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【数学】重庆市各地市2011年高考最新联考分类汇编(4)数列

时间:2015-09-22


重庆市各地市 2011 年高考数学最新联考试题分类大汇编 第 4 部分:数列
一、选择题: 7 . (重庆市 2011 届高三下学期第二次联合诊断性考试理科 )已知各项均为正数的等比数列

{an }满足 : a7 ? a6 ? 2a5 , 若 am ? an ? 2a1 , 则

1 9 ? 的最小值为 m n

/>( C ) A.2 B.3 C .4 D.5 9 . ( 重 庆 市 2011 届 高 三 下 学 期 第 二 次 联 合 诊 断 性 考 试 理 科 ) 已 知 数 列

{an }中, 对任意n ? N *都有an?2 ? an?1 ? an ,若该数列前 63 项和为 4000,前 125 项和为
1000,则该数列前 2011 项和为 ( B ) A.0 B.1000

C.3000

D.5000

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1 . ( 重 庆 市 2011 届 高 三 下 学 期 第 二 次 联 合 诊 断 性 考 试 文 科 ) 在 等 差 数 列 {an } 中 ,

a2 ? 4, a6 ? 12, 则公差 d=( B )
A. 1 B. 2 C.±2 D. 8 10. (重庆市 2011 届高三下学期第二次联合诊断性考试文科 ) 已知数列 {an } 中, a0 ? 0 且

n an ? a n ? n ? 3 ? [ ](n ? N *) (其中 [ x] 表示实数 x 的整数部分) ,则 a72 的值为( C ) [ ] 3 3
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 1.(重庆八中 2011 届高三下学期第七次月考理科) {an } 为等差数列, a1 ? a5 ? 6 ,则 a3 等于 ( C ) A.1 B.2 C.3 D.4 1.(重庆八中 2011 届高三下学期第七次月考文科)设 {an } 是等差数列,且 a1 ? a5 ? 6 ,则 a3 等 于( C ) A.1

B.2

C.3

D .4

4. (重庆市七所重点中学 2011 年 3 月高三第二次联合考试理科)正项等比数列{ an }的公比 q≠1, 且 a2 ,

1 a ?a a3 , a1 成等差数列,则 3 4 的值为( B 2 a4 ? a5
B.



A.

5 ?1 2

5 ?1 2

C.

1? 5 2

D.

5 ?1 5 ?1 或 2 2

3. (重庆市七所重点中学 2011 年 3 月高三第二次联合考试文科)等差数列 ?an ? 中, a3 ? a11 ? 8 , 数列 ?bn ? 是等比数列,且 b7 ? a7 ,则 b6b8 的值为( D ) A. 2 B. 4 C. 8 D. 16

3.(重庆一中 2011 年 3 月高三月考文科)在等差数列 ?an ? 中, a2 ? 3, a1 ? a5 ? 8 ,则该数列 的公差 d A.1

?( A )
B. ? 1 C.5 B ) D. ?5

1.( 重 庆 市 西 南 师 大 附 中 2011 年 3 月 高 三 第 六 次 月 考 理 科 ) 正 项 等 比 数 列 {an} 中 ,
l ga3 ? l g a 8 ? la g 1 3? ,则 6 a1a15 的值为(

A.100 B.10000 C.1000 D.10 8.( 重庆市西南师大附中 2011 年 3 月高三第六次月考理科 ) 在平面直角坐标系中,定义 ? xn ?1 ? yn ? xn (n ? N ) 为点 Pn ( xn,yn ) 到点 Pn?1 ( xn?1,yn?1) 的一个变换——“附中变换” .已知 ? ? yn ?1 ? yn ? xn
P , 1),P2 ( x2,y2 ), ?,Pn ( xn,yn ),Pn?1 ( xn?1,yn?1 ) 是经过“ 附中变换”得到的一列 点,设 1 (0 an ? | Pn Pn?1 | ,数列{an}的前 n 项和为 Sn,那么 S10 的值为(

C ) D. 31( 2 ? 1)

A. 31(2 ? 2)

B. 31(2 ? 2)

C. 31( 2 ? 1)

二、填空题: 15 . ( 重 庆 八 中 2011 届 高 三 下 学 期 第 七 次 月 考 理 科 ) f ( x) 是 定 义 在 R 上 的 函 数 , 且
f ( x ? 3) ? f ( x) ? 3, f ( x ? 2) ? f ( x) ? 2, f (1) ? 2





an ? ( f

)? n,

*

(n , N则 )

a2011 ?

