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江西省宜春市高安中学创新班2014-2015学年高一(下)期末数学试卷(理科)

时间:2015-12-23


江西省宜春市高安中学创新班 2014-2015 学年高一(下)期末数学试 卷(理科)
一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,每小题只有一个正确选项) 1.为了解某地区中小学生的视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查,事先已经 了解到该地区小学、 初中、 高中三个学段学生的视力情况有较大差异, 而男女生视力情况差异不大. 在 下

面的抽样方法中,最合理的抽样方法是( ) A. 简单的随机抽样 B. 按性别分层抽样 C. 按学段分层抽样 D. 系统抽样 2.已知实数 x,y 满足 a <a (0<a<1) ,则下列关系式恒成立的是( A. >
2 2 x y



B. ln(x +1)>ln(y +1) D. x >y
3 3

C. sinx>siny

3.不等式

≥0 的解集为(

) B. {x|x≥3 或﹣1<x≤1} D. {x|x≤﹣3 或﹣1<x≤1} )

A. {x|x≥3 或﹣1≤x≤1} C. {x|x≤﹣3 或﹣1≤x≤1}

4.运行如图所示的程序,如果输出结果为 sum=1320,那么判断框中应填(

A. i≥9

B. i≥10

C. i≤9

D. i≤10

5.某种产品的广告费支出 x 与销售额 y(单位:万元)之间有如下一组数据: x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 50 70 若 y 与 x 之间的关系符合回归直线方程 A. 17.5 B. 27.5 ,则 a 的值是( C. 17 ) ) D. 14

6.已知等差数列{an}满足 a5+a6=28,则其前 10 项之和为(

A. 140

B. 280

C. 168

D. 56

7.掷两次骰子得到的点数分别为 m 和 n,记向量 =(m,n)与向量 =(1,﹣1)的夹角为 θ,则 θ∈(0, A. ]的概率是( ) B.
2

C.

D.

8.在等比数列{an}中,a3,a9 是方程 3x ﹣11x+9=0 的两个根,则 a5a6a7=( A. 3 B. C. ±3



D. 以上皆非

9.实数 x,y 满足不等式组

,则 ω=

的取值范围是(



A. [﹣ , ]

B. [﹣1, ]

C. [﹣1,1)

D. [﹣ ,1)

10.若直线 2ax+by﹣2=0(a,b∈R )平分圆 x +y ﹣2x﹣4y﹣6=0,则 + 的最小值是( A. 1 B. 5
2

+

2

2



C. 4 ,则△ ABC 是( )

D. 3+2

11.在△ ABC 中,若 sinBsinC=cos A. 等腰三角形 C. 等边三角形
2

B. 直角三角形 D. 等腰直角三角形
*

12. 数列{an}满足 a1= , an+1=an ﹣an+1 (n∈N ) , 则 m= A. 3 B. 2 C. 1

的整数部分是 ( D. 0



二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.已知 A 船在灯塔 C 的正东方向,且 A 船到灯塔 C 的距离为 2km,B 船在灯塔 C 北偏西 30°处, A,B 两船间的距离为 3km,则 B 船到灯塔 C 的距离为 km. 14.不等式(a﹣2)x +2(a﹣2)x﹣4<0 对一切 x∈R 恒成立,则实数 a 的取值范围是 15.在△ ABC 中,sin(A﹣B)+sinC= ,BC= AC,则角 B 的大小为 .
2



16.数列{an}的前 n 项和为 Sn,若数列{an}的各项按如下规律排列: , , , , , , , , , …, , ,…, ①a24= ; ②数列 a1,a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9+a10,…是等比数列; ③数列 a1,a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9+a10,…的前 n 项和为 Tn= ④若存在正整数 k,使 Sk<10,Sk+1≥10,则 ak= . 其中正确的结论是 . (将你认为正确的结论序号都填上) ; ,…有如下运算和结论:

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,17 题 10 分,其余 5 题各 12 分.解答应写出文字说明,证 明过程或演算步骤) 17.在△ ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,且 (1)求角 B 的大小; (2)若 ,求△ ABC 的面积. ,

18.已知关于 x 的一次函数 y=ax+b, (1)设集合 P={﹣2,﹣1,1,2,3}和 Q={﹣2,0,3},分别从集合 P 和 Q 中随机取一个数作为 a 和 b,求函数 y=ax+b 是增函数的概率;

(2)实数 a,b 满足条件

求函数 y=ax+b 的图象经过二、三、四象限的概率.

