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第八章 幂的运算知识点总结及习题


第八章
8.1 同底数幂的乘法 1、同底数幂的乘法 同底数幂相乘,底数不变,指数相加. 公式表示为: a ? a = a
m n m+ n

幂的运算

( m、n为正整数)

2、同底数幂的乘法可推广到三个或三个以上的同底数幂相乘,即 同底数幂的乘法可推广到三个或三个以上的同底数幂相乘,


a m ? a n ? a p = a m + m + p (m、n、p为正整数)
注意点: 注意点: (1) 同底数幂的乘法中,首先要找出相同的底数,运算时,底数不变,直接把指数 相加,所得的和作为积的指数. (2) 在进行同底数幂的乘法运算时, 如果底数不同, 先设法将其转化为相同的底数, 再按法则进行计算.

例题: 例题: 例 1: 计算列下列各题 (1)

a3 ? a 4 ;

(2)

b ? b 2 ? b3 ; (3) ( ?c ) ? ( ?c ) ? ( ?c )
2

4

练习: 练习: 简单: 简单: 一选择题

1. 下列计算正确的是( ) 2 3 5 2 3 5 m m m 2 2 4 A.a +a =a B.a ·a =a C.3 +2 =5 D.a +a =2a 2. 下列计算错误的是( ) 2 2 2 m m m m m m 2m-1 2m B.a +a =2a C.3 +2 =5 D.x·x = x A.5x -x =4x 3 3 3 3 3 6 3 2 5 3. 下列四个算式中①a ·a =2a ②x +x =x ③b ·b·b =b 2 2 2 2 p +p +p =3p 正确的有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 4. 下列各题中,计算结果写成底数为 10 的幂的形式,其中正确的是( ) 2 3 10 3 A.100×10 =10 B.1000×10 =10 3 5 4 C.100×10 =10 D.100×1000=10 二、填空题 4 4 4 4 2 7 1. a ·a =_______;a +a =_______。 2、 b ·b·b =________。 3 10 2 3 5 3、10 ·_______=10 4、(-a) ·(-a) ·a =__________。 5 ( ) 2 4 18 5、a ·a =a ·( ) =a 2 5 6、(a+1) ·(1+a)·(a+1) =__________。



中等: 中等: 3 2 1、 (-10) ·10+100·(-10 )的运算结果是( ) 8 4 4 A.10 B.-2×10 C.0 D.-10 6 5 m m-1 3、10 ·10 ·100=______________。 2、(x-y) ·(y-x) =_______。

4、a 与 b 互为相反数且都不为 0,n 为正整数,则下列两数互为相反数的是( 2n-1 2n-1 2n-1 2n-1 2n 2n 2n 2n B.a 与b C.a 与b D.a 与b A.a 与-b n n-1 5. ※计算(a-b) ·(b-a) 等于( ) 2n-1 2n-1 2n-1 A.(a-b) B.(b-a) C.+(a-b) D.非以上答案 7 6. ※x 等于( ) 2 5 2 5 3 4 6 A.(-x )·x B、(-x )·(-x ) C.(-x) ·x D.(-x)·(-x)

)

7、解答题 2 3 (1) –x ·(-x )

2

3

(2) –a·(-a) ·a

2

2

3

2

2

3

3

(3) –b ·(-b) ·(-b)

(4) x·(-x )·(-x) ·(-x )·(-x)

(5) x n ? x ? x n +1

4-m

4+m

(6)x

·x ·(-x)

6

5

8

3

3

4

5

(7) x ·(-x) -(-x) ·(-x)

(8) -a ·(-a) ·(-a)

1999

2000

7. 计算(-2) +(-2) 等于( ) 3999 1999 B.-2 C.-2 A.-2 2n+1 x 3 8. 若a ·a =a 那么 x=______________

1999

D.2

较难: 较难: 一、填空题: 填空题: 填空题 1. 10 m +1 × 10 n ?1 =________, ?6 4 × (?6)5 =______. 2. x 2 x 3 + xx 4 =________, ( x + y ) 2 ( x + y )5 =_________________. 3. 103 × 100 × 10 + 100 × 100 × 100 ? 10000 × 10 × 10 =___________. 4. 若 2 x+1 = 16 ,则 x=________. 5. 若 a m = a 3 a 4 ,则 m=________;若 x 4 x a = x16 ,则 a=__________; 若 xx 2 x 3 x 4 x 5 = x y ,则 y=______;若 a x ( ?a ) 2 = a 5 ,则 x=_______. 6. 若 a m = 2, a n = 5 ,则 a m + n =________.

