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海南省2015届高三预测金卷(理科数学)


2015 届高三预测金卷(海南卷)

数学理
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试时间 120 分钟 第Ⅰ 卷 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的) 1. 合 M ? ? , N ? {?9,3} ,且 M 1,2,?3m ? (m

? 3)i?(其中 i 为虚数单位) 值为 ( ) A.3

N ? ? ,则实数 m 的

B. 1

C. 2

D. ? 9 )

2.正弦曲线 y ? sin x 在点 ? A. x ? 2 y ? 3 ?

?? 3 ? ? ? 3 , 2 ? 的切线方程是( ? ?

?
3

?0

B. x ? 2 y ? 3 ?

?
3

?0

C. 3 x ? 2 y ? 3 ?

3 ? ?0 3

D. 3 x ? 2 y ? 3 ?

3 ? ?0 3
) D. ? x x ? ? ?

3.若向量 a ? (2, x ? 1),b ? ( x ? 2,6) ,又 a, b 的夹角为锐角,则实数 x 的取值范围为( A. ? x x ? ? 且x ? 2?

?

?

? ?

? ?

5 4

? ?

B. ? x x ? ? ?

? ?

5? 4?

C. ? x x ? ? 且x ? ?5?

? ?

5 4

? ?

? ?

5? 4?

4.在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线中心在原点,焦点在 y 轴上,离心率为 5 ,则其渐进线方程为 ( A. y ? )

1 x 2
B.2

B. y ? ?

1 x 2

C. y ? ?

1 x 2

D. y ? ?2 x )

5.如图,直三棱柱的侧棱长和底面边长均为 2, 正视图和俯视图如图所示, 则其左视图的面积为 ( A.4 C. 2 3
D C D C

D. 3

A ·1 ·

B A

正视图

B

俯视图

第 5 题图

6. 已知 ? , ? 表示平面, m, n 表示直线,给出下列四个命题: ① 若 ? ∥ ? , m ? ? , n ? ? , 则 m ∥n ③ 若 m ? ? , n ? ? , m ∥n ,则 ? ∥? 其中错误的命题个数为( ) A.1 个 B.2 个 ② 若 ? ? ? , m ? ? , n ? ? ,则 m ? n ④m ∥? , n ∥? , m ? n ,则 ? ? ?

C.3 个

D.4 个

7.已知直线 x ? y ? a ? 0 与圆 x 2 ? y 2 ? 2 交于 A 、 B 两点, O 是坐标原点,向量 OA 、 OB 满足 条件 OA ? OB ? OA ? OB ,则实数 a 的值为( A. 2 B. ? )

2

C. ?

2

D. ? 1

8. 现 有 下 列 命 题 :①命 题 “ ?x ? R, x 2 ? x ? 1 ? 0 ” 的 否 定 是 “ ?x ? R, x 2 ? x ? 1 ? 0 ” ; ②若

A ? ?x x ? 0? , B ? ?x x ? ?1? , 则 A ? (CR B) ? A ; ③ 直 线 (m ? 2) x ? 3my ? 1 ? 0 与
2 (m ? 2) x ? (m ? 2) y ? 3 ? 0 互相垂直的条件为 m ? ?2 ; ④ 如果抛物线 y ? ax 的准线方程为 y ? 1 ,

则a ? ? A.② ④

1 .其中正确的命题的序号为( 4
B.① ②

) C.③ ④ D.② ③ )

9.已知递增数列 ?an ? 各项均是正整数,且满足 aan ? 3n ,则 a5 的值为( A.2 B.6 C. 8 D.9

10.设函数 f ( x) ? sin(?x ? ?) ( ? ? 0,?

? ? ? ? ? ) , 给出以下四个论断: 2 2

①它的图象关于直线

x?

? ? ? ? ? 对称;② 它的图象关于点( ,0) 对称;③ 它的周期是 ? ;④ 在区间 ?? ,0 ? 上是增函数.以其 12 3 ? 6 ?

