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6高三数学专题复习(数学思想方法)


专题六

数学思想方法

第16讲 第17讲

函数与方程思想、数形结合思想 分类与整合思想、化归与转化思想

核 心 知 识 聚 焦 考 点 考 向 探 究

第16讲 函数与方程思想、数 形结合思想

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第16讲


函数与方程思想、数形结合思想

体验高考
核 心 知 识 聚 焦

主干知识
? 方程思想


1.[2014· 浙江卷]设函数f(x)=
2 ? ?x +2x+2,x≤0, ? 2 ? ?-x ,x>0,

若 f[f(a)]=2 ,

关键词:列方 程、解方程,如 ①.

则a=________.

[答案]

2

[解析] 令 t=f(a),得到 f(t)=2, 则 t2+2t+2=2 满足条件,此时 t=0 或 t=-2,所以 f(a)=0 或 f(a)=-2, 只有- a2 =- 2(a>0) 满足条件,故 a = 2.
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第16讲

函数与方程思想、数形结合思想

体验高考
核 心 知 识 聚 焦

主干知识
? 函数思想 关键词:构建 函数、函数的性 质,如②.

2.[2014· 江苏卷改编] 已知函数f(x) =ex+e-x,其中e是自然对数的底数.若 关于x的不等式 mf(x)≤e 值范围是__________.
-x

+m-1在

(0,+∞)上恒成立② ,则实数m的取

[答案]

? 1? ?-∞,- ? 3? ?

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函数与方程思想、数形结合思想

[解析] 由条件知 m(ex+e-x-1)≤e-x-1在区间(0,+∞)上
核 心 知 识 聚 焦

恒成立. 令 t=ex(x>0),则 t>1, t-1 1 所以 m≤- 2 =- 对任意 t>1成立. 1 t -t+1 t-1+ +1 t-1 1 因为t-1+ + 1≥2 t -1 所以 - 1 t-1+ 1 +1 t-1 1 (t-1)· +1=3, t-1

1 ≥-3,

当且仅当 t=2, 即x=ln 2时等号成立. 因此实数 m
? 1? 的取值范围是?-∞,-3?. ? ?

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函数与方程思想、数形结合思想

体验高考
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主干知识
? 以形助数 关键词:作图 形或建坐标系、数 据计算,如③.

3.[2013· 北京卷]设D为不等式组 ?x≥0, ? ?2x-y≤0, 表示的平面区域,区域D ?x+y-3≤0 ? 上的 点与点(1,0)之间的距离③ 的 最小值为________.

[答案]

2 5

5

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函数与方程思想、数形结合思想

核 心 知 识 聚 焦

[解析] 在平面直角坐标系中画出可行域,如图所示.根据 可行域可知,区域D内的点到点(1,0)的距离的最小值为点(1, |2-0| 2 5 0)到直线2x-y=0的距离,即d= = 5 . 5

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函数与方程思想、数形结合思想

体验高考
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主干知识
? 以数助形 关键词:数据 计算、考查图形, 如④.

4.[2013· 天津卷改编] 过点P(2, 1 2) 且斜率为- 2 的 直线与圆(x-1)2 +y2=5的位置关系 是________.


[答案] 相切
[解析]由题可知直线为x+2y-6 =0,圆心(1,0)到该直线的距离d= |1-6| = 5 =r(圆的半径),所以直线 5 与圆相切.

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函数与方程思想、数形结合思想

体验高考
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主干知识
? 数形结合
如图161所

5.[2013· 安徽卷改编] 函数y=f(x)的图像⑤ 示,在区间[a,b]上可找到n(n≥2)个 f(x1) 不同的数x1,x2,?,xn,使得 x 1 f (x2 ) f(xn) = x =?= x ,则n的取值 n 2 范围为________.

关键词:数据 计算、分析图形, 如⑤⑥.

图161
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函数与方程思想、数形结合思想

核 心 知 识 聚 焦

[答案] {2,3,4}
[解析]问题等价于求直线y=kx与函数y=f(x)的图像的交 点个数,从图中可以看出交点个数可以为2,3,4,故n的 取值范围是{2,3,4}.

