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中山二中高三立体几何必考题型专题训练一


中山 2014 届高三理科数学 12 月四校联考前立体几何必考题型专题训练一(命题:雄哥) 1.(文)(2013· 沈阳 3 月质检)如图,矩形 BCC1B1 所在平面垂直于三角形 ABC 所在平面,且 BB1 =CC1=AC=2,AB=BC= 2.又 E,F 分别是 C1A 和 C1B 的中点.(1)求证:EF∥平面 ABC; (2)求证:平面 EFC1⊥平面 C1CBB1.<

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3.(文)(2011· 惠州模拟)如图,已知正三棱柱 ABC-A1B1C1 的底面边长是 2,D,E 是 CC1, BC 的中点,AE=DE.(1)求此正三棱柱的侧棱长;(2)正三棱柱 ABC-A1B1C1 表面积.

4.(理)(2012· 太原模拟)下面一组图形为 P-ABC 的底面与三个侧面.已知 AB⊥BC,PA⊥ 2. (理)(2011· 江西南昌调研)如图,已知在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC⊥BC,D 为 AB 的中点,AC=BC=BB1.(1)求证:BC1⊥AB1;(2)求证:BC1∥平面 CA1D. AB,PA⊥AC.(1)写出三棱锥 P-ABC 中的所有的线面垂直关系(不要求证明);(2)在三棱锥 P- ABC 中,M 是 PA 上的一点,求证:平面 ABC⊥平面 PAB;(3)在三棱锥 P-ABC 中,M 是 PA 的中点,且 PA=BC=3,AB=4,求三棱锥 P-ABC 的体积.

5.(2012· 北京文,17)如图,在四面体 PABC 中,PC⊥AB、PA⊥BC,点 D、E、 ,F、G 分别是 棱 AP、CC、BC、PB 的中点.(1)求证:DE∥平面 BCP;(2)求证:四边形 DEFG 为矩形; (3)是否存在点 Q,到四面体 PABC 六条棱的中点的距离相等?说明理由.

7. (理)(2011· 山东理,19)在如图所示的几何体中,四边形 ABCD 为平行四边形,∠ACB =90° ,EA⊥平面 ABCD,EF∥AB,FG∥BC,EG∥AC,AB=2EF.(1)若 M 是线段 AD 的中点, 求证:GM∥平面 ABFE;(2)若 AC=BC=2AE,求二面角 A-BF-C 的大小.

6.(文)已知四棱锥 P-ABCD 的直观图和三视图如图所示,E 是 PB 的中点. (1)求三棱锥 C-PBD 的体积;(2)若 F 是 BC 上任一点,求证:AE⊥PF;(3)边 PC 上是否存在 一点 M,使 DM∥平面 EAC,并说明理由.

中山 2014 届高三理科数学 12 月四校联考前立体几何必考题型专题训练一(命题:雄哥) 1[证明] (1)在△C1AB 中,∵E,F 分别是 C1A 和 C1B 的中点, ∴EF∥AB,∵AB?平面 ABC,EF?平面 ABC,∴EF∥平面 ABC. (2)∵平面 BCC1B1⊥平面 ABC,且 BCC1B1 为矩形,∴BB1⊥AB, 又在△ABC 中, 2+BC2=AC2, AB ∴AB⊥BC, ∴AB⊥平面 C1CBB1, ∴平面 EFC1⊥平面 C1CBB1. 2[证明] 如图,以 C1 点为原点,C1A1,C1B1,C1C 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空 间直角坐标系. AC=BC=BB1=2, A(2,0,2), 设 则 B(0,2,0), C(0,0,2), 1(2,0,0), 1(0,2,0), 1(0,0,0), A B C D(1,1,2). (2)∵PA⊥AB,PA⊥AC,AB∩AC=A,∴PA⊥平面 ABC,∴PA⊥BC. 又∵BC⊥AB,且 PA∩AB=A,∴BC⊥平面 PAB.又 BC?平面 ABC.∴平面 ABC⊥平面 PAB. 3 (3)法一:∵PA=3,M 是 PA 的中点,∴MA= .又∵AB=4,BC=3. 2 1 1 1 3 1 1 1 ∴VM-ABC= S△ABC· MA= × ×4×3× =3,又 VP-ABC= S△ABC· PA= × ×4×3×3=6, 3 3 2 2 3 3 2 ∴VP-MBC=VP-ABC-VM-ABC=6-3=3.法二:∵PA=3,AB=4,M 是 PA 的中点, 1 1 1 ∴S△PBM= S△PAB= × ×3×4=3.又∵BC⊥平面 PAB,且 BC=3, 2 2 2 1 1 ∴VP-MBC=VC-PBM= S△PBM· BC= ×3×3=3. 3 3 → (1)由于BC1=(0,-2,-2), → → → → → AB1=(-2,2,-2),所以BC1· 1=0-4+4=0,因此BC1⊥AB1,故 BC1⊥AB1. AB → → (2)取 A1C 的中点 E,连接 DE,由于 E(1,0,1),所以ED=(0,1,1),又BC1=(0,-2,-2), 1→ → 所以ED=- BC1,且 ED 和 BC1 不共线,则 ED∥BC1,又 DE?平面 CA1D,BC1?平面 CA1D, 2 故 BC1∥平面 CA1D. 3[解析] (1)设正三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧棱长为 x. ∵△ABC 是正三角形, ∴AE⊥BC.又底面 ABC⊥侧面 BB1C1C,且交线为 BC, ∴AE⊥侧面 BB1C1C,在 Rt△AED 中,由 AE=DE,得 x 1+ = 3, 4
2

