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永州市2011年下期期末质量检测试卷高二数学(文科)


永州市 2011 年下期期末质量检测试卷

高二数学(文科)
考生注意: 1.全卷分第 I 卷和第 II 卷,第 I 卷为选择填空题,1~2 页;第 II 卷为解答题,3~6 页. 2.全卷满分 120 分,时量 120 分钟. 3.考生务必将第 I 卷的答案填入第 .卷卷首的答案栏内. .. ...II . .

第I卷

/>一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 4 分,共计 32 分,每小题给出的 4 个选项中,只有 一项是符合题目要求的,请把正确选项的代号填入第Ⅱ卷卷首的答案栏内) 1. 已知数列 ?a n ?是等比数列, a1 ? 2, a4 ?

1 8 1 C. 2
A. 2. 下列命题中,错误的是 .. A. a ? b ? b ? a C. a ? b ? c ? a ? c 3. 在 ?ABC 中,已知 a ? b -c ?
2 2 2

1 ,则公比 q = 4 1 B. 4
D. 2

B. a ? b, c ? d ? ac ? bd D. a ? b, c ? d ? a ? c ? b ? d

2ab ,则 ?C ?
B.45° D.155°

A.30° C.135° 4. 已知 p : x ? 2 ? 3 , q : ?1 ? x ? 5 ,则 q是p 的 A.充分不必要条件 C.充要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

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5. 已知 P 点在抛物线 y ? 4 x 上,若 P 点到抛物线焦点的距离为 3,则 P 点的横坐标是
2

A.1 C.3 6.函数 y ? x ? x 在 x ? 1 处的切线方程为
3

B.2 D.4

A. y ? 2 x ? 2 C. y ? 2 x ? 1

B. y ? 2 x D. y ? ?2 x ? 2

7. 已知等差数列{ a n }, a6 ? 11 ,则 a5 ? a6 ? a7 ? A.150 C.40 8. 若方程 B.48 D.33

x2 y2 ? 2 ? 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,那么实数 m 的取值范围是 m m ?2 A. 0 ? m ? 1 B. ?2 ? m ? 1 C. ?1 ? m ? 2 D. 0 ? m ? 2

二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,共计 28 分,把答案填入第Ⅱ卷卷首的答案栏 内) 9. 已知函数 f ? x ? ? 2sin x ,则 f ? ? x ? ? 10.命题“若 a ? 0 ,则 a ? 0 ”的逆否命题是
2

. . . .

11.双曲线 4 x ? 9 y ? 36 的渐近线方程为
2 2

12.已知实数 x、y 满足 x ? y ? 1 ? 0 ,且 x ? 0, y ? 0 ,则 y ? 2 x 的最小值是 13. 已知 f ? x ? ?

1 3 x ? x ,则 f ? x ? 在 ? ??, ?? ? 上的单调递减区间是 3
2

.

14. 已知数列 ? an ? 的前 n 项和 Sn ? n ? 2n ? 3 ,则 an ? __________________. 15.一辆汽车以每小时 15 km 的速度由 D 点向东行驶,经过一段时间行驶到 A 处,看到一座 寺塔 B 在汽车的北偏东 60 方向, 再行驶 4 小时后, 汽车到达 C 处, C 处看到寺塔 B 在 在汽车的北偏东 15 方向,此时,汽车所在 C 处与寺塔 B 的距离为
0 0

km .

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永州市 2011 年下期期末质量检测试卷

高二数学答卷(文科)
第 II 卷
题号 得分 一 二 三 16 17 18 19 20 21 总分 合分人

一、选择题答题栏 题号 答案 二、填空题答题栏 9. 11. 14. 10. 12. 15. 13. 1 2 3 4 5 6 7 8

三、解答题(本大题共 6 小题,共计 60 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16. (本小题满分 8 分)已知命题 p : m ? ?1 或 m ? 2 , q : m ? 1,若 p和“?q” 均为假命 题,求实数 m 的取值范围.