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体验高考
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6.[2014· 湖北卷]如图162所示,函数y=f(x)的图像由 两条射线和三条线段⑥ 组成.若?x∈R,f(x)>f(x-1),则正 实数a的取值范围为________.

图162

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函数与方程思想、数形结合思想
? 1? [答案] ?0,6? ? ?
? ? [解析] “?x∈R,f ???x??? >f ??x-1?? ”等价于“函数y=f ???x???

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? ? ? ? 的图像恒在函数y=f ??x-1?? 的图像的上方”,函数y=f ??x-1??

的图像是由函数y=f ???x??? 的图像向右平移一个单位得到的,如
? 1? 图所示.因为a>0,所以6a<1,解得a的取值范围为?0,6?. ? ?

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函数与方程思想、数形结合思想

—— 教师知识必备 ——
知识必备 函数与方程思想、数形结合思想
函数思想的实质是抛开所研究对象的 非数学特征,用联系和变化的观点抽 象其数学特征,建立各变量之间固有 的函数关系,利用函数的有关性质, 使问题得到解决 方程思想的实质就是将所求的量设成

函 函数 与方 程思 想 、 数形 结合 思想 函数 与方 程思 想 方 数 思 想

函数与方程思想 在一定的条件下 是可以相互转化 的,是相辅相成 的,函数思想重在 对问题进行动态

未知数, 用它表示问题中的其他各量, 的研究,方程思想 程 根据题中隐含的等量关系,列方程 则是在动中求静, 思 (组),通过解方程(组)或对方程(组)进 研究运动中的等 想 量关系 行研究,以求得问题的解决

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第16讲

函数与方程思想、数形结合思想

—— 教师知识必备 ——

根据数与形之间的对 函数 与方 程思 想、 数形 结合 思想 数形 结合 思想 以数 助形 根据数与形之间的对 应关系,把形转化为 数,通过对数的计算、 对式子的变换等解决 数学问题 以形 应关系,把数转化为 决数的问题 助数 形,通过对形的研究解 数形结合的重点是研究 “以形助数”,这在解选 择题、填空题中更显其 优越,要注意培养这种 思想意识,做到心中有 图、见数想图,以开拓 自己的思维

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第16讲

函数与方程思想、数形结合思想

? 考点一 函数与方

函数与方程思想

考 点 考 向 探 究

程思想 —— 1.构建函数后利用函数的性质与方法求 解;2.利用方程求函数的零点;3.由方 程求解参数 题型:选择,填空,解答 难度:中等 分值:5~10分 热点:函数与方程

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第16讲

函数与方程思想、数形结合思想

考 点 考 向 探 究

例1 (1)设a>0,an=n· an,若{an}是单调递减数列,则 实数a的取值范围是________. (2)若函数f(x)满足:存在m∈R,m≠0,对定义域内的 任意x,f(x+m)=f(x)+f(m)恒成立,则称f(x)为m函数.现 给出下列函数: 1 ①y=x ;②y=2x;③y=sin x;④y=ln x. 其中为m函数的是_________.(填序号)
? 1? (1)?0,2? ? ?

[答案]

(2)②③

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第16讲

函数与方程思想、数形结合思想
[ 解析 ](1)an = n· an ? an + 1 = (n + 1)· an
+1

? an + 1 - an = (n +

1)· an + 1 - n· an ,由于 {an} 是单调递减数列,所以 (n + 1)· an + 1 - n· an<0. + an 1 n 1 1 因为 a>0,所以 an < =1- ,即 a<1- , n+1 n+1 n+1
? 1? 1 1 又因为 n≥1,所以 1- ≥2.故 a 的取值范围是?0,2?. n+1 ? ?

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1 1 1 1 (2)①若 f(x)=x ,则由 f(x+m)=f(x)+f(m)得 = + , x+m x m -m 1 1 1 即m= -x= ,即 x2+mx+m2=0,该式对任意 x +m x(x+m) x 不恒成立,所以不存在常数 m 使 f(x+m)=f(x)+f(m)成立, 1 所以 y=x 不是 m 函数.
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第16讲

函数与方程思想、数形结合思想
②若f(x)=2x,由f(x+m)=f(x)+f(m)得2(x+m)=2x+2m,

此式恒成立,所以y=2x是m函数. ③若f(x)=sin x,由f(x+m)=f(x)+f(m)得sin (x+m)=sin x+ sin m,当m=π 时,f(x+m)=f(x)+f(m)恒成立,所以y=sin x是 m函数. ④若f(x)=ln x,则由f(x+m)=f(x)+f(m)得ln(x+m)=ln x+
考 点 考 向 探 究

ln m, 即ln(x+m)=ln mx,所以x+m=mx,要使x+m=mx成立则
? ?m=1, 有? 所以方程无解,所以y=ln ? m = 0 , ?

x不是m函数.

