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浅谈中学数学中最值的求解


浅谈中学数学中最值的求解
摘要:最值问题贯穿于高中数学的始终,几乎每一个章节都能或 多或少的牵扯到最值问题,加之最值问题又与我们的实际生活联系 非常密切, 正因为此,最值问题历来是高考的热点问题,不仅如此, 最值问题就像一条主线,将高中数学知识联系在了一起,研究最值 问题能够开发学生的思维,锻炼学生的能力,在函数,解析几何, 立体几何,圆锥曲线,向量问题中均离不开最值问

题的讨论,可以 说最值问题就是数学的生命线,研究最值问题具有很大的实际意 义。本文,主要围绕以上几个方面,对出现的最值问题进行初步的 探讨,给出常考的题型,以及解题思路和方法,并配以练习与变式 以方便初学者更好的掌握。 关键词:最大值;最小值;三角函数;均值定理 1 引言 最值问题历来是高考热点问题之一,不单单是因为他与实际生活 的密切相关,更因为求解最值能够开发学生的思维,培养学生的数 学素养,对于学生认识事物本质能力的培养有着重大的现实意义。 在高中数学中,最值问题涉及面广,像函数(三角函数,二次函数, 指对函数,幂函数) ,不等式,向量,解析几何,立体几何,圆锥 曲线中都能找到最值问题,求解最值问题的方法很多,学生必须掌 握的方法有以下几种:均值不等式法、单调性法、配方法、换元法、 图像法、目标函数法、导数法,问题多,方法也多是求解最值问题

的难点,本文主要对最值问题的常用方法和一般技能进行归类整 理。 2 方法探讨 2.1 配方法 配方法主要用于解决二次函数,以及可以转化为二次函数的函数 的最值问题,是求最值问题中最基本的方法,往往很多求最值问题 可以转化成配方法求最值,利用此方法求最值时要注意以下几点: 一是要注意函数的定义域,二是注意对称轴与定义域的相对位置关 系,三是注意函数是否过某个特殊点,找到之后可以减少讨论,是 问题变得简单,下面举几个简单例子来介绍配方法的具体操作过 程。 例 1:用配方法求下列函数最大值 (1) 解答略. 例 2:已知函数 ,求函数 的最小值 分析:联系二次函数的形式,我们可以将函数表达式按 配方,转 化为变量 的一个二次函数. 解: 令 , , = 的定义域是 , 抛物线 的对称轴为 , (2)

当 且 时, 当 时, 例 3:求 (且 )的最小值 分析:利用三角函数公式,将函数化为关于 的二次函数形式,将 表达式按 配方,同时需要注意 的取值范围以及对称轴的所在位置. 解:

,则函数对称轴在定义域( 的取值范围)的右侧,又因为抛物线 开口向上,所以 配方法的用途非常广泛,在高中数学中占有相当重要的地位,它 的难点是当系数含有参数并且限定定义域时,需要对对称轴与定义 域的相对位置进行讨论. 2.2 三角函数法 2.2.1 三角函数中的正弦型函数 的取值范围是 ,根据这一性质, 许多三角函数最值问题可以通过转化正弦型函数求解. 例 4 求函数 的最小值 解: = 则可知,此函数的最大值是 ,最小值是 例 5 求函数 的值域. 解:由 得: 由 得 (其中 )。

2.2.2 (或 )型 基本思路:利用 (或 )即可求解,但必须注意字母 的符号对最值 的影响。 例6 求函数 的最大值 . 的最大值为 .

解:由于 ,所以 ,且 ,从而函数 2.2.3 (或 )型

基本思路:解出 (或 ),利用 (或 )去解或利用分离常数的方法 去求解. 例 7 求函数 的值域 . 分析:由 求出 后,运用 求出 的范围. 解:由 可得 即 ,即 或 故函数 的值域为 . 2.2.4 含有 的函数最值问题 基本思路:可令 ,将 转化为 的关系式,从而化归为二次函数的 最值问题. 例 8 求函数 的值域 分析:由于上式展开后为: 恰好为上述形式的三角函数的最值问 题。所以可令 去求解. 解:由 展开得: , 设 ,则 , ,

此时: 2.3 数形结合法 将一些抽象的解析式赋予一定的几何意义,将数量关系用几何图 形展现出来,从而实现数与图信息的整合与转化,把代数的问题用 几何的方法来解决, 使得问题的求解变得简便, 在解决最值问题时, 这种方法的作用更是巨大. 例 9 已知实数 满足 ,当 时,求 的最大值和最小值 . 分析:为了利用斜率,应作恒等变形 ,即过原点的直线 op 的斜 率 ,其中 为点 p 的坐标. 解:如图 1 所示,由于点 满足关系式 ,且 ,可知点 p 在线段 ab 上移动,并且 a,b 两点的坐标可分别求得为 a(2,3) ,b(3,2) 由于 的几何意义是直线 op 的斜率, 且 , ,所以可得 的最 大值是 2,最小值是 . 图1 例 10 若点 p 在直线 上运动,则 的最小值为多少? 解: 点 p 在直线 上,

上式可以看成是两个距离的和,一个距离可以看作是点 p 与点 a 的距离;另一个可以看作是点 p 与点 b(12,4)的距离,原题即求两个距离和的最小值问题,

而动点 p 为 x 轴上的任意一点,如图 2,由几何性质可知,当 图2 a,p,b 三点共线时, 最小. 此时, = = 例 11 已知直线 过点 ,且直线 与圆 有交点,则直线 的最大斜 率 是多少. 解析:过点 作圆 的两条切线,结合图 3,不难算出切线斜率分别 为 、 ,所以直线 的最大斜率是 .