中的两个论断为条件,余下的论断作为结论,则下列命题正确的是( ) A.① ③? ② ④ 或② ③? ① ④ B.① ③? ② ④ C. ② ③? ① ④ D.① ④? ② ③ 11.江苏舜天足球俱乐部为救助在“3.10 云南盈江地震”中失学的儿童,准备在江苏省五台山体育场举 行多场足球义赛,预计卖出门票 2.4 万张,票价分别为 3 元、5 元和 8 元三种,且票价 3 元和 5 元的 张数的积为 0.6 万张.设 x 是门票的总收入, 经预算扣除其它各项开支后, 该俱乐部的纯收入函数模型 为 y ? lg 2 ,则当这三种门票的张数分别为(
x

)万张时,可以为失学儿童募捐的纯收入最大. C. 0.6、1、0.8 D.0.6、0.6、0.8
2

A.1、0.、0.8

B.0.6、0.8、1
2

12. “已知关于 x 的不等式 ax ? bx ? c ? 0 的解集为 (1,2) ,解关于 x 的不等式 cx ? bx ? a ? 0 .”给
·2 ·

出如下的一种解法:

1 ?1? ?1? 解:由 ax ? bx ? c ? 0 的解集为 (1,2) ,得 a? ? ? b? ? ? c ? 0 的解集为 ( ,1) ,即关于 2 ? x? ? x?
2

2

1 x 的不等式 cx 2 ? bx ? a ? 0 的解集为 ( ,1) . 2
参考上述解法: 若关于 x 的不等式 式

b x?b 1 1 ? ? 0 的解集为 ( ?1,? ) ? ( ,1) , 则关于 x 的不等 x?a x?c 3 2


b x?b ? ? 0 的解集为( x?a x?c
B.

A. (?1,1) D. (?? ,? ) ? ( ,?? )

1 1 ( ?1,? ) ? ( ,1) 2 3

C.

1 1 (?? ,? ) ? ( ,1) 2 3

1 2

1 3

第Ⅱ 卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做答.第 22 题~ 第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二、 (本大题共 4 小题,每小题 5 分) 13. 阅读如图的程序框图,如果输出的函数值在区间 ? , ? 内,则输入的实数 x 的取值范围 ?4 2? 是 . 开始 输入 x

?1 1?

y

x ? ?? 2,2?



?
? ?

? ?
6

? ?
7

?
?
8

? ?9 ?10 ?11 ?
12

f ( x) ? 2

f ( x) ? 2 x
是 输出 f ( x) 结束 13 题

?5 ? ?
4

?0 ?3 ?

?1

x

?
?

?2
?
13

(第 16 题)

·3 ·

? x ? y ? 6, ? x ? 4, ? ? 14. 已知 ? 是不等式组 ? x ? 0, 表示的平面区域, A 是不等式组 ? y ? 0, 表示的平面区域, ? y?0 ?x ? 2y ? 0 ? ?
若向区域 ? 上随机投一点 P ,则点 P 落入区域 A 的概率为_________. 15.抛物线 y 2 ? x 与直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 围成的平面图形的面积为 . 次.

16.下述数阵称为“森德拉姆筛”, 其特点是每行每列都是等差数列, 则表中数字 2010 共出现 … 2 3 4 5 6 7 3 5 7 9 11 13 … 4 7 10 13 16 19 … 5 9 13 17 21 25 … 6 11 16 21 26 31 … 7 13 19 25 31 37 … … … … … … … …

三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 12 分) 2011 年 3 月 11 日,日本发生了 9.0 级大地震,同时导致了福岛核电站的泄露事件,给环境带来的一 定的污染,也给世界各国的人们对环境的保护敲响了警钟.根据空气质量指数 API(为整数)的不同, 可将空气质量分级如下表: API 0~50 51~200 101~150 151~200 201~250 251~300 >300 级别 Ⅰ Ⅱ Ⅲ1 Ⅲ2 Ⅳ1 Ⅳ2 Ⅴ 状况 优 良 轻微污染 轻度污染 中度污染 中度重污染 重度污染 某环境部门对一城市一年 (365 天) 的空气质量进行检测, 获得的 API 数据按照区间 ?0,50?, ?50,100? ,