所以为m函数的是②③.

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第16讲

函数与方程思想、数形结合思想

[小结] 方程思想的本质是根据已知得出方程,通过方 程的解来解决问题;函数思想的实质是使用函数方法解决 数学问题(不一定只是函数问题),解题时构造函数是函数 思想的一种主要体现.

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变式题 (1)方程x2+ax-2=0在区间[1,5]上有解, 则实数a的取值范围为( ) ? 23 ? A.?- 5 ,+∞? B.(1,+∞) ? ? ? 23 ? ? 23? C.?- 5 ,1? D.?-∞,- 5 ? ? ? ? ? (2)设f(x)是定义在区间(-∞,3]上的减函数,并且 f(a2-sin x) ≤f(a+1+cos2x)对于x∈R恒成立,则实数a 的取值范围为________.
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函数与方程思想、数形结合思想

[答案] (1)C

? (2)? ?- ?

1- 10? ? 2, 2 ?
?

[解析] (1)令 f(x)=x2+ax-2,∵Δ=a2+8>0,∴f(x)=0 在 R 上有两个解.
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由题意,知 f(x)的图像与 x 轴在区间[1,5]上有交点.
? ?f(1)≤0, 23 ? 则 解得- 5 ≤a≤1. ? f ( 5 )≥ 0 , ?

(2)据题意 f(a2-sin x)≤f(a+1+cos2x)恒成立,即 a+1+cos2x≤a2-sin x≤3 恒成立,

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第16讲

函数与方程思想、数形结合思想



2 ? ?a ≤3+sin x, ? 2 2 ? ?a -a≥1+cos x+sin

x.

设u(x)=3+sin x,v(x)=1+

cos2x+sin x,则只需满足
2 ? ?a ≤u(x)min, ? 2 而u(x)min=2,v(x)=1+cos2x+sin ? ?a -a≥v(x)max.

x=

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2 a ≤2, ? 2 ? ? ? 1 9 9 9 -?sin x-2? +4≤4,即v(x)max=4,所以得? 2 解得 9 ? ? a -a≥ , ? 4 ?

1- 10 - 2≤a≤ 2 .

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第16讲

函数与方程思想、数形结合思想

? 考点二 数形结合思想 数形结合 思想 ——1.以形助数探究解题思想和方法;2.通过数的 计算解决图形中的问题
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题型:选择,填空,解答 难度:中等 点:数形结合思想

分值:5~15 分 热

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第16讲

函数与方程思想、数形结合思想

例2 (1)[2014· 北京卷] 已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=1 和两点A(-m,0),B(m,0)(m>0).若圆C上存在点P,使得 ∠APB=90° ,则m的最大值为( ) A.7 B.6 C.5 D.4
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(2)[2014· 天津卷]

2 ? ?|x +5x+4|,x≤0, 已知函数f(x)= ? 若 ? ?2|x-2|,x>0.

函数y=f(x)-a|x|恰有4个零点,则实数a的取值范围为 ________.
[答案] (1)B (2)(1,2)

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函数与方程思想、数形结合思想

[解析] (1)由图可知,圆 C 上存在点 P 使∠APB=90° ,即 圆 C 与以 AB 为直径的圆有公共点,所以 32+42-1≤m≤ 32+42+1,即 4≤m≤6.

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函数与方程思想、数形结合思想

(2)在同一坐标系内分别作出y=f(x)与y=a|x|的图像,如 图所示,当y=a|x|与y=f(x)的图像相切时,联立
2 ? ?-ax=-x -5x-4, ? ? ?a>0,

整理得x2+(5-a)x

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+4=0,则Δ=(5-a)2 -4×1×4=0,解得 a=1或a=9(舍去), ∴当y=a|x|与y=f(x)的 图像有4个交点时,有 1<a<2.