4[解析] (1)因为 D,E 分别为 AP,AC 的中点,所以 DE∥PC,又因为 DE?平面 BCP,PC ?平面 BCP,所以 DE∥平面 BCP.(2)因为 D,E,F,G 分别为 AP,AC,BC,PB 的中点,

所以 DE∥PC∥FG,DG∥AB∥EF,所以四边形 DEFG 为平行四边形, 又因为 PC⊥AB,所以 DE⊥DG,所以四边形 DEFG 为矩形. (3)存在点 Q 满足条件,理由如下:连接 DF,EG,设 Q 为 EG 的中点, 1 由(2)知,DF∩EG=Q,且 QD=QE=QF=QG= EG,分别取 PC,AB 的中点 M,N,连 2 接 ME,EN,NG,MG,MN.与(2)同理,可证四边形 MENG 为矩形,其对角线交点为 EG 的中 1 点 Q,且 QM=QN= EG,所以 Q 为满足条件的点. 2 6[解析] (1)由该四棱锥的三视图可知,四棱锥 P-ABCD 的底面是边长为 2 和 1 的矩形, 1 1 2 侧棱 PA⊥平面 ABCD,且 PA=2,∴VC-PBD=VP-BCD= × ×1×2×2= . 3 2 3

解得 x=2 2,即此三棱锥的侧棱长为 2 2.(2)S=S 侧+S 底, S 侧=3×2×2 2=12 2,S 底=2× ∴S=S 侧+S 底=12 2+2 3. 4[解析] (1)如图,三棱锥 P-ABC 中,PA⊥平面 ABC,BC⊥平面 PAB. 3 ×22=2 3, 4

(2)证明:∵BC⊥AB,BC⊥PA,AB∩PA=A.

→ 所以 F(1,-1,1),BF=(-1,1,1).设平面 BFC 的法向量为 m=(x1,y1,z1),
? ?y1=0 → → 则 m· =0,m· =0,所以? BC BF 取 z1=1 得 x1=1,所以 m=(1,0,1). ?x1=z1 ? ?x2=y2 ? → 设平面 ABF 的法向量为 n=(x2,y2,z2).则 n· AB=0,n· =0,所以? BF ? ?z2=0

取 y2=1,得 x2=1.则 n=(1,1,0).所以 cos〈m,n〉= ∴BC⊥平面 PAB,∴BC⊥AE,又在△PAB 中,∵PA=AB,E 是 PB 的中点, ∴AE⊥PB.又∵BC∩PB=B,∴AE⊥平面 PBC,且 PF?平面 PBC,∴AE⊥PF. (3)存在点 M,可以使 DM∥平面 EAC.连结 BD,设 AC∩BD=O,连结 EO. 在△PBD 中,EO 是中位线.∴PD∥EO,又∵EO?平面 EAC,PD?平面 EAC, ∴PD∥平面 EAC,∴当点 M 与点 P 重合时,可以使 DM∥平面 EAC. 7[解析] (1)证法一:因为 EF∥AB,FG∥BC,EG∥AC,∠ACB=90° , 所以∠EGF=90° ,△ABC∽△EFG.由于 AB=2EF 因此 BC=2FG 连接 AF,由于 FG∥BC, 1 1 FG= BC,在?ABCD 中,M 是线段 AD 的中点,则 AM∥BC,且 AM= BC.因此 FG∥AM 且 FG 2 2 =AM,所以四边形 AFGM 为平行四边形.因此 GM∥FA. 又 FA?平面 ABFE,GM?平面 ABFE,所以 GM∥平面 ABFE. 证法二:因为 EF∥AB,FG∥BC,EG∥AC,∠ACB=90° , 所以∠EGF=90° ,△ABC∽△EFG,由于 AB=2EF,所以 BC=2FG. 取 BC 的中点 N,连接 GN,因此,四边形 BNGF 为平行四边形,所以 GN∥FB. 在?ABCD 中,M 是线段 AD 的中点,连接 MN,则 AM∥AB.因为 MN∩GN=N,所以平面 GMN∥平面 ABFE.又 GM?平面 GMN.所以 GM∥平面 ABFE. (2)解法一:因为∠ACB=90° ,所以∠CAD=90° EA⊥平面 ABCD,所以 AC,AD,AE 两 又 两垂直分别以 AC,AD,AE 所在直线为 x 轴、y 轴和 z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系, 因此二面角 A-BF-C 的大小为 60° . 解法二:由题意知,平面 ABFE⊥平面 ABCD,

m· 1 n = . |m|· 2 |n|

取 AB 的中点 H,连接 CH,因为 AC=BC,所以 CH⊥AB.则 CH⊥平面 ABFE, 过 H 向 BF 引垂线交 BF 于 R,连接 CR,则 CR⊥BF,所以∠HRC 为二面角 A-BF-C 的 平面角.由题意,不妨设 AC=BC=2AE=2. 在直角梯形 ABFE 中,连接 FH,则 FH⊥AB, 又 AB=2 2.所以 HF=AE=1,BH= 2,因此在 Rt△BHF 中,HR= 1 2 由于 CH= AB= 2,所以在 Rt△CHR 中,tan∠HRC= = 3. 2 6 3 因此二面角 A-BF-C 的大小为 60° . 6 . 3

→ 不妨设 AC=BC=2AE=2,则由题意得 A(0,0,0),B(2,-2,0),C(2,0,0),E(0,0,1),所以AB 1 → =(2,-2,0),BC=(0,2,0).又 EF= AB, 2


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