二、选择题 7. 下面计算正确的是( A. b b = b ;
3 2 6 3

)
3 6

B. x + x = x ; ) C. 3 ;
6

C. a + a = a ; D. mm = m
4 2 6 5

6

8. 81×27 可记为( A. 9 ;
3

B. 3 ;

7

D. 3

12

9. 若 x ≠ y ,则下面多项式不成立的是( A. ( y ? x) = ( x ? y ) ;
2 2

)
3 3

B. ( y ? x) = ?( x ? y ) ; D. ( x + y ) = x + y
2 2 2

C. ( ? y ? x) = ( x + y ) ;
2 2

10. 计算 (?2) A. ?23999 ;

1999

+ (?2)2000 等于(
B.-2; )

) D. 21999

C. ?21999 ;

11. 下列说法中正确的是(

A. ? a n 和 ( ? a ) n 一定是互为相反数 C. 当 n 为偶数时, ? a n 和 ( ? a ) n 相等 三、解答题: 解答题 12. 计算下列各题:

B. 当 n 为奇数时, ? a n 和 ( ? a ) n 相等 D. ? a n 和 ( ? a ) n 一定不相等

(1) ( x ? y ) 2 ? ( x ? y )3 ? ( y ? x) 2 ? ( y ? x)3 ; (2) ( a ? b ? c) ? (b + c ? a ) 2 ? (c ? a + b)3

(3) ( ? x) 2 ? ( ? x)3 + 2 x ? ( ? x) 4 ? ( ? x) ? x 4 ; (4) x ? x m ?1 + x 2 ? x m ? 2 ? 3 ? x 3 ? x m ?3 。

13. 已知 1km 2 的土地上,一年内从太阳得到的能量相当于燃烧 1.3 × 108 kg 煤所产生的能 量,那么我国 9.6 × 10 6 km 2 的土地上,一年内从太阳得到的能量相当于燃烧煤多少千 克?

14.(1) 计算并把结果写成一个底数幂的形式:① 34 × 9 × 81 ;② 625 × 125 × 56 。

(2)求下列各式中的 x: ① a x +3 = a 2 x +1 ( a ≠ 0, a ≠ 1) ;② p x ? p 6 = p 2 x ( p ≠ 0, p ≠ 1) 。

15.计算 ( ?

1 2 3 4 5 5 x ? y )?2 ? x ? y 。 2

16. 若 5 x ? ( x

n ?1

+ 3) = 5 x n ? 9 ,求 x 的值.

8.2 幂的乘方与积的乘方 1、幂的乘方 幂的乘方,底数不变,指数相乘. 公式表示为: a

( )

m n

= a mn (m、n都是正整数) .

2、积的乘方 积的乘方,把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘. 公式表示为: ( ab ) = a b ( n为正整数) .
n n n

注意点: 注意点: (1) 幂的乘方的底数是指幂的底数,而不是指乘方的底数. (2) 指数相乘是指幂的指数与乘方的指数相乘,一定要注意与同底数幂相乘中“指数 相加”区分开. (3) 运用积的乘方法则时,数字系数的乘方,应根据乘方的意义计算出结果; (4) 运用积的乘方法则时,应把每一个因式都分别乘方,不要遗漏其中任何一个因式.

例题: 例题:
3 1.计算: a

( ) 表示
4

. . ⑵ ( ?1) 3 ? a 2

2.计算: 4 ) 3 = (x 3 计算: (1) ( a m ) 3 ? a n ; 练习: 练习: 简单: 简单: 一、判断题
3 1、 x

[

]

4

( ) ( )

2

= x 3+ 2 = x 5 = x3 = x9
2

(

)

2 2、 2、 a × ? a

(

)

3

= a ? a6 = a7

(

)

3 3、 x

2





m ?3 3 3 m ?9 4、 ( x ) = x





2 3 5 5、 ( x ? y ) ? ( y ? x ) = ? ( x ? y )

(

)

二、填空题:
2 3 2 3 1、 [(?2) ] = __________, ( ?2 ) = ___________ ; 4 2 2 3 3 2 3 2、 ( a ) ? ( ? a ) = ______________ , (? a ) ? ( ?a ) = ____________ ; 4 5 5 4 m +1 3 2 1+ m = _______________ ; 3、 ( ? x ) + ( ? x ) = ___________ , ( ?a ) ? ( a )

4、 3( x 2 ) 2 ? ( x 2 ) 4 ? ( x 5 ) 2 ? ( x 2 ) 2 ___________________ ;
n 3n ________. 5、若 x = 3 , 则 x = ________

三、选择题

1、 ( ? x ) A、 x 2、 ( ? a A、 a 3、 y

2 2 n ?1

等于( B、 ? x


4 n ?1

4 n ?1

C、 x

4n?2

D、 ? x

4n?2

n ?1 2

) 等于(
B、 ? a


2 n? 2

2 n? 2

C、 a

2 n ?1

D、 ? a

2 n? 2

3 n +1

可写成(
3 n +1


n 3+1

A、 ( y ) 4. ?( ?1) ?
?
n +1

B、 ( y )
2 n

C、 y ? y

3n

D、 ( y )

n n +1

p
2n

? 等于( ? ?