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第16讲

函数与方程思想、数形结合思想

[小结] 数形结合思想主要是根据函数图像(或者其他几 何图形)找到解决问题的思路,帮助建立数的运算或者推理 (以形助数).
变式题 (1)设二次函数 f(x)=x2-x+a(a>0), 若 f(m)<0, 则 f(m-1)的值为(
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) B.负数 D.正数、负数和零都有可能

A.正数 C.非负数

?|2x-1|,x<2, ? (2)已知函数 f(x)=? 3 若方程 f(x)-a=0 有 , x ≥ 2 , ? ?x-1 三个不同的实数根,则实数 a 的取值范围是________.
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第16讲

函数与方程思想、数形结合思想

[答案] (1)A

(2)0<a<1

1 [解析] (1)因为函数 f(x)=x2-x+a(a>0)的对称轴为 x= , 2 且 f(0)=a>0,所以可画出函数 f(x)的图像,如图所示.由 f(m) <0,可知 0<m<1,所以 m-1<0,由图可知 f(m-1)>0.
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第16讲

函数与方程思想、数形结合思想

?|2x-1|,x<2, ? (2)作出函数f(x)= ? 3 的图像,如图所示,若方 , x ≥ 2 ? ?x-1 程f(x)-a=0有三个不同的根,则函数y=f(x)的图像与直线y=a 有三个交点,由图可知0<a<1.
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第16讲

函数与方程思想、数形结合思想

—— 教师备用例题 ——
[备选理由]例 1 从方程的角度研究多个具体函数是否 满足某种特征;例 2 是数形结合从图像的交点研究方程的 解的问题.
例 1 [配合例 1 使用] 若函数 f(x)满足存在 m∈R,m≠0, 对定义域内的任意 x, 都有 f(x+m)=f(x)+f(m)恒成立, 则称 f(x) 为“m 函数”.现给出下列函数: 1 ①y=x ;②y=2x;③y=sin x;④y=ln x. 其中为“m 函数”的是________. (把你认为所有正确的序号 都填上)

[答案] ②③
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第16讲

函数与方程思想、数形结合思想

1 [解析] ①若 f(x)=x 为“m 函数”,则由 f(x+m)=f(x)+f(m)得 -m 1 1 1 1 1 1 = x +m,即m= -x= ,即 x2+mx+m2=0.易 x+m x +m x(x+m) 知该式对任意的 x 均不成立,所以①不是“m 函数”. ②若 f(x)=2x 为“m 函数”,由 f(x+m)=f(x)+f(m)得 2(x+m) =2x+2m,此式恒成立,所以②是“m 函数”. ③若 f(x)=sin x 为“m 函数”, 则由 f(x+m)=f(x)+f(m)得 sin(x +m)=sin x+sin m,所以当 m=2π 时,f(x+m)=f(x)+f(m)恒成立, 所以③是 m 函数. ④若 f(x)=ln x 为“m 函数”,则由 f(x+m)=f(x)+f(m)得 ln(x +m)=ln x+ln m,即 ln(x+m)=ln mx,所以 x+m=mx,当 x=1 时,该式不成立,所以 f(x+m)=f(x)+f(m)不对任意 x 恒成立,所 以④不是“m 函数”.
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第16讲

函数与方程思想、数形结合思想

设偶函数f(x)满足f(x-1)=f(x+1), ?1?x 且当x∈[0,1]时,f(x)=x,则关于x的方程f(x)=?8? 在区间[0,3] ? ? 上的解的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4

例2

[配合例3使用]

[答案] C

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第16讲

函数与方程思想、数形结合思想

[解析] 因为在 x∈[0,1]时,f(x)=x,且偶函数 f(x)满足 f(x-1)=f(x+1),所以当 x∈[-1,0]时,f(x)=-x;x∈[1, 2]时,f(x)=-x+2;x∈[2,3]时,f(x)=x-2.分别作出函数 ?1?x y=f(x)和 y=?8? 在区间[0,3]上的图像,可知它们有 3 个交 ? ? ?1?x 点,所以方程 f(x)=?8? 在区间[0,3]上有 3 个解. ? ?