2012



14.(重庆八中 2011 届高三下学期第七次月考文科)下列图形中,若黑色三角形的个数依次构 成一个数列的前 4 项,则这个数列的一个通项公式为 an ?

? n ? N *? . 3n ?1

三、解答题: 21. (重庆市 2011 届高三下学期第二次联合诊断性考试文科) (本小题 12 分,(I)小问 4 分,(Ⅱ) 小问 8 分) 已知数列 {an } 满足: an ? ? 列 {bn } 满足: bn ? S2n ? (I)求 S10 的值; (Ⅱ)证明:

?n ?ak

(n ? 2k ? 1) (n?2k )

,其中 k ? N *. 记 {an } 的前 n 项和为 S n ? 定义数

1 1 1 ? ? ? ? ? 1(n ? N *). b1 b2 bn

21.(1)s10 ? a1 ? a1 ? a3 ? a1 ? a5 ? a3 ? a7 ? a1 ? a9 ? a5 ? 36;

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? bn ?

4n ? 2 3

?

1 1 1 1 1 1 ? 1 1 1 1 ? ?? ? ? 3? ? 2 ?? n ? 3( ? 2 ? ? ? n ) ? 1 ? n ? 1 ? ? b1 b2 bn 4 ?2? 4 4 4 4 ? 4?2 4 ?2
已知函数 F ( x) ? 3x ? 2 ( x ? 1 )

21.(重庆八中 2011 届高三下学期第七次月考理科)(本小题满分 12 分)
2x ? 1 2 1 2 (I)求 F ( ) ? F( ) ? F ( 3 ) ? ? ? F ( 2010 ) 的值. 2011 2011 2011 2011

(II)已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 2 , an?1 ? F (an ) ,求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅲ) 求证: a1a2a3 ?an ? 2n ? 1 .

(Ⅲ)因为 ? 2n ? ? ? 2n ? ? 1 ? ? 2n ? 1?? 2n ? 1?
2 2

2n 2n ? 1 2 3 4 5 2n 2n ? 1 ? ? ? , ? ,... ? 2n ? 1 2n 1 2 3 4 2n ? 1 2n 2 2 4 4 2n 2n 所以 a1a2 a3 ...an ? ? a1a2 a3 ...an ?2 ? ? ? ? ...... ? 1 1 3 3 2 n ? 1 2n ? 1 2 3 4 5 2n 2 n ? 1 ? ? ? ? ...... ? ? 2n ? 1 1 2 3 4 2n ? 1 2n 19.(重庆八中 2011 届高三下学期第七次月考文科)(本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 ,且 an ? 2an?1 ? 2n ( n ? 2 , n ? N * )
所以
?a ? (Ⅰ)求证:数列 ? n 是等差数列,并求出数列{ an }的通项公式; n ? ?2 ? (Ⅱ)求数列{ an }的前 n 项之和 S n .

??10 分

??12 分

19.(重庆市七所重点中学 2011 年 3 月高三第二次联合考试理科)(本小题满分 12 分)

已知数列 ?an ? , ?bn ? 满足 a1 ? 2, 2an ? 1 ? an an ?1 , bn ? an ? 1 ,数列 ?bn ? 的前 n 项和 为

Sn , Tn ? S2 n ? Sn .
(Ⅰ)求证数列 ?

?1? (Ⅱ)求证: Tn ?1 ? Tn ; ? 是等差数列,并求数列 ?bn ? 的通项公式; ? bn ?

19.解: (1)由 bn ? an ? 1 ,得 an 得 2(bn ? 1) ? 1 ? (bn ? 1)(bn ?1 ? 1) ,

? bn ? 1 ,代入 2an ? 1 ? an an ?1 ,
1 1 ? ? 1 ,? b1 ? a1 ? 1 ? 2 ? 1 ? 1 , bn ?1 bn

整理,得 bnbn?1 ? bn?1 ? bn ? 0 ,从而有

?1? 1 ? ? ? 是首项为 1,公差为 1 的等差数列,? ? n, 即 bn b n ? bn ?

?

1 .…………(5 分) n
1 ?, 2n

(2)? S ? 1 ?

n

1 1 1 ? ? ? , ?Tn ? S 2 n ? Sn ? 2 n n ?1

1 ? ? ? n? 2

Tn?1 ?

