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2.4.1抛物线及其标准方程 ppt


2.4.1抛物线及其 标准方程

复习回顾: 我们知道,椭圆、双曲线的有共同的几何特征:
都可以看作是,在平面内与一个定点的距离和一条 定直线的距离的比是常数e的点的轨迹. (其中定点不在定直线上) (1)当0<e<1时,是椭圆; (2) 当e>1时,是双曲线;
l

l
M M

/>l

F ·

F

·
e>1

·
M

· F

0< e < 1

e=1

那么,当e=1时,它又是什么曲线 ?

问题探究: 当e=1时,即|MF|=|MH| ,点M的轨迹是什么?

探 究 ?

H

M

·

C

·
F

l

e=1

可以发现,点M随着H运动的过程中,始终有 |MF|=|MH|,即点M与点F和定直线l的距离相等. 点M生成的轨迹是曲线C的形状.(如图) 我们把这样的一条曲线叫做抛物线.

一、抛物线的定义:
在平面内,与一个定点F 和一条定直线l(l不经过点F) 的距离相等的点的轨迹叫抛 物线. 点F叫抛物线的焦点,
H

d

M

·

C

·
F

焦 点

准线

l

直线l 叫抛物线的准线

e=1

MF ? 1 ,则点 M 的轨迹是抛物线. 即:若 d 那么如何建立坐标系,使抛物线的方程更简 单,其标准方程形式怎样?

d 为 M 到 l 的距离

二、标准方程的推导 解法:以过F且垂直于 l 的直线 y
M(x,y)
K o F 为x轴,垂足为K.以F,K的中点O 为坐标原点建立直角坐标系xoy. x 设 M ( x, y ) , FK ? p , p p 则焦点 F ( , 0) ,准线 l : x ? ? 2 2 依题意得
p 2 p 2 ( x ? ) ? y ?| x ? | 2 2
2

l

两边平方,整理得

y ? 2 px( p ? 0)
这就是所求的轨迹方程.

三、标准方程
把方程 y2 = 2px (p>0)叫做抛物线的标准方 程.其中 p 为正常数,表示焦点在 x 轴正半轴上. 且 p的几何意义是: 焦点到准线的距离 p p 焦点坐标是 ( , 0) , 准线方程为: x ? ? 2 2 想一想: 坐标系的建立还有没有其它方案也 会使抛物线方程的形式简单 ?

﹒ ﹒﹒ ﹒
y y y

o

x

o

x

o

x

o

y

x

方案(1)

方案(2)

方案(3)

方案(4)

图 形
l

标准方程

焦点坐标

准线方程

y
O

F
l
O

x

y2=2px (p>0)
y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0)

p ( ,0 ) 2 p ( ? ,0 ) 2 p (0, ) 2

四.四种 p 抛物线的 x?? 2 对比
p P的意义:抛物 x? 2 线的焦点到准
线的距离

y
F

x

y
F
O

l

x

p 方程的特点: y?? 2 (1)左边是二次 p y? 2

y
l
O F

x

p x2=-2py (0, ? ) (p>0) 2

式, (2)右边是一次 式;决定了焦点 的位置.

例1
(1)已知抛物线的标准方程是 y 2 = 6 x ,求它 的焦点坐标及准线方程 焦点F ( 3 , 0 ) 准线:x =-
2 3 2

(2)已知抛物线的焦点坐标是 F(0,-2),求 抛物线的标准方程 x 2 =-8 y 看图 (3)已知抛物线的准线方程为 x = 1 ,求抛物 y 2 =-4 x 线的标准方程 看图 (4)求过点A(3,2)的抛物线的标准方程 9 4 2 2 看图 y = 3 x或 x = 2 y

课堂练习: 1、根据下列条件,写出抛物线的标准方程:
(1)焦点是F(3,0); 1 (2)准线方程 是x = ? ; 4 (3)焦点到准线的距离是2。 (1)y2 = 20x
(1) (2) (3) (4)

y2 =12x y2 =x

2、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程:
(2)x2=
1 y 2

y2 =4x、 y2 = -4x、x2 =4y 或 x2 = -4y
(3)2y2 +5x =0
准线方程

(4)x2 +8y =0

焦点坐标

x=-5 ( 5, 0) 1 1 y= - — (0,—) 8 5 8 5 (- —,0) x= — 8 8 (0,-2) y=2

学习小结:
1.抛物线的定义:

2.抛物线的标准方程有四种不同的形式:
每一对焦点和准线对应一种形式.

3.p的几何意义是:

焦点到准线的距离

4.标准方程中p前面的正负号决定抛物线的开口方向.

选做 : 1.抛物线 y ? 16 x 2 的焦点坐标是 ( D ) 1 1 (C )( , 0) (D) (0, ) (A) (4, 0) ( B )(0, 4) 64 64

1 2 ( ?2,1) 2.抛物线 y ? x ? x ? 1 的焦点坐标为_______. 4


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