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第17讲 分类与整合思想、化 归与转化思想

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第17讲

分类与整合思想、化归与转化思想

体验高考
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主干知识
? 分类与整 合 关键词: 图形 分类、参数分类如 ①②,概念分类、

1 . [2014· 安徽卷改编 ] 若函数 f(x)=|x+1|+|2x+a|的最小值为 3, 则实数 a 的值为________.

[答案] -4 或 8

运算分类等如③.

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第17讲

分类与整合思想、化归与转化思想

核 心 知 识 聚 焦

[解析] 当 a≥2 时, ?3x+a+1(x>-1), ? ? a ?x+a-1? ?- ≤x≤-1?, f(x)=? ? 2 ? 其图像如图. ? ? a? ?-3x-a-1?x<- ?, 2? ? ? ? a? a a 由图可知,当 x=-2时,f(x)min=f?-2?=2-1=3,可得 ? ? a=8. ? a? ? ? ? x > - 3 x + a + 1 ? 2?, ? ? ? a? 其图像如图. 当 a<2 时,f(x)=? ?-1≤x≤- ?, - x - a + 1 ? 2? ? ? ?-3x-a-1(x<-1),
? a? a a 由图可知,当 x=- 时,f(x)min=f?-2?=- +1=3,可 2 2 ? ? 得 a=-4.综上可知,a 的值为-4 或 8.

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2 . [2013· 江 西 卷 改 编 ] 若 集 合 A={x∈R|ax2+ ax+1=0}中只有一个元素 ,则 a=________.


[答案] 4
[解析] 当 a=0 时,A=?;当 a≠0 时,Δ=a2-4a=0, 则 a=4.

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分类与整合思想、化归与转化思想

体验高考
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- ?ex 1,x<1, 3.[2014· 新课标全国卷Ⅰ] 设函数 f(x)=? 1 则使得 3 ?x ,x≥1,

f(x)≤2成立的x③ 的取值范围是________.

[答案] (-∞,8]
[解析] 当 x<1 时,由 ex-1≤2,得 x<1;当 x≥1 时,由 x ≤2,解得 1≤x≤8.综合可知 x 的取值范围为 x≤8.
1 3

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分类与整合思想、化归与转化思想

体验高考
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主干知识
? 化归 关键词:化归 为基本函数如④, 化归为基本性质如 ⑤.

4 . [2013· 北京卷改编] 函数 y=e
-x④

在定义域内为单调 ________

函数.(填“增”或“减”)
[答案] 减
[解析] y=e
-x

?1?x =?e ? ,因为 ? ?

1 0<e <1,

所以该函数为减函数.

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分类与整合思想、化归与转化思想

体验高考
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5.[2013· 江西卷] 设 f(x)= 3sin 3x+cos 3x,若对任 意实数 x 都有 |f(x)|≤a ,则实数 a 的取值范围是 ________.


[答案] a≥2
[解析] 因为 ≥2.
? π f(x)=2sin? ?3x+ 6 ? ? ? ?,所以 ?

|f(x)|max=2,则 a

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分类与整合思想、化归与转化思想

体验高考
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主干知识
? 转化 关键词:等价 转化如⑥、方法转 化、目标转化.

6.[2013· 山东卷改编 ] 给定两个 命题 p,q,若¬p 是 q 的必要不充分 条件, 则 p是¬q的 条件⑥. (填 “充分不必要”“必要不充分”“充 要”或“既不充分也不必要”)

[答案] 充分不必要
[解析] 因为“若 q,则¬p”与“若 p,则¬q”互为逆否命题,又“若 q,则 ¬p”为真命题,所以 p 是¬q 的充分不 必要条件.
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第17讲

分类与整合思想、化归与转化思想

—— 教师知识必备 ——
知识必备
分 类 与 整 合 、 化 归 与 转 化 分 类 与 整 合 化 归 与 转 化 转化 思想

分类与整合、化归与转化

分类 解答数学问题,按照问题的不同发展方向分别 分类与整合思想的 主 要 问 题 是 思想 进行解决的思想方法 整合 把一个问题中各个解决的部分进行分析、 提炼, 思想 得出整体结论的思想方法 根据熟知的数学结论和已经掌握的数学题目的 化归 解法,把数学问题化生疏为熟练、化困难为容 思想 易、化整体为局部、化复杂为简单的解决问题 的思想方法 根据熟知的数学结论和已经掌握的数学题目的 解法,将数学问题化空间为平面、化高维为低 维、化复杂为简单的解决问题的思想方法 “分”,解题的过 程是“合—分— 合” 化归转化思想的实 质是“化不能为可 能”,使用化归与转 化思想需要对数学 知识和解题经验进 行积累