?100,150? , ?150,200? , ?200,250? , ?250,300? 进行分组,得到频率分布直方图如下图:
(1)求直方图中 x 的值; (2)计算一年中空气质量为良和轻微污染的总天数; (3)求该城市一年中每天空气质量不为良且不为轻微污染的概率. 频率/组距

x
2 365 7 1825 3 1825 8 9125

API
50 100 150 200 250 300

·4 ·

18. (本小题满分 12 分)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, ABCD 是矩形, PA ? 平面ABCD ,

PA ? AD ? 1 , AB ? 3 ,点 F 是 PD 的中点,点 E 在 CD 上移动.
(1)求三棱锥 E ? PAB 的体积; (2)当点 E 为 CD 的中点时,试判断 EF 与平面 PAC 的关系,并说明理由; (3)求证: PE ? AF . P F

A E B 18 题图 19.(本小题满分 12 分) 设椭圆 C : C

D

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的上顶点为 A ,椭圆 C 上两点 P, Q 在 x 轴上的射影分别为左焦点 a 2 b2
3 ,过点 A 且与 AF1 垂直的直线与 x 轴交于点 B , ?AF1B 的外 2

F1 和右焦点 F2 ,直线 PQ 的斜率为
接圆为圆 M . (1)求椭圆的离心率; (2)直线 3x ? 4 y ?

1 2 1 a ? 0 与圆 M 相交于 E , F 两点,且 ME ? MF ? ? a 2 ,求椭圆方程; 4 2

(3)设点 N (0,3) 在椭圆 C 内部,若椭圆 C 上的点到点 N 的最远距离不大于 6 2 ,求椭圆 C 的短 轴长的取值范围. 20.已知各项均为正数的等差数列 {an } 的公差 d 不等于 0,设 a1 , a3 , ak 是公比为 q 的等比数列 {bn } 的 前三项, (1)若 k ? 7 , a1 ? 2 (i)求数列 {anbn } 的前 n 项和 Tn ; (ii) 将数列 {an } 和 {bn } 的相同的项去掉, 剩下的项依次构成新的数列 {cn } , 设其前 n 项和为 S n , 求 S2n ?n?1 ? 2
2n?1

? 3? 2n?1 (n ? 2, n ? N * ) 的值
·5 ·

(2)若存在 m ? k , m ? N 使得 a1 , a3 , ak , am 成等比数列,求证: k 为奇数.
*

21.(本小题满分 12 分)设函数 f ( x) ? a2 x2 ( a ? 0 ), g ( x) ? b ln x . (1)若函数 y ? f ( x) 图象上的点到直线 x ? y ? 3 ? 0 距离的最小值为 2 2 ,求 a 的值; (2)关于 x 的不等式 ( x ?1)2 ? f ( x) 的解集中的整数恰有 3 个,求实数 a 的取值范围; (3)对于函数 f ( x ) 与 g ( x) 定义域上的任意实数 x ,若存在常数 k , m ,使得 f ( x) ? kx ? m 和

g ( x) ? kx ? m 都成立,则称直线 y ? kx ? m 为函数 f ( x) 与 g ( x) 的“分界线”.设 a ?

2 ,b ? e , 2

试探究 f ( x ) 与 g ( x) 是否存在“分界线”?若存在,求出“分界线”的方程;若不存在,请说明理由. 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题给分. 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图所示, 已知 PA 与⊙ O 相切, A 为切点,PBC 为割线, 弦 CD // AP , AD, BC 相交于 E 点,F 为 CE 上一点,且 DE ? EF ? EC .
2

A

(1)求证: ?P ? ?EDC ; (2)求证: CE ? EB ? EF ? EP .

O F

E D

P B

C

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知曲线 C1 的极坐标方程为 ? ? 6 cos? ,曲线 C 2 的极坐标方程为 ? ?

π ,曲线 C1 ,C 2 相交于 4

A,

B两
点. (1)把曲线 C1 , C 2 的极坐标方程转化为直角坐标方程; (2)求弦 AB 的长度.

·6 ·

24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ( x) ?

x ?1 ? x ? 2 ? a .