19.已知函数 f(x)=x ﹣(a+ )x+1, (1)若 a>0,解关于 x 的不等式 f(x)≤0; (2)若对于任意 x∈(1,3) ,f(x)+ x>﹣3 恒成立,求 a 的取值范围.

2

20.已知数列{an}是公差为 d 的等差数列,{bn}是公比为 q(q∈R,q≠1,q≠0)的等比数列.若 a1= 2 2 2 2 (d﹣2) ,a3=d ,b1=(q﹣2) ,b3=q . (1)求数列{an},{bn}的通项公式; (2)设数列{cn}对任意自然数 n 均有 ,求 c1+c3+c5+…+c2n﹣1 的值.

21.△ ABC 中,已知 (1)求∠C 的大小;

,记角 A,B,C 的对边依次为 a,b,c.

(2)若 c=2,且△ ABC 是锐角三角形,求 a +b 的取值范围. 22.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,若对任意的正整数 n,总存在正整数 m,使得 Sn=am,则称{an}是 “H 数列”. (1)若数列{an}的前 n 项和为 Sn=2 (n∈N ) ,证明:{an}是“H 数列”; (2)设{an}是等差数列,其首项 a1=1,公差 d<0,若{an}是“H 数列”,求 d 的值; * (3)证明:对任意的等差数列{an},总存在两个“H 数列”{bn}和{cn},使得 an=bn+cn(n∈N )成立.
n *

2

2

江西省宜春市高安中学创新班 2014-2015 学年高一(下)期末数学试 卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,每小题只有一个正确选项) 1.为了解某地区中小学生的视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查,事先已经 了解到该地区小学、 初中、 高中三个学段学生的视力情况有较大差异, 而男女生视力情况差异不大. 在 下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是( ) A. 简单的随机抽样 B. 按性别分层抽样 C. 按学段分层抽样 D. 系统抽样 考点:分层抽样方法. 专题:阅读型. 分析:若总体由差异明显的几部分组成时,经常采用分层抽样的方法进行抽样. 解答: 解:我们常用的抽样方法有:简单随机抽样、分层抽样和系统抽样, 而事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力情 况差异不大. 了解某地区中小学生的视力情况,按学段分层抽样,这种方式具有代表性,比较合理. 故选:C. 点评:本小题考查抽样方法,主要考查抽样方法,属基本题. 2.已知实数 x,y 满足 a <a (0<a<1) ,则下列关系式恒成立的是( A. >
2 2 x y



B. ln(x +1)>ln(y +1) D. x >y
3 3

C. sinx>siny

考点:指数函数的图像与性质;对数函数的图像与性质. 专题:函数的性质及应用. 分析:本题主要考查不等式的大小比较,利用函数的单调性的性质是解决本题的关键. 解答: 解:∵实数 x,y 满足 a <a (0<a<1) ,∴x>y, A.若 x=1,y=﹣1 时,满足 x>y,但 =
2 x y

= ,故
2



不成立.
2 2

B.若 x=1,y=﹣1 时,满足 x>y,但 ln(x +1)=ln(y +1)=ln2,故 ln(x +1)>ln(y +1)不成 立. C.当 x=π,y=0 时,满足 x>y,此时 sinx=sinπ=0,siny=sin0=0,有 sinx>siny,但 sinx>siny 不成 立. 3 3 3 D.∵函数 y=x 为增函数,故当 x>y 时,x >y ,恒成立, 故选:D. 点评:本题主要考查函数值的大小比较,利用不等式的性质以及函数的单调性是解决本题的关键.