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第17讲

分类与整合思想、化归与转化思想

? 考点一

分类与整合思想

分类与 整合——1.考查参数范围;2.考查图像特征;3.对符号 进行判断 题型:选择,填空,解答 难度:基础
例 1 如果函数

考 点 考 向 探 究

分值:5~15分 热点:分类与整合

? ?2ax-1,x∈(0,1], f(x) = ? g( x ) = ? 3 ax - 1 , x ∈( 1 ,+ ∞ ), ?

log2x,关于 x 的不等式 f(x)· g(x) ≥0 对于任意 x∈(0,+∞)恒成 立,那么实数 a 的取值范围是________.

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第17讲

分类与整合思想、化归与转化思想

?1 1? [答案]?3,2? ? ?

考 点 考 向 探 究

[解析]当 x∈(0,1]时,(2ax-1)log2x≥0,又当 x∈(0,1]时, 1 log2x≤0,所以 2ax-1≤0 在区间(0,1]上恒成立,即有 2a≤x 恒 1 成立,则 2a≤1,即 a≤2; 当 x∈(1,+∞)时,(3ax-1)log2x≥0,又当 x∈(1,+∞)时, log2x>0, 1 所以 3ax-1≥0 在区间(1,+∞)上恒成立,即 3a≥x 恒成立, ?1 1? 1 则 3a≥1,即 a≥3.∴a∈?3,2?. ? ?
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第17讲

分类与整合思想、化归与转化思想

[小结] 分段函数或含有参数的不等式一定涉及分类与 整合思想.本题中分类的标准是函数值的符号,这样方便 确定不等式的符号.
变式题 已知数列 an 的前n项和Sn=n2+1,数列 bn 是首
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

项为1,公比为b的等比数列.
考 点 考 向 探 究

(1)求数列 an 的通项公式; (2)求数列 anbn 的前n项和Tn.
解: (1)当n=1时,a1=S1=2; 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+1-(n-1)2-1=2n-1.
? ?2,n=1, 所以an=? ? ?2n-1,n≥2.
? ? ?

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第17讲

分类与整合思想、化归与转化思想

? ?2,n=1, (2)当b=1时,anbn=? ? ?2n-1,n≥2,

此时Tn=2+3+5+?+(2n-1)=n2+1.
? ?2,n=1, 当b≠1时,anbn=? n-1 ? ,n≥2, ?(2n-1)b

此时Tn=2+3b+5b2+?+(2n-1)bn 1,①


两端同时乘b得,bTn=2b+3b2+5b3+?+(2n-1)bn.②

考 点 考 向 探 究

①-②得,(1-b)Tn=2+b+2b2+2b3+?+2bn 1-(2n-1)bn=2(1+


b+b +b +?+b

2

3

n-1

2(1-bn) )-(2n-1)b -b= -(2n-1)bn-b, 1- b
n

2(1-bn) (2n-1)bn b 所以Tn= - - . (1-b)2 1-b 1-b

?n2+1,b=1, ? 综上可知Tn=?2(1-bn) (2n-1)bn b - - ,b≠1. 2 ? 1-b 1-b ? (1-b)
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第17讲

分类与整合思想、化归与转化思想

? 考点二

化归与转化思想

化归——1.复杂问题化归为简单问题;2.未知问题化归 为已知问题

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转化——1.逆否命题的等价转化;2.所求问题向易于解 决问题转化 题型:选择,填空,解答 难度:中等 分值:5~15分 热点:化归与转化思想

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第17讲

分类与整合思想、化归与转化思想

例2 如图171所示,四棱锥PABCD中,底面ABCD是 直角梯形,AB∥CD,∠DAB=60° ,AB=AD=2CD,侧面 PAD⊥底面ABCD,且△PAD为等腰直角三角形,∠APD= 90° ,M为AP的中点. (1)求证:AD⊥PB; (2)求证:DM∥平面PCB.
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图17-1
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第17讲

分类与整合思想、化归与转化思想
证明:(1)取AD的中点G,连接PG,GB,BD. ∵PA=PD,∴PG⊥AD. ∵AB=AD,且∠DAB=60°, ∴△ABD是正三角形,∴BG⊥AD. 又PG∩BG=G, ∴AD⊥平面PGB. ∴AD⊥PB.