(1)当 a ? ?5 时,求函数 f ( x ) 的定义域; (2)若函数 f ( x ) 的定义域为 R ,试求 a 的取值范围.

·7 ·

理科数学答案

一、选择题 1.A 2.B 3.A 4.B 5.C 6.C 7. C 8.A 9.C 解析: 1. M N ? ? ,则 M 中的复数必须为实数,所以 m ? 3 . 2 y ' ? (sin x) ' ? cos x , 则 k ? cos

10.A

11.C

12.B

?
3

?

1 3 1 ? , 即 切 线 方 程 为 y? ? (x ? ) , 整 理 得 2 2 2 3

x ? 2y ? 3 ?
3.

?
3

? 0 .故选 B.

5 ? ? ? ? , 又 a, b 不 共 线 , 所 以 a ? b ? 2( x ? 2) ? 6( x ? 1) ? 8x ? 10 ? 0 , 则 x ? ? 4

? ? 5 2 ? 6 ? ( x ? 1)(x ? 2) ? 0 ,则 x ? ?5 且 x ? 2 ,所以实数 x 的取值范围为 ? x x ? ? 且x ? 2? .故选 A. 4 ? ?
4. 因 为 e ?

b ? e2 ? 1 ? 5 ? 1 ? 2 , 而 焦 点 在 y 轴 上 的 双 曲 线 的 渐 进 线 方 程 为 a a 1 y ? ? x ,所以该双曲线的渐进线方程为 y ? ? x .故选 B. b 2

5 ,所以

5.由三角形的边长全为 2,即底面三角形的高为 3 ,所以左视图的面积为 s ? 3 ? 2 ? 2 3 .故选 C. 6.只有③ 是正确的.① 若 ? ∥? , m ? ? , n ? ? , 则 m ∥n 或异面; 则 m ? n 或相交或异面;④m ∥? , n ∥? , m ? n ,则 ? ? ? 或 故选 C.故选 C. ② 若? ? ? , m ? ? , n ? ? ,

? ∥? .所以只有一个正确的,
?

7.由 OA ? OB ? OA ? OB 两边平方,得 OA? OB ? 0 ,所以 ?AOB ? 90 ,则 ?AOB 为等腰直角 三角形,而圆 x ? y ? 2 的半径 AO ?
2 2

2 ,则原点 O 到直线的 x ? y ? a ? 0 的距离为 1,所以

0?0?a 1?1

? 1 ,即 a 的值为 2 或 ? 2 .
2

8.① 命 题 的 否 定 为 : “ ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0 ” ; ② A ? (CR B) ? x x ? 0 ? A ; ③ 由

?

?

·8 ·

(m ? 2)(m ? 2) ? 3m(m ? 2) ? 0 ,得 m ? ?2 或
线方程为 y ? 1 ,可得 ?

1 ? 1 ? ;④ 抛物线的标准方程为 x 2 ? ?2? ? y ,由准 2 ? ? 2a ?

1 1 ? 1 ,即 a ? ? .故选 A. 4a 4

9. 若 a1 ? 1 , 则 aa1 ? a1 ? 1 , 与 aa1 ? 3 ?1 ? 3 矛盾, 若 a1 ? 3 , 则 aa1 ? a3 , 而 aa1 ? 3 , 所以 a1 ? a3 与数列 ?an ? 递增矛盾,于是 a1 ? 2 ,得 aa1 ? a2 ? 3 ?1 ? 3 ,

aa2 ? a3 ? 3 ? 2 ? 6 , aa3 ? a6 ? 3 ? 3 ? 9 ,而 a3 ? a4 ? a5 ? a6 ,所以 a5 ? 8 .故选 C.
10.由函数 f ( x) ? sin(?x ? ?)(? ? 0) 的周期是 ? ,可知 ? ? 2. 这 f ( x) ? sin( 2 x ? ?)( ? (1)若 f ( x) 的图像关于直线 x ?

? ? ? 对称,则 f ( ) ? sin( ? ?) ? ?1 . 12 12 6 ? ? ? ? ? 2? 当 sin( ? ?) ? 1 ,且 ? ? ? ? 时, ? ? ;当 sin( ? ?) ? ?1 时, ? ? 2k? ? (k ? z ) , 6 2 2 6 3 3
与 ?