3.不等式

≥0 的解集为(

) B. {x|x≥3 或﹣1<x≤1} D. {x|x≤﹣3 或﹣1<x≤1}

A. {x|x≥3 或﹣1≤x≤1} C. {x|x≤﹣3 或﹣1≤x≤1} 考点:其他不等式的解法. 专题:不等式的解法及应用. 分析:要解的不等式即

≤0,用穿根法求得此不等式的解集.

解答: 解:不等式

≥0,即

≤0,

如图,用穿根法求得此不等式的解集为 {x|x≤﹣3 或﹣1<x≤1}, 故选:D.

点评:本题主要考查用穿根法求分式不等式,体现了转化的数学思想,属于基础题. 4.运行如图所示的程序,如果输出结果为 sum=1320,那么判断框中应填( )

A. i≥9

B. i≥10

C. i≤9

D. i≤10

考点:程序框图. 专题:算法和程序框图. 分析:根据题意,模拟程序框图的运行过程,即可得出该程序判断框中应填的是什么. 解答: 解:模拟程序框图的运行过程,得出该程序输出的结果是计算 sum=12×11×10×…×(i﹣1) ; 输出结果 sum=1320 时,sum=12×11×10, ∴判断框中应填 i≤9. 故选:C. 点评:本题考查了程序框图的应用问题,解题时应模拟程序框图的运行过程,以便得出正确的答案 来,是基础题. 5.某种产品的广告费支出 x 与销售额 y(单位:万元)之间有如下一组数据:

x y

2 30

4 40

5 60

6 50

8 70 ,则 a 的值是( C. 17 ) D. 14

若 y 与 x 之间的关系符合回归直线方程 A. 17.5 B. 27.5

考点:线性回归方程. 专题:应用题. 分析:先求出横标和纵标的平均数,得到这组数据的样本中心点,利用线性回归方程恒过样本中心 点,代入样本中心点求出 a 的值. 解答: 解:由表格得 =5, =50. ∵y 关于 x 的线性回归方程为 y=6.5x+a, ∴50=6.5×5+a, ∴a=17.5. 故选 A. 点评:本题考查线性回归方程的运用,解题的关键是利用线性回归方程恒过样本中心点. 6.已知等差数列{an}满足 a5+a6=28,则其前 10 项之和为( A. 140 B. 280 C. 168 考点:等差数列的前 n 项和;等差数列的性质. 专题:计算题. 分析:利用等差数列的性质 a5+a6=a1+a10,代入等差数列前 n 项和公式进行运算. 解答: 解:由等差数列的性质得 a5+a6=28=a1+a10,∴其前 10 项之和为: = =140. ) D. 56

点评:本题考查等差数列的性质、等差数列前 n 项和公式.

7.掷两次骰子得到的点数分别为 m 和 n,记向量 =(m,n)与向量 =(1,﹣1)的夹角为 θ,则 θ∈(0, A. ]的概率是( ) B. C. D.

考点:几何概型. 专题:概率与统计. 分析:由已知掷两次骰子得到的点数分别为 m 和 n,记为(m,n) ,共有 36 种可能,而由数量积则 θ∈(0, ]的,n 范围是 m﹣n≥0 并且 m+n≠0,由几何概型公式得到所求.

解答: 解:解:连掷两次骰子得到的点数分别为 m 和 n,记(m,n)有: (1,1) , (1,2) , (1,3) , (1,4) , (1,5) , (1,6) (2,1) , (2,2) , (2,3) , (2,4) , (2,5) , (2,6) (3,1) , (3,2) , (3,3) , (3,4) , (3,5) , (3,6)

(4,1) , (4,2) , (4,3) , (4,4) , (4,5) , (4,6) (5,1) , (5,2) , (5,3) , (5,4) , (5,5) , (5,6) (6,1) , (6,2) , (6,3) , (6,4) , (6,5) , (6,6) ,共 36 个基本事件 若 θ∈(0, ],则 m≥n,则满足条件的(m,n)有:

(1,1) , (2,1) , (2,2) , (3,1) , (3,2) , (3,3) (4,1) , (4,2) , (4,3) , (4,4) , (5,1) , (5,2) (5,3) , (5,4) , (5,5) , (6,1) , (6,2) , (6,3) (6,4) , (6,5) , (6,6) ,共 21 个基本事件 则 P= ;

故选 C. 点评:本题主要考查古典概型概率求法,用到了用两个向量的数量积表示两个向量的夹角;解答本 题的关键是明确概率模型,分别求出所有事件以及满足条件的事件个数,利用公式解答. 8.在等比数列{an}中,a3,a9 是方程 3x ﹣11x+9=0 的两个根,则 a5a6a7=( A. 3 B. C. ±3
2



D. 以上皆非

考点:等比数列的性质;等比数列的通项公式. 专题:等差数列与等比数列. 分析:根据等比数列的性质结合根与系数之间的关系进行求解即可. 解答: 解:∵a3,a9 是方程 3x ﹣11x+9=0 的两个根, ∴a3a9= ,a3+a9=
2 2

>0,

∵a3a9=(a6) , 则 a6=± 2 则 a5a6a7=(a6) a6=±3 , 故选:C 点评:本题主要考查等比数列性质的应用,根据根与系数之间的关系是解决本题的关键.

9.实数 x,y 满足不等式组

,则 ω=

的取值范围是(



A. [﹣ , ]

B. [﹣1, ]

C. [﹣1,1)

D. [﹣ ,1)

考点:简单线性规划. 专题:计算题;压轴题.

分析:根据已知的约束条件

,画出满足约束条件的可行域,分析

表示的

几何意义,结合图象即可给出

的取值范围.

解答: 解:约束条件

对应的平面区域如下图示:

表示可行域内的点(x,y)与点(﹣1,1)连线的斜率, 由图可知 故选 D. 的取值范围是 ,

点评:平面区域的最值问题是线性规划问题中一类重要题型,在解题时,关键是正确地画出平面区 域,分析表达式的几何意义,然后结合数形结合的思想,分析图形,找出满足条件的点的坐标,即 可求出答案. 10.若直线 2ax+by﹣2=0(a,b∈R )平分圆 x +y ﹣2x﹣4y﹣6=0,则 + 的最小值是( A. 1 B. 5 C. 4 D. 3+2
+ 2 2



考点:直线与圆的位置关系. 专题:不等式的解法及应用;直线与圆. 分析:求出圆心,根据直线平分圆,得到直线过圆心,得到 a,b 的关系,利用基本不等式即可得到 结论. 2 2 解答: 解:圆的标准方程为(x﹣1) +(y﹣2) =11, 即圆心为(1,2) , + 2 2 ∵直线 2ax+by﹣2=0(a,b∈R )平分圆 x +y ﹣2x﹣4y﹣6=0, ∴直线过圆心, 即 2a+2b﹣2=0, ∴a+b=1,

则 + =( + ) (a+b)=2+1+ 当且仅当 ,即 a= 时取等号, ,



故 + 的最小值是 3+

故选:D. 点评:本题主要考查基本不等式的应用,利用直线和圆的位置关系得到 a+b=1 是解决本题的关键. 11.在△ ABC 中,若 sinBsinC=cos A. 等腰三角形 C. 等边三角形 考点:三角形的形状判断. 专题:计算题. 分析:利用 cos
2 2

,则△ ABC 是(



B. 直角三角形 D. 等腰直角三角形

=

可得

,再利用两角和差的余弦可求. ,即 sinBsinC=1﹣cosCcosB,亦即 cos(C﹣B)=1,∵C,

解答: 解:由题意

B∈(0,π) ,∴C=B, 故选 A. 点评:本题主要考查两角和差的余弦公式的运用,考查三角函数与解三角形的结合.属于基础题. 12. 数列{an}满足 a1= , an+1=an ﹣an+1 (n∈N ) , 则 m= A. 3 B. 2 C. 1
2 *

的整数部分是 ( D. 0



考点:数列的求和;数列递推式. 专题:计算题;压轴题;转化思想. 分析:由题设知,an+1﹣1=an(an﹣1) ,故 ,累加得

=

=2﹣

.由 an+1﹣an=(an﹣1) ≥0,知

2

a2010≥a2009≥a2008≥a3>2,

,故 1<m<2,所以 m 的整数部分为 1.

