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2015陕西高考数学理科word版


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2015 年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷)

理科数学
第一部分(共 60 分)
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求. (本大题共 12 小题,每 小题 5 分,共 60 分) 1.设集合 M ? {x | x

2 ? x} , N ? {x | lg x? 0} ,则 M ? N ? () . A. [0,1] B. (0,1] C. [0,1) D. (??,1]

2.某中学初中部共有 110 名教师,高中部共有 150 名教师,其性别比例如图所示,则该校女 教师的人数为() . A.167 B.137 C.123 D.93

(初中部) (高中部) 3.如图, 某港口一天 6 时到 18 时的水深变化曲线近似满足函数 y ? 3sin( 函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为() . A.5 B.6 C .8 D.10

π x ? ?) ? k , 据此 6

y 水深/m

2 O
6 12 18

x时间/h

4.二项式 ( x ? 1)n (n ? N* ) 的展开式中 x 2 的系数为 15,则 n ? () . A.4 B.5 C.6 D.7

5.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为() . A. 3 π B. 4 π C. 2 π ? 4 D. 3π ? 4
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2

2 主视图

左视图 1

俯视图
6.“ sin ? ? cos ? ”是“ cos 2? ? 0 ”的() . A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要 7.对任意向量 a,b ,下列关系式中恒成立的是() . A. a ? b ? a b
2

B. a ? b ? a ? b
2

2 2 C. ? a ? b ? ? a ? b D. ? a ? b ?? a ? b ? ? a ? b

8.根据右边的图,当输入 x 为 2005 时,输出的 y ? () . A.28 B.10 C.4 D.2

9.设 f ( x) ? ln x, 0 ? a ? b ,若 p ? f ( ab ) , q ? f ( 则下列关系式中正确的是() . A. q ? r ? p B. q ? r ? p C. p ? r ? q

a?b 1 ) , r ? ( f (a ) ? f (b)) , 2 2
D. p ? r ? q

10.某企业生产甲乙两种产品均需用 A, B 两种原料,已知生产 1 吨每种产品需原料及每天原 料的可用限额表所示,如果生产 1 吨甲乙产品可获利润分别为 3 万元、4 万元,则该企业每 天可获得最大利润为() . 甲 乙 原料限额

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A(吨) B(吨) A.12 万元

3 1 B.16 万元

2 2 C.17 万元

12 8 D.18 万元

x 的概率为() 11.设复数 z ? ( x ? 1) ? yi ( x, y ? R) ,若 | z | ? 1 ,则 y… .
A.

3 1 ? 4 2?

B.

1 1 ? 4 2?

C.

1 1 ? 2 ?

D.

1 1 ? 2 ?

12.对二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c (a 为非零常数) ,四位同学分别给出下列结论,其中有 且仅有一个结论是错误的,则错误的结论是() . A. ?1 是 f ( x ) 的零点 B.1 是 f ( x ) 的极值点 C.3 是 f ( x ) 的极值 D.点 (2,8) 在曲线 y ? f ( x) 上 二、填空题:把答案填写在答题卡相应题号后的横线上(本大题共 4 小题,每小题 5 分, 共 20 分) 13.中位数为 1010 的一组数构成等差数列,其末项为 2015,则该数列的首项为. 14.若抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的准线经过双曲线 x 2 ? y 2 ? 1的一个焦点,则 p ? ________. 15.设曲线 y ? e x 在点(0,1)处的切线与曲线 y ? 标为. 16.如图,一横截面为等腰梯形的水渠,因泥沙沉积,导致水渠截面边界呈抛物线型(图中 虚线表示) ,则原始的最大流量与当前最大流量的比值为.

1 ( x ? 0) 上点 p 处的切线垂直,则 P 的坐 x

10m 2m 2m 45

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答须写出文字说明、证明过程和演 算步骤. ) 17. (本小题满分 12 分)△?? C 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a , b , c .向量

m ? a, 3b 与 n ? ? cos ?,sin ? ? 平行.

?

?

??? 求 ? ;

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? ?? ? 若 a ?

7 , b ? 2 求 △?? C 的面积.

18. (本小题满分 12 分)如图 1 ,在直角梯形 ΑΒCD 中, ΑD //ΒC , ?ΒΑD ?

π , 2

ΑΒ = ΒC = 1 ,ΑD ? 2 ,Ε 是 ΑD 的中点,O 是 ΑC 与 BE 的交点.将 △ ABE 沿 BE
折起到 △Α1ΒΕ 的位置,如图 2 .

A1(A) E C D

O B
图1 图2

? ? ? 证明: CD ? 平面 ΑΟ 1 C; ? ?? ? 若平面 Α1ΒΕ ? 平面 ΒCDΕ ,求平面 Α1ΒC 与平面 Α1CD 夹角的余弦值.

19. (本小题满分 12 分)设某校新、老校区之间开车单程所需时间为? ,? 只与 道路畅通状况有关,对其容量为 100 的样本进行统计,结果如下:

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? (分钟)
频数(次)

25 20

30 30

35 40

40 10

? ? ? 求? 的分布列与数学期望 ?? ; ? ?? ? 刘教授驾车从老校区出发,前往新校区做一个
率. 50 分钟的讲座,结束后立即 返回老校区, 求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过 120 分钟的概

20. (本小题满分 12 分)已知椭圆 ? :

x2 y 2 ? ? 1( a ? b ? 0 )的半焦距为 c ,原 a 2 b2

1 点 ? 到经过两点 ? c,0 ? , ? 0, b ? 的直线的距离为 c . 2

? ? ? 求椭圆 ? 的离心率;
2 2 ? ?? ? 如图, ?? 是圆 ? : ? x ? 2 ? ? ? y ? 1? ? 2 的一条直径,若椭圆 ? 经过 A, B 两

5

点,求椭圆 ? 的方程.
y B M A O x

21. (本小题满分 12 分)设 fn ? x ? 是等比数列 1 , x , x 2 , ??? , x n 的各项和,其
2. 中 x ? 0 , n ? ? , n…

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? ? ? 证明:函数 Fn ? x? ? fn ? x? ? 2 在 ? ?
xn ? 1 1 n ?1 ? xn ; 2 2

1 ? ,且 ,1? 内有且仅有一个零点(记为 xn ) ?2 ?

? ?? ? 设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列,其各项
和为 gn ? x ? ,比较 fn ? x ? 与 gn ? x ? 的大小,并加以证明. 请在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.作 答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号后的方框涂黑. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, ΑΒ 切 ? ? 于点 B ,直线 AD 交 ? O 于 D , E 两点,BC ? DE ,垂足为 C .

? ? ? 证明: ?CBD ? ?DBA ; ? ?? ? 若 AD ? 3DC , BC ?
2 ,求 ? ? 的直径.

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

1 ? x ? 3? t ? 2 ? 在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数) .以原点为极 ?y ? 3 t ? ? 2
点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系, ? C 的极坐标方程为 ? ? 2 3 sin ? .

? ? ? 写出 ? C 的直角坐标方程; ? ?? ? P 为直线 l 上一动点,当 P 到圆心 C 的距离最小时,求 P 的直角坐标.
24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知关于 x 的不等式 x ? a ? b 的解集为 ? x 2 ? x ? 4? .

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? ? ? 求实数 a , b 的值; ? ?? ? 求
at ? 12 ? bt 的最大值.
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