? ? ??? ) 2 2

? ? ? ?? ? ? ? ? ) 矛盾.因此 ? ? .这时 f ( x) ? sin? 2 x ? ? . 2 2 3 6? ?

由 f?

? ? ? ??? ?? ? ? ? sin ? ? 0 可知 f ( x) 的图象关于点 ? ,0 ? 对称;由 ? ? x ? 0 ,得 0 ? 2 x ? ? ,可 6 3 3 ?3? ?3 ?

知 f ( x ) 在 ??

? ? ? ③? ② ④ 是正确的命题. ,0 ? 上是增函数.综上可知:① ? 6 ?
? ? ? ?? ? ??? ? 2? ? 则 f ? ? ? sin ? 又由 ? ? ? ? 知 ? ? , ,0 ? 对称, ? ?? ? 0 , 2 2 3 ?3 ? ?3? ? 3 ?

(2) 若 f ( x) 的图象关于点 ?

这时 f ( x) ? sin? 2 x ?

? ?

?? ?. 3?

由 f?

? ? ??? ? ? ? ? ? sin ? 1 可知,直线 x ? 是 f ( x) 的对称轴;由(1)可知, f ( x) 在 ?? ,0 ? 上是增 12 2 ? 12 ? ? 6 ?

函数.综上可知:② ③? ① ④ .故选 A. 11. 设 3 元、5 元、8 元门票的张数分别为 a, b, c ,则有

? a ? b ? c ? 2.4, ? ab ? 0.6, 整理得 x ? 19.2 ? (5a ? 3b) ? 19.2 ? 2 15ab ? 13.2 (万元). ? ? x ? 3a ? 5b ? 8c, ?
·9 ·

当且仅当 ?

? 5a ? 3b, 时等号成立,解得 a ? 0.6, b ? 1 ,所以 c ? 0.8 . ?ab ? 0.6,

由于 y ? lg 2 x 为增函数,即此时 y 也恰有最大值. 故三种门票的张数分别为 0.6、1、0.8 万张时可以为失学儿童募捐的纯收入最大.故选 C. 12. 由

b x?b 1 1 b ? x?b ? ? 0 的 解 集 为 ( ?1,? ) ? ( ,1) , 得 ? ?0 的 解集 为 x?a x?c 3 2 ?x?a ?x?c

1 1 b x?b 1 1 ( ?1,? ) ? ( ,1) ,即 ? ? 0 的解集为 ( ?1,? ) ? ( ,1) .故选 B. 2 3 x?a x?c 2 3

二、填空题 13. ?? 2,?1? 解析: 13.若 x ? ?? 2,2? ,则 f ? x ? ? 2 x ? ? , ? ,不合题意;当 x ? ?? 2,2? 时,得 x ? ?? 2,?1? . ?4 2? 14.区域 ? (不含边界)的面积为 18 ,区域 A (不含边界)的面积为 4 ,故点 P 落入区域 A 的概率 为 14.

2 9

15.

32 3

16.6

?1 1?

2 . 9

15.由 ?

?

y 2 ? x,

? x ? 2 y ? 3 ? 0,

得抛物线与直线的交点为 P(1,01), Q(9,3) .

所以 S ?

??
1 0

x ? (? x dx ? ? ( x ?
1

?

9

1 9 x?3 x 3 )dx ? 2? x dx ? ? ( x ? ? )dx 0 1 2 2 2

?

3 4 2 1 ? 2 2 x 2 3 ? 9 4 28 32 x ?? x ? ? x? ?1 ? 3 ? 3 ? 3 . 0 ? 3 3 4 2 ? ?

16. 第 i 行第 j 列的数记为 Aij ,那么每一组 i 与 j 的解就是表中的一个数. 因 为 第 一 行 数 组 成 的 数 列 Aij ( j ? 1,2,? ? ??) 是 以 2 为 首 项 , 公 差 为 1 的 等 差 数 列 , 所 以

? ?