解答: 解:由题设知,an+1﹣1=an(an﹣1) , ,

∴ 通过累加,得



= 由 an+1﹣an=(an﹣1) ≥0, 即 an+1≥an, 由 得 得 a3= , , .
2

=2﹣



∴a2010≥a2009≥a2008≥a3>2, ∴ ,

∴1<m<2, 所以 m 的整数部分为 1. 故选 C. 点评:本题考查数列的性质和应用,解题时要认真审题,注意挖掘题设中的隐含条件,合理地运用 数列的递推式. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.已知 A 船在灯塔 C 的正东方向,且 A 船到灯塔 C 的距离为 2km,B 船在灯塔 C 北偏西 30°处, A,B 两船间的距离为 3km,则 B 船到灯塔 C 的距离为 ﹣1 km. 考点:解三角形的实际应用. 专题:解三角形. 分析:先确定|AC|、|BC|和∠ACB 的值,然后在△ ABC 中应用余弦定理可求得|AB|的值 解答: 解:解:由题意可知|AC|=2,|AB|=3,∠ACB=90°+30°=120° 在△ ABC 中由余弦定理可得 |AB| =|AC| +|BC| ﹣2|AC||BC|cos∠ACB=4+x ﹣2?2x?(﹣ )=9,整理得 x +2x﹣5=0,解得 x= ∴|BC|= , ( ﹣1<0 舍去) ﹣1(km) .
2 2 2 2 2

故答案为: . 点评:本题主要考查余弦定理的应用,考查根据解三角形的有关定理来解决实际问题的能力. 14.不等式(a﹣2)x +2(a﹣2)x﹣4<0 对一切 x∈R 恒成立,则实数 a 的取值范围是 (﹣2,2] . 考点:函数恒成立问题;二次函数的性质.
2

专题:计算题. 分析:当 a﹣2=0,a=2 时不等式即为﹣4<0,对一切 x∈R 恒成立,当 a≠2 时 利用二次函数的性质 列出 a 满足的条件并计算,最后两部分的合并即为所求范围. 解答: 解:当 a﹣2=0,a=2 时不等式即为﹣4<0,对一切 x∈R 恒成立 ① 当 a≠2 时,则须 即 ∴﹣2<a<2 ②

由①②得实数 a 的取值范围是(﹣2,2] 故答案为: (﹣2,2] 点评:本题考查不等式恒成立的参数取值范围,考查二次函数的性质.注意对二次项系数是否为 0 进行讨论. 15.在△ ABC 中,sin(A﹣B)+sinC= ,BC=

AC,则角 B 的大小为



考点:两角和与差的正弦函数. 专题:三角函数的求值. 分析:由条件利用正弦定理、两角和差的正弦公式求得 sin2B 的值,可得角 B 的大小. 解答: 解:△ ABC 中,∵sin(A﹣B)+sinC= ,∴sin(A﹣B)+sin(A+B)= , ∴2sinAcosB= ,∴cosB> ,∴0<B< 又 BC= ∴2B= AC,∴sinA= ,∴B= . . sinB,∴2 . sinBcosB= ,∴sin2B= .

故答案为:

点评:本题主要考查诱导公式、正弦定理、两角和差的正弦公式,属于基础题.