) C. ? p
n+2

A.

p

B. ? p
2

2n

D.无法确定

5.计算 x 3 ? y ? ? xy 3 A. x5 ? y
10

(

) 的结果是(
2
8


8

B. x5 ? y
4

C. ? x5 ? y

D. x 6 ? y

12

6.若 N= a ? a 2 ? b 3 A. a 7 b 7

(

) ,那么 N 等于(
C. a12 b12

) D. a12b 7 )

B. a 8b12

7.已知 a x = 5, a y = 3 ,则 a x+ y 的值为( A.15 B.
5 3

C. a 2

D.以上都不对

中等: 中等: 一、填空题 1.计算: 3 ) 2 +(y 2 ) 3 = (y 2.计算: ( ? a 3 ) 2 ? ( ? a 2 ) 3 = 3. ( 2 3 ) 2 = 4 ( 二、选择题 4.计算下列各式,结果是 x 8 的是(
2 4 2 6

. .

)

.(在括号内填数)


4 4 4 4

A.x ·x ; B. ) ; (x 5.下列各式中计算正确的是( )
4 3 7 A. (x ) =x ;

C.x +x ;

D.x ·x .

B.[(-a) 2 ] 5 =-a 10 ;

m

2

2

m

2m

2

3

3

2

6

C.(a ) =(a

) =a



D.(-a

) =(-a )

=-a .

6.计算 ( ? x 2 ) 3 的结果是( A. ? x 5 ;

) C. ? x 6 ; D. x 6 .

B. x 5 ;

7.下列四个算式中: 3 3 3+3 6 2 2 2 2×2×2 8 3 4 12 12 ①(a ) =a =a ;②[(b ) ] =b =b ;③[(-x) ] =(-x) =x ; 2 5 10 ④(-y ) =y ,正确的算式有( ) A.0 个; B.1 个; C.2 个; D.3 个. 8.下列各式:① ? a 5 ? [ ( ? a ) 2 果为 ? a 的有(
12

]3 ;② a 4 ? (?a) 3 ;③ (?a 2 ) 3 ? (a 3 ) 2 ;④ ? [? a 4 ]3 ,计算结

) C.②和③; D.③和④.

A.①和③;

B.①和②;

较难: 较难: n n 2 2 n 1、2(a b )2+(a b )

x y 3

2 2

2

3

2、(-2 2 ) +8(x ) ·(-x )·(-y )

100

100

1994

3、-2 X0.5 X(-1)

+

1 2

m

n

2

2m+n

4.已知2 =3,2 =2 ,则2

的值是多少

5.已知 ( 9a 2 ) ? ? = 4 ,求 a 的值 ?3?
3
3

?1?

8

6.已知 10α = 5,10β = 6 ,求 102α + 3β 的值

n

n

2

2n

7.已知x =5,y =3,求 (x y) 的值。

18

10

10

15

8.比较大小:2 X3 与2 X3

2

9.若有理数a,b,c满足(a+2c-2) +|4b-3c-4|+|

a 3n+1 3n+2 4n+2 -4b-1|=0,试求a b - c 2

10、太阳可以近似的看作是球体,如果用V、r分别代表球的体积和半径,那么 V = π r 3 ,太
5

4 3

阳的半径约为6X10 千米,它的体积大约是多少立方千米?(π取3)

8.3 同底数幂的除法 1、同底数幂的除法 同底数幂相除,底数不变,指数相减. 公式表示为: a ÷ a = a
m n m?n

( a ≠ 0, m、n是正整数,且m > n ) .
0

2、零指数幂的意义 任何不等于 0 的数的 0 次幂都等于 1.用公式表示为: a = 1( a ≠ 0 ) . 3、负整数指数幂的意义 、 任何不等于0的数的-n(n是正整数)次幂,等于这个数的n次幂的倒数,用公式表示为

a ?n =

1 ( a ≠ 0, n是正整数 ) an

4、绝对值小于1的数的科学计数法 绝对值小于1 对 于 一 个 小 于 1 且 大 于 0 的 正 数 , 也 可 以 表 示 成 a × 10 n 的 形 式 , 其 中

1 ≤ a < 10, n是负整数 .
注意点: 注意点: (1) 底数 a 不能为0,若 a 为0,则除数为0,除法就没有意义了; (2)

( a ≠ 0, m、n是正整数,且m > n ) 是法则的一部分,不要漏掉.

