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直线与平面垂直的判定(一)常瑞格 幻灯片


直线与平面垂直的判定
鸡泽县第一中学 常瑞格

直线与平面垂直的判定
? ? ? ? ? ?

[学习任务]

任务1.理解直线与平面垂直的定义;
任务2.掌握直线与平面垂直的判定定理的内容及其应用; 任务3.应用直线与平面垂直的判定定理解决问题. [学法指导] 借助对实例、图片的观察,提

炼直线与平面垂直的定义;通过直观 感知,操作确认,归纳直线与平面垂直的判定定理;通过运用判定 定理感悟和体验线面垂直转化为线线垂直的思想方法.

实例感受

?

问题1:请同学们观察图片,说出旗杆与地面、大桥桥柱与水面是 什么位置关系?你能举出一些类似的例子吗?

大漠孤烟直

思考:
?1.旗杆AB是否与地面内的影子垂直?

太阳

旗杆 A

C’

C B’ B

旗杆AB所在的直线与地面 内任意一条过点B(或不过 点B)的直线都垂直。

7

问题2:

如何定义一条直线与一个平面垂直?
讨论: 能否根据一条直线与一个平面内的直线 的垂直关系来确定这条直线与这个平面垂 直呢?

直线与平面垂直定义
如果直线 l 与平面? 内的任意一条直线都垂直, 我们说直线 l 与平面 ? 互相垂直, 记作 l ? ? .
平面 ? 的垂线

垂足

l
P

直线 l 的垂面

?

直线与表示平面的平行 四边形的一条边垂直

思考:
1.如果一条直线 都垂直,则直线

l 和一个平面α内的无数条直线 l 和平面α互相垂直 ?
l
C B

2. a ? ? , b ? ? ? a ? b
线线垂直
定义

?

(? )

线面垂直

问题3:
判断直线与平面垂直的问题一般可以转 化为什么问题来解决?

直线与平面垂直 除定义外,如何判定一条直线与平面垂直呢?
A A 如图,准备一块三角形的纸片,做一个试验: A

l
P
C C C

A
D

?
B B
D D

? C ?

B B

D

当且仅当折痕 AD 是 BC 边上的高时,AD所在直 过 ?ABC 的顶点 A翻折纸片,得到折痕AD,将翻 ? 线与桌面所在平面 垂直. 折后的纸片竖起放置在桌面上(BD,DC于桌面接触)

直线与平面垂直判定定理

一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直, 则该直线与此平面垂直.
组卷网

? ? ? a ?? ??l ?? ? b?? ? a?b ? A ?
线线垂直 判定定理

l?a l ?b

l

b

?

A

a

线面垂直

练习题:判断正误

①如果一条直线和一个平面内的无数条直 线都垂直,那么该直线垂直于该平面; × ②如果一条直线和一个平面内的任何两条 直线都垂直,那么该直线垂直于该平面; √ ③如果一条直线和一个平面内的某两条相交 直线都垂直,那么该直线垂直于该平面; √

典型例题
例1 如图,已知

a // b, a ? ? ,求证 b ? ? .
b
m
n

证明:在平面 ? 内作 a 两条相交直线m,n. 因为直线 a ? ?, 根据直线与平面垂直的定义知
a ? m, a ? n.

?

又因为 b // a 所以 b ? m, b ? n. 又 m ? ? , n ? ? , m, n 是两条相交直线, 所以 b ? ? .

2、如图, 在三棱锥V ? ABC中,VA ? VC , AB ? BC 求证VB ? AC
要证 VB ? AC V

A
只需 AC ? 面VBP

P

C

B

解:取AC的中点P,连接VP、VB ∵VA=VC,且P为AC的中点 \AC?VP 同理AC?BP 又VP ? 面VPB,PB ? 面VPB A 且VP∩BP=P \ AC?面VPB \ AC?VB

V

P

C

B

变式:(口答)
⑴若E、F分别是AB、BC 的 中点,试判断EF与平面VPB 的位置关系.
A

V
P

C

E
B

F

垂直

⑵ 在⑴的条件下,有人说“VB⊥AC, VB⊥EF,\ VB⊥平面ABC ”,正确吗?

不正确

练习

在Rt△ABC中,∠B=90°,P为△ABC所在 平面外一点,PA⊥平面ABC
四面体P-ABC中有几个直角三角形? P

A B

C

知识小结
1.直线与平面垂直的概念 2.直线与平面垂直的判定、性质

线线垂直

线面垂直

3.数学思想方法:转化的思想 判定定理体现的“转化”:即将线面垂直转 化为线线垂直.例2体现的“转化”:即将线线 垂直转化为线面垂直.

布置作业

P67 练习: 1. P74习题2.3B组:2,4.