16.数列{an}的前 n 项和为 Sn,若数列{an}的各项按如下规律排列: , , , , , , , , , …, , ,…, ①a24= ; ②数列 a1,a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9+a10,…是等比数列; ③数列 a1,a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9+a10,…的前 n 项和为 Tn= ④若存在正整数 k,使 Sk<10,Sk+1≥10,则 ak= . 其中正确的结论是 ①③④ . (将你认为正确的结论序号都填上) 考点:数列与不等式的综合;命题的真假判断与应用;等比关系的确定;数列的求和. ; ,…有如下运算和结论:

专题:计算题. 分析: ①前 24 项构成的数列是: , , , , , , , , , , , ,…, , , , 故 a24= ; ②数列 a1,a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9+a10,…是 ,1, ,2,… ,由等差数列定义知:数列

a1,a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9+a10,…是等差数列; ③数列 a1,a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9+a10,…是等差数列,所以由等差数列前 n 项和公式可知: Tn= ;

④由③知 Sk<10,Sk+1≥10,即:



,故 ak= .

解答: 解:①前 24 项构成的数列是: , , , , , , , , , , , ,…, , , , ∴a24= ,故①正确; ②数列 a1,a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9+a10,…是 ,1, ,2,… 由等差数列定义 = (常数) ,

所以数列 a1,a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9+a10,…是等差数列,故②不正确. ③∵数列 a1,a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9+a10,…是等差数列, 所以由等差数列前 n 项和公式可知:Tn= ④由③知 Sk<10,Sk+1≥10, 即: , ,∴k=7,ak= .故④正确. ,故③正确;

故答案为:①③④. 点评:本题主要考查探究数列的规律,转化数列,构造数列来研究相应数列通项和前 n 项和问题, 这种题难度较大,必须从具体到一般地静心研究,再推广到一般得到结论. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,17 题 10 分,其余 5 题各 12 分.解答应写出文字说明,证 明过程或演算步骤) 17.在△ ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,且 (1)求角 B 的大小; (2)若 考点:解三角形. ,求△ ABC 的面积. ,

专题:计算题. 分析: (1)根据正弦定理表示出 a,b 及 c,代入已知的等式,利用两角和的正弦函数公式及诱导 公式变形后,根据 sinA 不为 0,得到 cosB 的值,由 B 的范围,利用特殊角的三角函数值即可求出 角 B 的度数; (2)由(1)中得到角 B 的度数求出 sinB 和 cosB 的值,根据余弦定理表示出 b2,利用完全平方公 式变形后,将 b,a+c 及 cosB 的值代入求出 ac 的值,然后利用三角形的面积公式表示出△ ABC 的面 积,把 ac 与 sinB 的值代入即可求出值. 解答: 解: (1)由正弦定理 a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC, 将上式代入已知 即 2sinAcosB+sinCcosB+cosCsinB=0, 即 2sinAcosB+sin(B+C)=0, ∵A+B+C=π, ∴sin(B+C)=sinA, ∴2sinAcosB+sinA=0,即 sinA(2cosB+1)=0, ∵sinA≠0,∴ , ; 代入余弦定理 b =a +c ﹣2accosB 得:
2 2 2 2

得:



∵B 为三角形的内角,∴ (II)将 b =(a+c) ﹣2ac﹣2accosB,即 ∴ac=3, ∴ .
2



点评:此题考查了正弦定理,余弦定理及三角函数的恒等变形.熟练掌握定理及公式是解本题的关 键.利用正弦定理表示出 a,b 及 c 是第一问的突破点. 18.已知关于 x 的一次函数 y=ax+b, (1)设集合 P={﹣2,﹣1,1,2,3}和 Q={﹣2,0,3},分别从集合 P 和 Q 中随机取一个数作为 a 和 b,求函数 y=ax+b 是增函数的概率;

(2)实数 a,b 满足条件

求函数 y=ax+b 的图象经过二、三、四象限的概率.

考点:几何概型. 专题:概率与统计. 分析: (1)是古典概型,只要求出所有事件个数以及满足条件的事件个数,利用古典概型公式解 答; (2)是几何概型,分别求出已知区域的面积以及满足条件的区域面积,利用面积比求概率.