1 1 1 1 1 ? ??? ? ? , n?2 n?3 2n 2n ? 1 2n ? 2

Tn ?1 ? Tn ?

1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? 0 , ?? 2n ? 1 ? 2n ? 2? 2n ? 1 2n ? 2 n ? 1 2n ? 2 2n ? 2 n ? 1
…………………(12 分)

? Tn ?1 ? Tn .

19.(重庆市七所重点中学 2011 年 3 月高三第二次联合考试文科)(本小题满分 12 分) 在数列 an 中,已知 a1 ? 2, an?1 ? 4an ? 3n ? 1, n ? N ?. (1)设 bn ? an ? n ,求证:数列 ?bn ?是等比数列; (2)求数列 an 的前 n 项和 Sn . 19. (本题满分 12 分) (1)?

? ?

? ?

bn?1 an?1 ? (n ? 1) 4an ? 3n ? 1 ? (n ? 1) 4(an ? n) ? ? ? ? 4 ……………5 分 bn an ? n an ? n an ? n

且 b1 ? a1 ? 1 ? 1

??bn ? 为以 1 为首项,以 4 为公比的等比数列
…8 分

……7 分

(2)由(1)得 bn ? b1qn?1 ? 4n?1

? an ? bn ? n ? 4n ?1 ? n ,……9 分

? Sn ? (40 ? 41 ? 42 ? ? ? 4n ?1 ) ? (1 ? 2 ? 3 ? ? ? n) ? 1 ? 4n n(n ? 1) 4n ? 1 n(n ? 1) ? ? ? 1? 4 2 3 2
…12 分

16.(重庆市七区 2011 届高三第一次调研测试理科)(本小题满分 13 分, (Ⅰ)小问 7 分, (Ⅱ)

小问 6 分) 等比数列{ an }的前 n 项和为 Sn ,已知 5 S1 、2 S2 、 S3 成等差数列. (Ⅰ)求{ an }的公比 q ; (Ⅱ)当 a1 - a3 =3 且 a1 ? a2 时,求 Sn .

解: (Ⅰ)依题意,得 5a1 ? a1 ? a1q ? a1q2 ? 4(a1 ? a1q) .

???????3 分

由于 a1 ? 0 ,故 q2 ? 3q ? 2 ? 0 ,从而 q ? 1 或 q ? 2 . ????????7 分 (Ⅱ)由已知可得, a1 ? a1q2 ? 3 , q ? 1 ,故 a1 ? ?1 .????????11 分
元网] [来源:状

?1(1 ? 2n ) ? 1 ? 2n . 从而 Sn ? 1? 2

???????????????????13 分

20.(重庆市七区 2011 届高三第一次调研测试理科) (本小题满分 12分, (Ⅰ) 小问4分, (Ⅱ) 小问3分, (Ⅲ)小问5分) 设数列 ?an ? 的各项都为正数,其前 n 项和为 S n ,已知对任意 n ? N * , 2 Sn 是 an ? 2
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和 an 的等比中项.

(Ⅰ)证明数列 ?an ? 为等差数列,并求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)证明

1 1 1 ? ??? ? 1; S1 S 2 Sn

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(Ⅲ)设集合 M ? {m m ? 2k , k ? Z ,且 1000 ? k ? 1500} ,若存在 m ∈ M ,使对满 足 n ? m 的一切正整数 n , 不等式 2S n ? 4200 ? 有多少个?
2 解: (Ⅰ)由已知, 4S n ? an ? 2an ,且 an ? 0 . ?????????????1 分
2 当 n ? 1 时, 4a1 ? a1 ? 2a1 ,解得 a1 ? 2 .
2 an 恒成立, 求这样的正整数 m 共 2

??????????????2 分

2 当 n ? 2 时,有 4S n?1 ? an?1 ? 2an?1 .

于是 4S n ? 4S n?1 ? an ? an?1 ? 2an ? 2an?1 ,即 4an ? an ? an?1 ? 2an ? 2an?1 .
2 2 2 2

于是 an ? an?1 ? 2an ? 2an?1 ,即 (an ? an?1 )(an ? an?1 ) ? 2(an ? an?1 ) .
2 2

因为 an ? an?1 ? 0 ,所以 an ? an?1 ? 2(n ? 2) . 故数列 ?an ? 是首项为 2,公差为 2 的等差数列,且 an ? 2n .????????4 分

(Ⅱ)因为 an ? 2n ,则

1 1 1 1 ,?????????????5 分 ? ? ? S n n(n ? 1) n n ? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ) ? 1? ? 1 .?7 分 所以 ? ??? ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? 2 2 3 n n ?1 n ?1 S1 S 2 Sn
2 an ,得 2n(n ? 1) ? 4200? 2n 2 ,所以 n ? 2100 . ?? 9 分 2

(Ⅲ)由 2S n ? 4200 ?