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17. (本小题满分 10 分)已知 ?ABC 中,三个角 A、B C 的对边分别为 a、b c , 、 、
0 且 a = 3 3 , b = 7 , B ? 150 ,求 ?ABC 的面积 S .

2 18. (本小题满分 10 分)已知二次函数 f ( x) ? mx ? 2 x ? n ? x ? R ? 在 x ? 1 处有极值,且

其图象过点 0, . ( 3) (1)求 f ( x) 的解析式; (2)求函数 g ( x) ? f ( x ) ? x ?
2 4

4 3 x 的极小值和取得极小值时相应的 x 值. 3

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19. (本小题满分 10 分)永州市某房地产开发商投资 81 万元建成一座写字楼,现将该写字 楼出租,每年收入租金 25 万元,但每年需对写字楼投入一定的装修费用(不考虑其他 费用).年初出租,出租 x 年后的累计装修费用 y (万元)与出租年数 x 的平方成正比 ( x ? N ? ) 已知出租两年后累计装修费用为 4 万元. , 记出租 x 年的年平均利润为 W (万 元) ,试问出租几年后的年平均利润 W 取得最大值,最大值为多少?

2 2 20. (本小题满分 10 分)已知椭圆 C 与双曲线 2 x ? 2 y ? 1 共焦点,且过点( 2, 0 )

(1)求椭圆 C 的标准方程; (2)求椭圆 C 的斜率为 2 的一组平行弦的中点轨迹方程.

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21. (本小题满分 12 分)已知数列 ? an ? 满足 an ? 2an ?1 ? 2 (1)若 bn ?

n

? n ? N ? , n ? 2 ? ,且 a1 ? 4.

an ,求证:数列 ?bn ? 是等差数列; 2n 1 (2)设数列 ?cn ? 满足 cn ? ,Tn ? c1c2 ? c2c3 ? c3c4 ? ? ? cn cn ?1 ,若对一 an log 2 ?1 n ?1 切 n ? N ? ,不等式 2mTn ? cn 恒成立,求实数 m 的取值范围.

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永州市 2011 年下期期末质量检测

高二数学(文科)参考答案及评分标准
一、选择题 题号 答案 二、填空题 9. 2cos x 11. 2 x ? 3 y ? 0 10.若 a 2 ? 0 ,则 a ? 0 12.-2 1 C 2 B 3 B 4 C 5 B 6 A 7 D 8 A

13. ? ?1,1? (注:开或闭或半开半闭区间均可) 14. ?

?1 , n ?1 ? ? 2n ? 3 , n ? 2 ?

15. 30 2

三、解答题 16.解:? p是假命题

?-1 ? m ? 2 ? q是真命题,即有m ? 1
可得实数 m 的取值范围是 m ? 1 ? m ? 1

.................3 分 .................6 分

? ?q是假命题
由?

??1 ? m ? 2 ? ?m ?1 ?

?

?

.................8 分

17.解法一:? b2 ? a 2 ? c2 ? 2ac cos B

? c2 ? 3 3 ? 72 ? 2 ? 3 3 ? c ? cos1500 ? 0
即 c ? 9c ? 22 ? 0 ? c ? ?11 舍去 或c ? 2
2

? ?

2

...................4 分 ...................7 分

?

?

?S ?

1 1 1 3 3 ac sin150o ? ? 3 3 ? 2 ? ? 2 2 2 2

...................10 分

解法二:由

a b 3 3 13 ? ? sin A ? , cos A ? sin A sin B 14 14

...................3 分

? sin C ? sin ? A ? B ? ? sin A cos B ? cos A sin B
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?

3 3 ? 3 ? 13 1 1 ??? ?? ? ? 14 ? 2 ? 14 2 7 ? ?

...................7 分

?S ?

1 1 1 3 3 ab sin C ? ? 3 3 ? 7 ? ? 2 2 7 2

...................10 分 ...................2 分

18.解: (1) f ?( x) ? 2mx ? 2

由题设可得: ?
2

? f ?(1) ? 0 ? 2m ? 2 ? 0 ?m ? 1 ?? , 即? ? f (0) ? 3 ?n ? 3 ?n ? 3
...................5 分 ......... ..........7 分

所以 f ( x) ? x ? 2 x ? 3 . (2) g ( x) ?