(3) 只要底数不为 0,则任何数的零次方都等于 1.

例题: 例题: 计算下列各题: (1) (m-1) 5 ÷(m-1) 3 ; (2) (x-y) 10 ÷(y-x) 5 ÷(x-y) ;
m n 3m 2n mn

(3) (a ) ×(-a (4) 2 ?1 -(练习: 练习: 简单: 简单: 1. ÷a 2 =a 3 .



÷(a

) ;

5

2 ?2 3 ) +( ) 0 . 3 2

2.若 5 k ?3 =1,则 k= 3.3 ?1 +(

. .

1 0 ) = 9

4.用小数表示-3.021×10 ?3 =
6 2 5.计算: a ÷ a =

。 , (? a ) 5 ÷ ( ?a ) 2 = .

6.在横线上填入适当的代数式: x ? _____ = x , x ÷ _____ = x .
6 14 6 2
9 5 5 7.计算: x ÷ x ? x =

, x5 ÷ (x5 ÷ x3 ) =
8



8.计算: ( a + 1) ÷ ( a + 1) =
9 3 2

.

9.计算: ( m ? n) ÷ ( n ? m) =___________. 10. 2 ) 5 ÷(-a) 3 = (-a ,9 20 ÷27 10 ÷3 7 = 。

中等: 中等: 1.如果 a m ÷a x =a 3m ,那么 x 等于( A.3 B.-2m
3

) C.2m D.-3

2.设 a≠0,以下的运算结果:①(a ) 2 · a 2 =a 7 ;②a 3 ÷a ?2 =a 5 ;
3 0 3 ?2 ?1 ③(-a) ÷a =-a ;④(-a) ÷a=a ,其中正确的是(



A. ①②

B. ①③ )
1 2
2

C. ②④

D. ②③

3.下列各式计算结果不正确的是(
2 3 3 3 2

A.ab(ab) =a b ; B.a b ÷2ab= a b; C.(2ab ) =8a b ; 4.计算: (? a ) ? a
5
7 A. a ;

2 3

3 6

D.a ÷a ·a =a .

3

3

3

2

( ) ÷ (? a )
2 3

4

的结果,正确的是( C. ? a 7 ; )

) D. a 6 .

B. ? a 6 ;

5. 对于非零实数 m ,下列式子运算正确的是( A. (m 3 ) 2 = m 9 ; C. m 2 + m 3 = m 5 ; 6 若 3 x = 5 , 3 y = 4 ,则 3 2 x? y 等于( A. ) C.21;

B. m 3 ? m 2 = m 6 ; D. m 6 ÷ m 2 = m 4 .

25 ; 4

B.6 ;

D.20.

7.计算: ⑴ a 9 ? a 5 ÷ (a 4 ) 3 ; ⑵ (?a) 7 ÷ (?a) 4 × (?a) 3 ;

3 3 5 ⑶8 ? 4 ÷ 2 ;

⑷ (? x

4 3

) ÷ (?x 2 )3 ? (?x)3 ÷ (?x) 2 .

[

]

13.地球上的所有植物每年能提供人类大约 6.6 × 10 大卡的能量, 若每人每年要消耗 8 × 10
16

5

大卡的植物能量,试问地球能养活多少人?

较难: 较难: 1 观察下列算式:21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,26=64,27=128,28=256,…,则 89 的 个位数字是( ) A.2 ; B.4; C.8; D.6. ) D.x≠3且x≠2.

2.若 2(3 x ? 6) ?2 + ( x ? 3) 0 有意义,则 x 的取值范围是( A.x>3; B.x<2 ; C.x≠3或x≠2;

3.某种植物花粉的直径约为35000纳米,1纳米= 10 ?9 米,用科学记数法表示该种花粉的直径 为 4. 已知 ( ) ? x = .

2 3

27 ,则x= 8 1 8



5计算: ( ?0.125) ? 2009 ÷ ( ? ) ? 2008 .

6.已知: s = 1 + 2 ?1 + 2 ?2 + 2 ?3 + ? ? ? + 2 ?2009 ,请你计算右边的算式求出S的值.

7. 解方程: (1) 2 8 ? x = 215 ;

(2) 7 x = ( ?7) 5 .

17. 已知 a = 3, a = 9 ,求 a
m n

3m ? 2 n

的值.

9.已知 3

2m

= 5,3n = 10 ,求(1) 9 m ? n ;(2) 92 m ? n .

13 3 2 2 3 10.化简求值: (2x-y) ÷[(2x-y) ] ÷[(y-2x) ] ,其中 x=2,y=-1。


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