例 12 已知向量 , ,则 的最大值是_ 解析:如图 3,设 , ,由向量

____.

减法及模的几何意义可知,点 在以 为圆心,1 为半径 的圆上.由图可知,当点 在 位置时取得最大值, 此时 . 2.4 均值不等式法 利用均值(基本)不等式求最值是历年高考的热点内容之一,利 用均值不等式所需的条件可概括为“一正、二定、三相等”.当这 些条件不完全具备时, 就需要一定的技巧, 特别是凑 “定和” “定 或 积”的技巧,使其具备,下面谈谈常见的凑”定和”或“定积”的 技巧. 2.4.1 凑数法

例 13 当 时,求 的最大值 解析:由 知, ,利用均值不等式求最值,必须和为定值或积为 定值, 此题为两个式子积的形式, 但其和不是定值.注意到 为定值, 故只需将 凑上一个系数即可. 当且仅当 ,即 时取等号,所以当 时, 的最大值是 8. 2.4.2 凑项法 例 14 已知 ,求函数 的最大值 . 解析:由题意知 ,首先要调整符号,又 不是定值,故需对 进行 凑项才能得到定值. ,

当且仅当 ,即当 时等号成立. 评注:本题需要调整项的符号,又要配凑项的系数使其积为定值. 2.4.3 分离法 例 3 求 的值域 解析:本题看似无法运用均值不等式,不妨将分子配方凑出有 的 项,再将其分离 当 ,即 时 (当且仅当 时取等号) 当 ,即 时, (当且仅当 时取等号)

3. 总结 本文主要从常用的配方法,三角函数法,数形结合法以及均值不 等式法对最值问题的解法进行了探讨,每种方法不是万能的也不是 绝对的,有些问题较复杂时,几种方法要结合起来用,对于本文中 提到的单调性法, 导数法,目标函数法在此不作详细的讨论,总之, 无论哪种方法都有自己的妙处,要善于灵活掌握,就需要把握住题 目的特点与每一种方法的特点。遇到题目,要学会分析题目,从而 抓准解决问题的关键。

参考文献: [1] 丁一,张建.中学教材全解[m].陕西人民教育出版社, 2007:198-204. [2] 张剑, 王莉.中学第二教材[m].延边大学出版社, 2007:67-73. [3] 崔开文.教材全解[m].延边人民出版社,2006:277-281. [4] 尹玉柱.高中导学练[m].中国石油大学出版社,2009:63-65. [5] 石立坤,赵春梅.教材精析精练[m].人民教育出版社, 2009:45-48. [6] 刘文治.教材解析[m].中国少年儿童出版社,2008:89-93. (上接第 48 页) 我故意问: “你们还有什么问题要问吗?”在我的提醒下,就有一 个学生提出: “如果这个数是 45 是估成 40 呢?还是 50?”我大声

说: “这个问题问得好啊!怎么老师没想到呀! ”同学们开始有点困 惑了。但看得出,个个都在动脑筋。在我的点拨下,学生们自己提 出问题,互相启发与争辩,最后成功释疑,又一次印证了西方的一 句谚语——一个绝妙的问题胜过一打精彩的答案。老师的示范引导 就像一缕明媚的阳光,让学生问题意识的种子从发芽到长大,变得 更加茁壮。 总之,学生探求知识的思维活动,总是由问题开始,又在解决问 题的过程中得到发展的。我们教师在教学中需要切实重视培养学生 的问题意识,在适宜的土壤中运用适当的方法去培养小学生的数学 问题意识,有一定价值的问题便会“不尽长江滚滚来” ,它将促使 学生主动地、创造性地学习,从而发展学生思维,增强学生能力, 提高学生的学习效果。 (上接第 49 页) 赏英文传统儿童歌曲等也会有助于英语语言文化氛围的形成和巩 固。 游戏是幼儿园的基本活动,这意味着游戏在幼儿园的活动中扮演 着极其重要的角色。游戏的种类多种多样,在幼儿英语教学中常用 的有益智游戏、表演游戏、体育游戏、音乐游戏几种。这些游戏既 可单独运用于教学中,也可相互包容。游戏的难易程度要符合幼儿 的能力水平,幼儿才能对游戏产生兴趣,积极主动地参与游戏。并 不是每一种游戏都是适用于教学内容,如“拼图游戏”就只适合用

于学习一些物体名词,而不适合于儿歌、歌曲、动词的学习。若游 戏选取不恰当,则可能事倍功半,虽然游戏过程表面上热热闹闹, 实际上并未达到教学目标。只有游戏适宜运用于该教学内容,突出 教学目的,才能有目的地高效地完成教学任务。 游戏的形式往往会使孩子们放松,积极和主动地参与其中,但是 选择游戏也是根据孩子年龄特征的,同样的游戏,托班的小朋友就 玩不起来,中班的小朋友正好,而大班的小朋友又没有挑战性。我 希望他们身体的每个细胞都能活跃起来,能够活动四肢,这样学到 的东西才会印象深刻。在开放活动中,我会融入集体游戏、小组游 戏、个体游戏与其中,目的也是希望每个小朋友都能够参与到活动 中来。多一次参与就多一次信心。 只有运用适合幼儿的方法进行教学,增加趣味性,才能调动他们 的学习热情,充分发挥学生主动参与的意识,这样他们就在体验中 得到了英语学习的乐趣,看到了自己的长处、挖掘了自己的潜能、 培养了自己的信心,达到事半功倍的效果。


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