4 3 x ? 2 x 2 ? 3 , g ?( x) ? 4 x 2 ? 4 x ? 4 x( x ? 1) . 3

列表:

x
g?? x?
g ? x?

? ??, 0 ?
+ ↗

0 0 3

? 0,1?
- ↘

1 0

?1, ?? ?
+ ↗ ...................10 分 ...................2 分

7 3

由表可知函数 g ? x ? 的极小值为 19.解:设 y ? kx
2

7 ,相应的 x 值为 1. 3
2

,依题意有 4 ? k ? 22 ,得 k ? 1 ,? y ? x

所以年平均利润

W?

25 x ? ? x 2 ? 81? x

81 ? ? ? 25 ? ? x ? ? ? 25 ? 2 81 ? 7 ..... .................6 分 x? ?
...................8 分 ...................10 分 ...................2 分

当且仅当 x ?

81 ,即 x ? 9 时取等号 x

所以出租后第 9 年开发商获得最大年平均利润.

x2 y 2 ? ? 1 ,则 c =1 20.解: (1)依题意得,将双曲线方程化为 1 1 2 2
?椭圆与双曲线共焦点

?设椭圆方程为

x2 y2 ? 2 ?1 a2 a ?1

..................3 分

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( ?椭圆过点 2,0)
? 所求椭圆方程为

?

2 0 ? 2 ? 1 ,即a 2 ? 2 2 a a ?1
...................5 分

x2 ? y2 ? 1 2

(2)依题意,设斜率为 2 的弦 AB 所在直线的方程为 y ? 2 x ? b ,弦 AB 的中点坐 标为 ? x, y ? ,设 A, B 的坐标分别为 ? x1 , y1 ? , ? x2 , y2 ?

? y ? 2x ? b 8b 2b ? , y1 ? y2 ? 由 ? x2 ? 9 x 2 ? 8 xb ? 2b 2 ? 2 ? 0 ? x1 ? x2 ? ? 2 9 9 ? ? y ?1 ?2

?x ? ?

4b b , y? 9 9

两式消去 b 得 y = ?

1 x. 4

...................8 分

2 2 令△ =0,则 64b ? 36 2b ? 2 ? 0 ,即 b =± 3,

?

?

所以斜率为 2 且与椭圆相切的直线方程为 y ? 2 x ? 3 , 即当 x = ?

4 时斜率为 2 的直线与椭圆相切. 3

所以,平行弦的中点轨迹方程为 y = ? 21.解: (1)由 an ? 2an ?1 ? 2n 得

1 4 4 x ( ? ? x ? ). 3 3 4

...............10 分

an an ?1 ? ?1 2n 2n ?1 a 即 bn ? bn ?1 ? 1(n ? 2) ,而 b1 ? 1 ? 2 2

...................2 分

??bn ? 是以 2 为首项,以 1 为公差的等差数列.
(2)由(1)可得 bn ? 2 ? ? n ? 1? ?1 ? n ? 1 ,

...................5 分

? an ? ? n ? 1? 2n
...................7 分

? cn ?

1 n ?1

? cn cn ?1 ?

1 1 1 1 ? ? ? n ?1 n ? 2 n ? 1 n ? 2 1 1 ?Tn ? ? 2 n?2

...................9 分

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由 2mTn ? cn 得: 2m ? 令 f ?n? ?

1 ? 1 n?2 ?1 ? ?m? ?? n ? n ? 1? ? 2 n ? 2 ? n ?1

n?2 , n ? n ? 1?
n?3 n?2 n?4 ? ?? ?0 ? n ? 1?? n ? 2 ? n ? n ? 1? n ? n ? 1?? n ? 2 ?

? f ? n ? 1? ? f ? n ? ?

? f ? n ? 在 n ? N ? 时单调递减
? f ? n ?max ? f ?1? ?
故m ?

3 2

...................11 分 ...................12 分

3 2

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