Aij ? 2 ? ( j ? 1) ?1 ? j ? 1 .
所以第 j 列数组成的数列 Aij (i ? 1,2,? ? ??) 是以 j ? 1 为首项,公差为 j 饿等差数列, 所以 Aij ? j ? 1 ? (i ? 1) ? j ? ij ? 1 .

? ?

·10·

令 Aij ? ij ? 1 ? 2010 , 即 ij ? 2009? 7 ? 287 ? 41? 49 ? 49 ? 41 ? 278? 7 ? 2009? 1 , 故 表 中 2010 出现 6 次. 三、解答题 17. 解: (1)由图可知, 50 x ? 1 ? ( 得x ?

3 2 7 3 8 123 ? ? ? ? ) ? 50 ? 1 ? ? 50 ,解 1825 365 1825 1825 9125 9125

119 . 18250 119 2 ? 50 ? ? 50) ? 219 ; (2) 365 ? ( 18250 365
(3)该城市一年中每天空气质量为良或轻微污染的概率为 则空气质量不为良且不为轻微污染的概率为 1 ?

119 2 219 3 ? 50 ? ? 50 ? ? . 18250 365 365 5

3 2 ? . 5 5
1 1 1 3 S ?ABE ? PA ? ? ? 1 ? 3 ? 1 ? . 3 3 2 6

18.解: (1)? PA ? 平面ABCD ,所以 V E ? PAB ? V P ? ABE ? (2)当点 E 为 BC 的中点时, EF ∥ 平面 PAC ,

理由如下:因为点 E , F 分别为 CD 、 PD 的中点,所以 EF ∥PC . 又因为 PC ? 平面PAC , EF ? 平面PAC ,所以 EF ∥ 平面 PAC . (3)因为 PA ? 平面ABCD , CD ? 平面ABCD ,所以 CD ? PA . 又 ABCD是矩形,所以 CD ? AD . 因为 PA ? AD ? A ,所以 CD ? 平面PAD . 又 AF ? 平面PAD,所以 AF ? DC . 因 PA ? AD ,点 F 是 PD 的中点,所以 AF ? PD . 又 CD ? PD ? D ,所以 AF ? 平面PDC , 又 PE ? 平面PDC ,所以 PE ? AF . 19.解:⑴由条件可知 P? ? ? c, ?

? ?

b2 ? ? b2 ? ?, Q ? ? c, ? ?, a ? ? ? a ?

因为 k PQ ?

3 1 ,所以得: e ? . 2 2

(2)由⑴可知, a ? 2c, b ?

3c ,所以, A(0, 3c), F1 (?c,0), B(3c,0) ,从而 M (c,0) .
·11·

半径为 a ,因为 ME ? MF ? ?

1 2 a a ,所以 ?EMF ? 120? ,可得: M 到直线距离为 , 2 2

从而求出 c ? 2 ,所以椭圆方程为:

x2 y2 ? ? 1. 16 12

(3)因为点 N 在椭圆内部,所以 b ? 3 , 设椭圆上任意一点为 k ( x, y ) ,则 KN 2 ? x 2 ? ( y ? 3) 2 ? (6 2 ) 2 . 由条件可以整理得: y 2 ? 18y ? 4b 2 ? 189 ? 0 ,对任意 y ? ?? b, b?(b ? 3) 恒成立, 所以有: ?

? 9 ? ?b, ? 9 ? ?b, ? ? 或者 ? 2 2 2 2 ?(?b) ? 18(?b) ? 4b ? 189 ? 0, ?(?9) ? 18? (?9) ? 4b ? 189 ? 0,

解之得: 2b ? 6,12 2 ? 6 . 20. (1)因为 k ? 7 ,所以 a1 , a3 , a7 成等比数列,又 ?an ? 是公差 d ? 0 的等差数列, 所以 ? a1 ? 2d ? ? a1 ? a1 ? 6d ? ,整理得 a1 ? 2d ,
2

?

?

