【成才之路】高中数学必修一新课标人教版 第二章 基本初等函数(Ⅰ) 对数函数 换底公式

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基本初等函数（Ⅰ）

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1．(1)计算log48，log42与log28的值，看它们之间有什 么关系？
3 1 log48 答案： ， ，3，log28＝ . 2 2 log42
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(2)计算log1000100的值，看它们与lg100，lg1000的值有 何联系？
lg100 答案：log1000100＝ . lg1000

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logcb 2．换底公式：logab＝ (其中a>0且a≠1，c>0且 logca c≠1，b>0)．
3．由换底公式可得： 1 (1)logab＝ (a>0 且 a≠1，b>0 且 b≠1)． logba n n mb ＝ (2)loga logab(其中 a>0 且 a≠1，b>0) m
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4．利用换底公式求值： 2 (1)log54· 85＝ log . 3 (2)log89· 2732＝10 . log 9

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[解析]

lg4 lg5 2 (1)原式＝ · ＝ . lg5 lg8 3

lg9 lg32 2lg3 5lg2 10 (2)log89· 2732＝ × log ＝ × ＝ . lg8 lg27 3lg2 3lg3 9

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本节重点：换底公式及其应用． 本节难点：换底公式及有关对数恒等式的推导及应

用．

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logcb 换底公式：logab＝ 的证明如下： logca 令 logab＝x， b＝ax.两边同取以 c 为底的对数得 logcb 则 logcb logcb ＝logca ＝xlogca，所以 x＝ ，即 logab＝ . logca logca
x
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logcb 它还可以用对数恒等式来证明：要证 logab＝ ， logca 即证 logab· ca＝logcb.由对数的运算法则，即证 logcalogab log ＝logcb，∵alogab＝b，∴上式成立，∴原结论成立．

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[例1] [分析]

1 1 1 计算log225· 38· 59. log log 将底统一成以10为底的常用对数

[解析]

1 1 1 lg lg lg 25 8 9 原式＝ · · lg2 lg3 lg5

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(－2lg5)· (－3lg2)· (－2lg3) ＝ ＝－12. lg2lg3lg5

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(1)求证：loganbn＝logab.(a>0 且 a≠1，n∈N＋，b>0)． n (2)求证：logamb ＝ logab(a<0 且 a≠1，b>0) m logabn nlogab [解析] (1)loganbn＝ ＝ ＝logab； logaan nlogaa
n
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logabn nlogab n (2)logambn＝ ＝ ＝ log b. logaam mlogaa m a

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[例2]

某城市现有人口总数为100万，如果年自然增
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长率为1.2%，试解答下面的问题：
(1)写出该城市人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系 式． (2)计算10年后该城市人口总数(精确到0.1万人)； (3)计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人(精

确到1年)．

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[解析] (1)1年后该城市人口总数为 y＝100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%) 2年后该城市人口总数为
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y＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%＝100×(1
＋1.2%)2 3年后该城市人口总数为 y ＝ 100×(1 ＋ 1.2%)2 ＋ 100×(1 ＋ 1.2%)2×1.2% ＝ 100×(1＋1.2%)3

x年后该城市人口总数为
y＝100×(1＋1.2%)x

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(2)10年后该城市人口总数为 y＝100×(1＋1.2%)10＝100×1.01210≈112.7(万人) (3)设x年后该城市人口将达到120万人，即 100×(1＋1.2%)x＝120(万人) 120 x＝log1.012100＝log1.0121.2≈15年
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抽气机每次抽出容器内空气的60%，要使容器内的空

气少于原来的0.1%，则至少要抽(已知lg2＝0.3010)(
A．6次 C．8次 [答案] C [解析] 设至少要抽n次
2N (1－60%) <0.1%，即( ) <10－3. 5
n

)
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B．7次 D．9次

3 ∴n> ≈7.6.故选C. 1－2lg2

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[例 3] [分析]

2 1 设 3 ＝4 ＝36，求 ＋ 的值． a b
a b

(1)可考虑指对互化后换为都是以 36 为底的对数

式，然后利用对数的运算法则求解． (2)∵4＝22,36＝22×33,2×3＝6.故可考虑将条件式取以 6 为底的对数，然后利用对数的运算法则求解．

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[解析]

解法1：由3a＝4b＝36得log336＝a，log436＝ 1 log363 ，b＝log436＝
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b，由换底公式可得a＝log336＝ 1 log364.

2 1 所以a＋b＝2· 363＋log364＝log369＋log364 log ＝log3636＝1.

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解法2：对已知条件等式的两边取以6为底的对数 得， a· 63＝2b· 62＝2. log log 2 1 所以a＝log63，b＝log62. 2 1 所以 ＋ ＝log63＋log62＝log66＝1. a b
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1 1 设3 ＝5 ＝ 15，则 ＋ ＝________. a b [答案] 2
a b

[解析]

将3a＝5b＝ 15的两边取常用对数得，

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1 lg15 lg15 alg3＝blg5＝2lg15，∴a＝2lg3，b＝2lg5， 1 1 2lg3 2lg5 2lg15 ∴ ＋ ＝ ＋ ＝ ＝2. a b lg15 lg15 lg15

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一、选择题
log89 1. 的值是 log23 A．2 B．1 3 C.2 2 D.3
2 3log23 2 ＝ log 3 ＝3.故选 D. 2

(

)
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[答案]

D

log89 [解析] log 3＝ 2

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2．式子 A．6 C．14 7 B. 2 3 D.7

的值为(

)

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[答案] C
[解析] 因为

＝2×7＝14，所以选 C.

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1 5 3．计算lg2－lg8＋lg12.5－log89· 278的值等于( log 1 A.3 C．3 5 B.3 2 D．－3

)

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[答案]

A

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[解析]
－1

1 5 因为lg2－lg8＋lg12.5－log89· 278 log
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lg9 lg8 ＝lg2 －(lg5－lg8)＋lg25－lg2－lg8· lg27 2lg3 ＝－lg2－lg5＋3lg2＋2lg5－lg2－3lg3 2 2 1 ＝lg5＋lg2－3＝1－3＝3.故选A.

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二、填空题 4．已知lg3＝0.4771，lg2＝0.3010，若lgx＝2.1303，则

x＝________.
[答案] 135 [解析] ∵lgx＝2.1303＝0.4771×3＋0.6990 ＝3lg3＋1－lg2＝lg27＋lg5＝lg135，∴x＝135.

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5．若log32＝m，log35＝n，则lg5用m，n表示为 ________．
n [答案] m＋n
log35 log35 [解析] lg5＝log 10＝ log3(2×5) 3 log35 n ＝ ＝ . log32＋log35 m＋n
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三、解答题 6．已知log32＝a,3b＝5，试用a、b表示log3 30.

[解析] ∴log3

根据题意得：b＝log35 1 1 30＝ log3(3×10)＝ (1＋log310) 2 2

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1 1 ＝ (1＋log32＋log35)＝ (1＋a＋b)． 2 2

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