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第17讲

分类与整合思想、化归与转化思想
(2)取PB的中点F,连接MF,CF. ∵M,F分别为PA,PB的中点, 1 ∴MF∥AB,且MF=2AB. ∵四边形ABCD是直角梯形,AB∥CD且AB=2CD, ∴MF∥CD且MF=CD, ∴四边形CDMF是平行四边形, ∴DM∥CF. ∵CF?平面PCB,DM?平面PCB, ∴DM∥平面PCB.

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[小结]立体几何中证明线面位置关系问题是应用转化思想 解题的典型问题,线线、线面、面面平行(垂直)之间可以相互 转化.
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分类与整合思想、化归与转化思想

变式题 已知椭圆中心在原点,焦点在x轴上,焦距为2, 1 离心率为2. (1)求椭圆的方程; (2)设直线l经过点M(0,1),且与椭圆交于A,B两点,若 → =2MB → ,求直线l的方程. AM
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x2 y2 解:(1)设椭圆方程为 2+ 2=1(a>b>0), a b c 1 因为c=1,a= ,所以a=2,b= 3, 2 x2 y2 所以所求椭圆方程为 + =1. 4 3 (2)由题易知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx+1,
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分类与整合思想、化归与转化思想

kx+1, ? ?y= 联立?x2 y2 得(3+4k2)x2+8kx-8=0. + =1 ? ?4 3 → =2MB → ,得x1=-2x2, 设A(x1,y1),B(x2,y2),则由AM ? ? ?-x2= -8k 2, ?x1+x2= -8k 2, 3+4k ? 8k ? 2 3+4k ? ? ? 又? 所以 ? 消去x2得 ? 2 ?3+4k ? -8 ? ? ? ?-2x2 = -8 , x1·x2= , 2 ? ? 3+4k2 3+4k2 ? ? 4 = , 3+4k2 1 1 解得k2=4,即k=± 2, 1 所以直线l的方程为y=± 2x+1,即x-2y+2=0或x+2y-2=0.
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第17讲

分类与整合思想、化归与转化思想

—— 教师备用例题 ——
[备选理由] 例1对参数m进行分类讨论,以便确定m的 取值范围;例2通过分离参变数,转化为求构建函数的最 大值问题.
例1 [配例1使用]已知集合A={(x,y)|y=|x|+m},B ={(x,y)|y=mx},若集合A∩B中有且仅有两个元素,则实 数m的取值范围是________.
[答案] (-1,0)

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分类与整合思想、化归与转化思想

[解析]当m>0时,集合A中所有元素为正,直线y=mx过原点, 至多有一个交点.当m=0时,只有一个交点,所以m<0.如图所 示,可知只有直线y=mx的斜率大于-1时有两个交点,所以 m∈(-1,0).

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分类与整合思想、化归与转化思想

例2

[配合例2使用]

若实数m,n满足mn>0,且不等式 ) 2-1 B. 2 D. 2+1

? 2 2? m2+mn≤a??m +n ??恒成立,则实数a的最小值为(

2+1 A. 2 C.1
[答案] A

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分类与整合思想、化归与转化思想

m2+mn [解析] 因为 a≥ 2 对实数 m,n,mn>0 恒成立, m +n2 所以
2

?m2+mn? ? a ≥? ? m2+n2 ?max. ? ?

m +mn = m2+n2 t = t2-2t+2 2+1 a≥ 2 .

m2+mn n ? n ?2 ,令 t = 1 + m ,易知 t > 1 ,则 m2+n2 = 1+?m? ? ?

n 1+m

? 1 ? 2+1 1 ? 2 ? ,当 t = 2 时, ? = 2 ,所以 2 t+ t -2? max ? ? t+ t -2

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