又 a1 ? 2 ,所以 d ? 1 ,
b1 ? a1 ? 2 , q ?
b2 a3 a1 ? 2d ? ? ?2, b1 a1 a1

所以 an ? a1 ? ? n ? 1? d ? n ? 1, bn ? b1 ? qn?1 ? 2n , ①用错位相减法或其它方法可求得 ?anbn ? 的前 n 项和为 Tn ? n ? 2n ?1 ; ② 因为新的数列 {cn } 的前 2n ? n ? 1 项和为数列 ?an ? 的前 2 n ? 1 项的和减去数列 ?bn ? 前 n 项的和, 所以 S 2n ? n ?1 ?

(2n ? 1)(2 ? 2n ) 2(2n ? 1) ? ? (2n ? 1)(2n ?1 ? 1) . 2 2 ?1

所以 S2n ?n?1 ? 22n?1 ? 3 ? 2n?1 ? ?1 . ⑵ 由 (a1 ? 2d ) ? a1 (a1 ? (k ? 1))d ,整理得 4d ? a1d (k ? 5) ,
2 2

因为 d ? 0 ,所以 d ?

a1 (k ? 5) a a ? 2d k ? 3 ? ,所以 q ? 3 ? 1 . a1 a1 2 4

因为存在 m>k,m∈ N*使得 a1 , a3 , ak , am 成等比数列,

·12·

? k ? 3? 所以 am ?a1 q ? a1 ? ? , ? 2 ?
3

3

又在正项等差数列{an}中, am ? a1 ? (m ? 1)d ? a1 ?
3

a1 (m ? 1)( k ? 5) , 4

a (m ? 1)(k ? 5) ? k ? 3? 所以 a1 ? 1 ? a1 ? ? ,又因为 a1 ? 0 , 4 ? 2 ?
所以有 2? 4 ? (m ? 1)(k ? 5)? ? (k ? 3)3 , 因为 2 ? 4 ? (m ? 1)(k ? 5)? 是偶数,所以 (k ? 3)3 也是偶数, 即 k ? 3 为偶数,所以 k 为奇数.
2 21. (1)解法一:设函数 y ? a x 图象上任意一点为 P( x0 , a2 x0 ) ,则点 P 到直线 x ? y ? 3 ? 0 的距
2 2

离为 d ?

x0 ? a x ? 3
2 2 0

2

?

a 2 ( x0 ?

1 2 1 ) ?3? 2 2 1 1 2a 4a ? 0 ,即 x0 ? 2 时, ,当 x0 ? 2 2a 2a 2

3? d min ?

1 1 3? 2 2 1 1 4a 4a 2 ? 2 ,解得 a 2 ? ,由 ,或 a ? , 20 4 2 2
? y ? a2 x2 , ? y ? x ? 3,
得 a2 x2 ? x ? 3 ? 0 ,

又因为抛物线 f ( x) ? a2 x2 与直线 x ? y ? 3 ? 0 相离,由 ? 故 ? ? 1 ? 12a 2 ? 0 ,即 a 2 ?
2 2

1 1 1 ,所以 a 2 ? ,即 a ? . 12 4 2
2 2

解法二:因为 f ( x) ? a x ,所以 f '( x) ? 2a x ,令 f '( x) ? 2a x ? 1 , 得x?

1 1 1 1 ,此时 y ? ,则点 ( 2 , 2 ) 到直线 x ? y ? 3 ? 0 的距离为 2 , 2 2 2a 4a 2a 4a

1 1 ? 2 ?3 2 1 2a 4a 1 2 即 2? ,解之得 a ? ,或 a 2 ? . 20 4 2
(以下同解法一) (2)解法一:不等式 ( x ?1) ? f ( x) 的解集中的整数恰有 3 个,
2 2 2 等价于 (1 ? a ) x ? 2 x ? 1 ? 0 恰有三个整数解,故 1 ? a ? 0 ,
2

·13·

令 h( x) ? (1 ? a2 ) x2 ? 2 x ? 1,由 h(0) ? 1 ? 0 且 h(1) ? ?a2 ? 0(a ? 0) , 所以函数 h( x) ? (1 ? a2 ) x2 ? 2 x ? 1的一个零点在区间 (0,1) , 则另一个零点一定在区间 [?3, ?2) 内,

所以 ?

