)|0 = a

sin a+cos a-1 π = 2sin(a+ )-1, 4 π π π ∵a∈[0, ],∴当 a= 时, 2cos(a+ )-1 取最大 值. 2 4 4 π 答案: 4

?x ,x∈[0,1] ? 8.设 f(x)=?1 ?x,x∈? 1,e] ?
x

2

(e 为自然对数的底数),则∫0f(x)dx 的值为________.

e

e 1 2 e1 解析:∫0f(x)d x=∫0x dx+∫1 dx

1 3 1 1 4 e = x |0 +lnx|1 = +ln e= . 3 3 3
2

4 答案: 3 9.如图,设 D 是图中边长为 4 的正方形区域,E 是 D 内函数 y=x
2

图象下方的点

构成的区域,现在 D 内随机取一点,则该点在 E 中的概率为________. 2 2 2 解析: 由定积分的几何意义可得阴影部分的面积为 S 阴=2∫0x dx= 3 16 S阴 3 1 2 又 S 正=4 =16,所以由几何概型可得该点在 E 中的概率为 P= = = . S正 16 3 1 答案: 3 三 、解答题 10.计 算以下定积分. 1 2 2 (1)∫1(2x - )dx;

x3|0 = ,
2

16 3

x

(2)

( sin x-sin 2x)dx;

2 (3)∫1|3-2x|dx.

1 2 3 2 解:(1)∵y=2x - 的一个原函数是 y= x -lnx, x 3 1 2 3 2 3 2 16 2 14 2 2 2 3 ∴∫1(2x - )dx=( x -lnx)|1=( ×2 -ln2)-( ×1 -ln1)= -ln2- = -ln2. x 3 3 3 3 3 3 1 (2)∵函数 y=sin x-sin 2x 的一个原函数是 y=-cos x+ cos 2x, 2 ∴ 1 (sin x-sin 2x)dx=( cos 2x-cos x) 2

1 2π π 1 =( cos -cos )-( cos 0-cos 0) 2 3 3 2 1 1 1 1 =[ ×(- )- ]-( -1) 2 2 2 2 1 1 1 1 =- - + =- . 4 2 2 4

?3-2x? ? (3)∵y=|3-2x|=? ? ?2x-3?

3 1≤x< ? , 2 3 ≤x<2? 2 ,

∴∫1|3-2x|dx=

2

|3-2x|dx+

|3-2x|dx
3



(3-2x)dx+
2 2

(2x-3)dx =[3×

=(3x-x )

+(x -3x)

3 3 - ( ) 2 ]-(3× 2 2

3 2 3 9 9 9 9 1 2 2 1-1 )+(2 -3×2)-[( ) -3× ]= - -2+(-2)- + = . 2 2 2 4 4 2 2 11.设 f(x)是二次函数,其图象过点(1,0),且 f′(1)=2, ∫1f(x)dx=0,求 f(x)的解析式. 0 解:设 f(x)=ax +bx+c(a≠0) 其图象过点(1,0), ∴a+b+c=0,①
2

f′(x)=2ax+b 而 f′(1)=2,
∴2a+b=2.② 由∫0f(x)dx=0, ∴∫0(ax +bx+c)dx = x + x +cx|0 3 2 = + +c=0.③ 3 2
1 2 1

a

3

b

2

1

a b

?a=3, ? 由①、②、③联立方程组,解得?b=-4, ?c=1. ?
∴f(x)=3 x -4x+1. 12.如图,设点 P 从原点沿曲线 y=x 向点 A(2,4)移动,直线 OP 与曲线 y=x 围成图形的面积为 S1, 直线 OP 与曲线 y=x 及直线 x =2 围成图形的面积为 S2,若 S1=S2,求点 P 的坐标.
2 2 2 2

解:设直线 OP 的方程为 y=kx,点 P 的坐标为(x,y), 则∫0(kx-x )dx=∫x(x -kx)dx, 1 2 1 3 1 3 1 2 x 2 即( kx - x ) |0=( x - kx ) |x. 2 3 3 2 1 2 1 3 8 1 3 1 2 解得 kx - x = -2k-( x - kx ), 2 3 3 3 2
x
2 2 2

4

4 4 4 16 解得 k= ,即直线 OP 的方程为 y= x,所以点 P 的坐标为( , ) 3 3 3 9

5


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