解答: 解: (1)由已知 a≠0,集合 P={﹣2,﹣1,1,2,3}和 Q={﹣2,0,3},分别从集合 P 和 Q 中随机取一个数作为 a 和 b, 所有事件有 5×3=15 个,设 A 事件为:函数 y=ax+b 是增函数的 3×3=9 个,由古典概型的概率公式得 到, ;

(2)线性约束条件

所表示的区域面积 S= ,

要使函数 y=ax+b 的图象经过二、三、四象限,则实数 a,b 必须满足条件

,如图阴影

部分, 其面积为 S1=1,所求的概率为 P= = .

点评:本题考查了古典概型和几何概型的概率求法;关键是明确概率模型,利用公式解答.
2

19.已知函数 f(x)=x ﹣(a+ )x+1, (1)若 a>0,解关于 x 的不等式 f(x)≤0; (2)若对于任意 x∈(1,3) ,f(x)+ x>﹣3 恒成立,求 a 的取值范围.

考点:函数恒成立问题;一元二次不等式的解法. 专题:函数的性质及应用. 分析: (1)通过讨论 a 的范围,求出不等式的解集即可; (2)问题转化为 解答: 解: (1)∵不等式 ,x∈(1,3) ,求出函数的最小值即可. ,a>0,

当 0<a<1 时,有 ∴不等式的解集为 当 a>1 时,有 ∴不等式的解集为 ,

, ;



当 a=1 时,不等式的解集为 x∈{1}. (2)任意 x∈(1,3) , 即 x ﹣ax+4>0 恒成立,即 所以
2

>﹣3 恒成立, 恒成立,

,x∈(1,3) ,

所以 a<4. 点评:本题考查了二次函数的性质,考查不等式的解法,函数恒成立问题,是一道中档题. 20.已知数列{an}是公差为 d 的等差数列,{bn}是公比为 q(q∈R,q≠1,q≠0)的等比数列.若 a1= 2 2 2 2 (d﹣2) ,a3=d ,b1=(q﹣2) ,b3=q . (1)求数列{an},{bn}的通项公式; (2)设数列{cn}对任意自然数 n 均有 ,求 c1+c3+c5+…+c2n﹣1 的值.

考点:等比数列的通项公式;等差数列的通项公式. 专题:等差数列与等比数列. 分析: (1)利用 a3﹣a1=2d,计算可知 d=2,进而可知 an=2(n﹣1) ;利用 进而可知 ; ,计算可知 q=3,

(2)通过



作差可知 转化为求 T=c1+c3+c5+…+c2n﹣1,利用错位相减法计算即得结论. 解答: 解: (1)∵a3﹣a1=2d, 2 2 ∴d ﹣(d﹣2) =2d,解得 d=2. ∴a1=0,∴an=2(n﹣1) . ∵ ,∴ .

(c1=b1a2=2 适合) ,问题

∵q≠0,q≠1,∴q=3. 又 b1=1,∴ .

(2)由题设知

,∴c1=a2b1=2.

当 n≥2 时,





两式相减,得





(c1=b1a2=2 适合) .

设 T=c1+c3+c5+…+c2n﹣1, 2 4 2n﹣2 ∴T=2+6?3 +10?3 +…+(4n﹣2)?3 , 2 2 4 6 2n﹣2 2n 3 T=2?3 +6?3 +10?3 +…+(4n﹣6)?3 +(4n﹣2)?3 , 2 4 2n﹣2 2n 两式相减,得﹣8T=2+4?3 +4?3 +…+4?3 ﹣(4n﹣2)?3 = = = ∴ . .

点评:本题考查数列的通项及前 n 项和,考查运算求解能力,注意解题方法的积累,属于中档题. 21.△ ABC 中,已知 ,记角 A,B,C 的对边依次为 a,b,c. (1)求∠C 的大小; 2 2 (2)若 c=2,且△ ABC 是锐角三角形,求 a +b 的取值范围. 考点:解三角形;两角和与差的正切函数. 专题:计算题. 分析: (1)由已知中 ,变形可得 ,由两

角和的正切公式,我们易得到 A+B 的值,进而求出∠C 的大小; 2 2 (2)由 c=2,且△ ABC 是锐角三角形,再由正弦定理,我们可以将 a +b 转化为一个只含 A 的三角 2 2 函数式,根据正弦型函数的性质,我们易求出 a +b 的取值范围.