?h(?2) ? 0, 4 3 4 3 解之得 ≤ a ? ,故所求 a 的取值范围为 [ , ] . 3 2 3 2 ?h(?3) ≤ 0,

2 解法二: (1 ? a2 ) x2 ? 2 x ? 1 ? 0 恰有三个整数解,故 1 ? a ? 0 ,即 a ? 1 ,

因为 (1 ? a ) x ? 2x ?1 ? ?(1 ? a) x ?1??(1 ? a) x ?1? ? 0 ,
2 2

1 1 1 ?x? ?1, ,又因为 0 ? 1? a 1? a 1? a 1 4 3 ? ?2 ,解之得 ? a ? . 所以 ?3 ? 1? a 3 2
所以 (3)设 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? 所以当 0 ? x ?

1 2 e x 2 ? e ( x ? e )( x ? e ) x ? e ln x ,则 F ' ( x) ? x ? ? . ? 2 x x x

e 时, F ' ( x) ? 0 ;当 x ? e 时, F ' ( x) ? 0 .因此 x ? e 时, F ( x) 取得最小值 0 ,

e e 处有公共点 ( e , ) . 2 e e 设 f ( x ) 与 g ( x) 存在 “分界线”,方程为 y ? ? k ( x ? e ) ,即 y ? kx ? ? k e , 2 2 e 2 由 f ( x) ≥ kx ? ? k e 在 x ? R 恒成立,则 x ? 2kx ? e ? 2k e ≥ 0 在 x ? R 恒成立 . 2
则 f ( x ) 与 g ( x) 的图象在 x ? 所以 ? ? 4k 2 ? 4(2k e ? e) ? 4k 2 ? 8k e ? 4e ? 4(k ? e )2 ≤ 0 恒成立,因此 k ? 下面证明 g ( x) ≤ ex ?

e.

e ( x ? 0) 恒成立. 2
e e e ( e ? x) ,则 G?( x) ? ? e ? . 2 x x

设 G ( x ) ? e ln x ? x e ? 所以当 0 ? x ? 因此 x ?

e 时, G '( x) ? 0 ;当 x ? e 时, G' ( x) ? 0 .

e e 时 G ( x) 取得最大值 0 ,则 g ( x) ≤ ex ? ( x ? 0) 成立. 2 e 故所求“分界线”方程为: y ? ex ? . 2
选做题:
·14·

2 22.证明:(1)因为 DE ? EF ? EC ,所以 DE : EC ? EF : DE ,又因为 ? DEF 是公共角,

所以 ?DEF ∽ ?CED ,所以 ?EDF ? ?C . 因为 CD // AP ,所以 ?C ? ?P ,所以 ?P ? ?EDF . ( 2 ) 由 ( 1 ) 知 , ?P ? ?E D F , 又 ?AEP ? ?FED , 所 以 ?D E F ∽ ?PEA , 所 以 DE : EP ? EF : AE , 即 AE ? DE ? EF ? EP . 因为 AD, BC 为相交弦,所以 AE ? DE ? CE ? EB ,故 CE ? EB ? EF ? EP . 23. 解: (1)曲线 C 2 : ? ?

π ( ? ? R )表示直线 y ? x .曲线 C1 : ? ? 6 cos? , ? 2 ? 6? cos? , 4

所以 x 2 ? y 2 ? 6 x ,即 ( x ? 3) 2 ? y 2 ? 9 . (2)圆心(3,0)到直线的距离 d ?
3 2 , r ? 3 ,所以弦长 AB = 3 2 . 2

24. (1)由题设知: x ? 1 ? x ? 2 ? 5 ? 0 , 如图,在同一坐标系中作出函数 y ? x ? 1 ? x ? 2 和 y ? 5 的 图象(如图所示),知定义域为 ? ??, ?2?

?3, ?? ? .

(2)由题设知,当 x ? R 时,恒有 x ? 1 ? x ? 2 ? a ? 0 , 即 x ? 1 ? x ? 2 ? ?a , 又由(1) x ? 1 ? x ? 2 ? 3 ,∴ ?a ? 3,即a ? ?3 .

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