由题设, M ? { 2000, 2002 ,?, 2008 , 2010 , 2012 ,?, 2998 } . 因为 m ∈M, 所以 m ? 2100 ,2102 , ?,2998 均满足条件. ???????10 分 且这些数组成首项为 2100 ,公差为 2 的等差数列. 设这个等差数列共有 k 项,则 2100? 2(k ? 1) ? 2998,解得 k ? 450 . 故集合 M 中满足条件的正整数 m 共有 450 个. ??????????????12 分 17 . ( 重庆一中 2011 年 3 月高三月考文科 ) 已知数列 ?an ? 满足: a1 ? 3, a3 ? 9 ,且数列
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?log2 (an ?1)? 为等差数列.
⑴求:数列 ?an ? 的通项公式. ⑵证明:

1 1 1 ? ??? ?1. a2 ? a1 a3 ? a2 an?1 ? an

解:⑴ ∵ a1 ? 3, a3 ? 9 ,令 bn ? log 2 (an ? 1) ,则: b1 ? log2 2 ? 1 , b3 ? log 2 8 ? 3

∴ 数列 ?bn ? 是以 b1 ? 1 为首项, d ?

b3 ? b1 ? 1 为公差的等差数列 2

* ∴ bn ? log2 (an ?1) ? n , ∴ an ? 2n ?1 ( . (6 分) n ?N ) ??????????????

证明:⑵ ∵ an ? 2n ?1 (n ? N * ) ,∴ bn ?

1 1 1 ? n?1 n ? n (n ? N * ) an?1 ? an 2 ? 2 2

1 1 (1 ? n ) 1 1 1 1 2 ? 1 ? 1 ? 1 .?????(13 ∴ Sn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? 2 1 2 2 2 2 2n 1? 2
分)

解:(1) 由已知, f (n) ? f (n ? 1) ? f (1) ? 2 f (n ? 1) ? 22 f (n ? 2) ? ? ? 2n?1 f (1) ? 2n · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 (2) 由 (1) 知: bn? 2 ? 3bn?1 ? 18bn ? 2n

9 3 1 1 ∴ dn?1 ? 3dn ? ? 6n?1 ? ? 6n ,即 dn?1 ? ? 6n?1 ? ?3(dn ? ? 6n ) 2 4 12 12 1 1 3 ∴ {dn ? ?6n } 是以 d1 ? ?61 ? 为首项,– 3 为公比的等比数列 12 12 5 n 1 n 3 ( ? 3) 6n (?3)n ∴ dn ? ?6 ? ?(?3)n?1 ? ? ∴ dn ? ? 12 5 5 12 5 n n n 6 (?3) 2 ∴ bn ? ? .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 ? 12 5 20
(3) 由题 cn ? 2n , ∴
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ck ? 1 2k ? 1 2k ? 1 1 ? k ?1 ? ? ck ?1 ? 1 2 ? 1 2(2k ? 1 ) 2 2 cn ? 1 1 1 c1 ? 1 c2 ? 1 1 n ? ??? ? ? ??? ? ∴ c2 ? 1 c3 ? 1 cn ?1 ? 1 2 2 2 2



ck ? 1 2k ? 1 1 1 1 1 1 1 1 ? k ?1 ? ? ? ? ? ? ? k (k ? 1, ?,n) k ?1 k k ck ?1 ? 1 2 ? 1 2 2(2 ? 1) 2 3 ?2 ? 2 ? 2 2 3 2

1 1 cn ? 1 n 1 2 (1 ? 2n ) n 1 c1 ? 1 c2 ? 1 1 n 1 ∴ ? ??? ? ? ? ? ? ?(1 ? n ) ? ? 1 c2 ? 1 c3 ? 1 cn ?1 ? 1 2 3 2 3 2 2 3 1? 2 ∴ 原命题得证. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·12 分

[来源:状元网]


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