解答: 解: (1)依题意: 又 0<A+B<π, ∴ ,∴ ,

,即



(2)由三角形是锐角三角形可得



即 ∴ ,

由正弦定理得 , , =

= = = = ∵ ∴ ,∴ ,

=

, ,即

点评:本题考查的知识点是解三角形及两角和与差的正切函数,熟练掌握两角和(差)的正弦、余 弦、正切函数式及其变形,是解答本题的关键. 22.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,若对任意的正整数 n,总存在正整数 m,使得 Sn=am,则称{an}是 “H 数列”. n * (1)若数列{an}的前 n 项和为 Sn=2 (n∈N ) ,证明:{an}是“H 数列”; (2)设{an}是等差数列,其首项 a1=1,公差 d<0,若{an}是“H 数列”,求 d 的值; * (3)证明:对任意的等差数列{an},总存在两个“H 数列”{bn}和{cn},使得 an=bn+cn(n∈N )成立. 考点:数列的应用;等差数列的性质. 专题:等差数列与等比数列. 分析: (1)利用“当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1,当 n=1 时,a1=S1”即可得到 an,再利用“H”数列的意义 即可得出. * * (2)利用等差数列的前 n 项和即可得出 Sn,对?n∈N ,?m∈N 使 Sn=am,取 n=2 和根据 d<0 即可 得出;

(3)设{an}的公差为 d,构造数列:bn=a1﹣(n﹣1)a1=(2﹣n)a1,cn=(n﹣1) (a1+d) ,可证明 {bn}和{cn}是等差数列.再利用等差数列的前 n 项和公式及其通项公式、“H”的意义即可得出. n n﹣1 n﹣1 解答: 解: (1)当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=2 ﹣2 =2 , 当 n=1 时,a1=S1=2. 当 n=1 时,S1=a1. 当 n≥2 时,Sn=an+1. ∴数列{an}是“H”数列. (2)Sn=
* *

=

, , ,

对?n∈N ,?m∈N 使 Sn=am,即 取 n=2 时,得 1+d=(m﹣1)d,解得

∵d<0,∴m<2, * 又 m∈N ,∴m=1,∴d=﹣1. (3)设{an}的公差为 d,令 bn=a1﹣(n﹣1)a1=(2﹣n)a1, * 对?n∈N ,bn+1﹣bn=﹣a1, cn=(n﹣1) (a1+d) , * 对?n∈N ,cn+1﹣cn=a1+d, 则 bn+cn=a1+(n﹣1)d=an,且数列{bn}和{cn}是等差数列. 数列{bn}的前 n 项和 Tn= 令 Tn=(2﹣m)a1,则 . ,

当 n=1 时,m=1;当 n=2 时,m=1. * 当 n≥3 时,由于 n 与 n﹣3 的奇偶性不同,即 n(n﹣3)为非负偶数,m∈N . * * 因此对?n∈N ,都可找到 m∈N ,使 Tn=bm 成立,即{bn}为 H 数列. 数列{cn}的前 n 项和 Rn= 令 cm=(m﹣1) (a1+d)=Rn,则 m=
* *

, .

∵对?n∈N ,n(n﹣3)为非负偶数,∴m∈N . * * 因此对?n∈N ,都可找到 m∈N ,使 Rn=cm 成立,即{cn}为 H 数列. 因此命题得证. 点评:本题考查了利用“当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1,当 n=1 时,a1=S1”求 an、等差数列的前 n 项和公式 及其通项公式、 新定义“H”的意义等基础知识与基本技能方法, 考查了推理能力和计算能力、 构造法, 属于难题.


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